巩固练习_平面向量应用举例_提高

【巩固练习】

1．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且，则与(　　)

A．反向平行       B．同向平行

C．互相垂直       D．既不平行也不垂直

2．设、、是单位向量，且·=0，则(―)·(―)的最小值为（    ）

A．―2    B．    C．―1    D．

3．若平行四边形满足,则平行四边形一定是（    ）

A．正方形       B．矩形        C． 菱形       D．等腰梯形

4．一质点受到平面上的三个力，，（单位：牛顿）的作用而处于平衡状状，已知，成60°角，且，的大小分别为2和4，则的大小为（    ）

A．6    B．2    C．    D．

5．在水流速度为自西向东，10km/h的河中，如果要使船以10km/h的速度从河南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（   ）

A．北偏西，20km/h          B．北偏西，20km/h  

C．北偏东，20km/h          D．北偏东，20km/h

6．已知非零向量与满足且，则为（    ）

A．三边均不相等的三角形          B．直角三角形       

C． 等腰非等边三角形             D．等边三角形

7．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且，，，则点O，N，P依次是△ABC的（    ）

A．重心、外心、垂心    B．垂心、外心、内心

C．外心、重心、垂心    D．外心、重心、内心

8．（2015 哈尔滨三模）已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若△OAB的面积与△OAC的面积比值为3，则的值为（    ）

A．    B．1    C．2    D．3

9．（2016 惠州模拟）设M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则________．

10．如图，在正六边形ABCDEF中，有下列四个论断：

    ①；②；

③；④

其中正确的序号是________。（写出所有正确的序号）

11．一艘船以5 km / h的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行方向与水流方向成30°角，则水流速度为________km / h。

12．（2015 浙江嘉兴一模）若△ABC的重心为G，AB=3，AC=4，BC=5，动点P满足（0≤x，y，z≤1），则点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积等于________．

13．（2015春 山东济宁期中）某人在静水中游泳，速度为公里／小时，他在水流速度为4公里／小时的河中游泳．

（1）若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？

（2）他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度为多少？

14．如图，边长为2的正方形OABC的顶点O在对角线OB上，DE⊥OA于点E，DF⊥AB于点F，连接CD、EF。

（1）求证：CD⊥EF；

（2）当OD=OC时，求经过点C且与向量平行的直线的方程。

15．（2016 辽宁期末）如图，已知，设Z是直线OP上的一动点．

（1）求使取最小值时的；

（2）对（1）中求出的点Z，求cos∠AZB的值．

【答案与解析】

1．【答案】A

【解析】由向量的三角形法则得：，，，上面三式相加得：。

2．【答案】D

【解析】  ∵·=0，且，，均为单位向量，、、

∴，||=1。

∴(―)·(―)= ·―(+)·+2。

设+与的夹角为，

则。

故(―)·(―)的最小值为。

3. 【答案】B

4．【答案】D

【解析】，∴，∴。

5．【答案】A

6. 【答案】D

【解析】设, ,则| |+| |=1。

由已知（+）

，

B=C

又由已知·=

| |·| |，，又

，为等边三角形。

7．【答案】C 

【解析】 如图，∵，∴。

依向量加法的平行四边形法则，知，故N为重心。

∵，∴，

同理，，∴点P为△ABC的垂心。

由，知O为△ABC的外心。

8．【答案】A

【解析】

变为．

如图，D，E分别是对应边的中点，

由平行四边形法则知，

故  ①

在正三角形ABC中，

∵，

且三角形AOC与三角形ADC同底边AC，

故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一，

故，  ②

由①②得．

故选A．

9．【答案】2

【解析】∵

∴以AB、AC为邻边作平行四边形，可得对角线AD与BC长度相等

因此，四边形ABDC为矩形

∵M是线段BC的中点，

∴AM是Rt△ABC斜边BC上的中线，可得

∵，得，即

∴

故答案为2

10．【答案】①②④

【解析】对于①，；对于②，令，，以和为邻边的四边形为平行四边形，AD正好为其对角线；

对于③，；

对于④，且，设，，

。即，。

11．【答案】 

【解析】如图，船速v1=5，水流v2，实际速度v=10，∴

12．【答案】12

【解析】由题意，点P的轨迹所覆盖的区域如图所示，恰好△ABC面积的2倍，

∵AB=3，AC=4，BC=5，

∴△ABC为直角三角形，面积为6，

因此点P的轨迹所覆盖的平面区域的面积为12．

故答案为：12．

13．【解析】（1）如图，设人游泳的速度为，水流的速度为，以、为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为

由勾股定理知

且在Rt△ACO中，∠COA=60°，

故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8公里／小时．

（2）如图，设此人的实际速度为，水流速度为，则游速为，

在Rt△AOD中，，，，

∴．

故此人沿与河岸成的夹角逆着水流方向前进，实际前进的速度大小为公里／小时．

14．（1）【证明】根据题意，，

设，则，，，

，

因为，

所以，因此CD⊥EF。

（2）解：当OD=OC时，即，

∴，，即，

所以可设直线方程为，

又直线经过点C（0，2）。

所以直线的方程为。

15．【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵Z是直线OP上的一点，

∴，

设实数t，使，

∴，

则，

．

∴．

当t=2时，有最小值－8，

此时．

（2）当t=2时，，

．

故．