知识讲解_正切函数的性质和图象_提高练习题

正切函数的性质与图象

【学习目标】

1.能画出的图象，并能借助图象理解在上的性质；

2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小；

3．理解正切函数的对称性．

【要点梳理】

要点一：正切函数的图象

正切函数，且的图象，称“正切曲线”

（1）复习单位圆中的正切线：  AT=tanα

（2）利用正切线画函数y= tanx，x∈的图象

步骤是：①作直角坐标系，并在x=的左侧作单位圆

②把单位圆的右半圆分成8份，（每份）.分别在单位圆中作出正切线；

③把横坐标从到也分成8份

④把正切线的端点移到对应的位置；

⑤把上面的点连成光滑的曲线．

由于tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把y=tanx , x∈的图象左、右移动kπ个单位（k∈z）就得到y=tanx（x∈R且x≠kπ+）的图象.

要点二：正切函数的性质

1．定义域：，

2．值域：R 

由正切函数的图象可知，当且无限接近于时，无限增大，记作（趋向于正无穷大）；当，无限减小，记作（趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此可以取任何实数值，但没有最大值和最小值．称直线为正切函数的渐进线．

3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是

4．奇偶性：正切函数是奇函数，即．

要点诠释：

观察正切函数的图象还可得到：点是函数，且的对称中心，正切函数图象没有对称轴

5．单调性：在开区间内，函数单调递增

要点诠释：

正切函数在开区间内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函数．

要点三：正切函数型的性质

1．定义域：将“”视为一个“整体”．令解得．

2．   值域：

3．单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围．

要点诠释：

若，一般先用诱导公式化为，使的系数为正值，然后求单调区间．

4．奇偶性：当时为奇函数，否则，不具备奇偶性．

5．周期：最小正周期为．

【典型例题】

类型一：正切函数的定义域

例1．求下列函数的定义域：

（1）；

（2）．

【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义，通常需要考虑的方面有：分母不为0，真数大于0，偶次根式内的数大于或等于0等．

【答案】（1）

（2）

【解析】（1）由题意得，将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如下图．

由图可得函数定义域集合为．

（2）由  得  ．

则有  ．

所以函数定义域为．

【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或单位圆中三角函数线直观地求得解集．

    举一反三：

【变式1】（2016 甘肃甘谷县期中）根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合．

（1）；

（2）．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1），即，

故有x的范围是．

（2），即，故有x的范围是．

类型二：正切函数的图象

例2．（1）作出函数y=tan x+2，的简图；

（2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性．

①y=tan |x|；②y=|tan x|

【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数y=tan x+2的图象是将函数y=tan x的图象向上平移2个单位得到，，如图所示．

（2）①∵

故当x≥0时，函数y=tan |x|在y轴右侧的图象就是y=tan x的图象；

当x＜0时，函数y=tan |x|在y轴左侧的图象为y=tan x在y轴左侧的图象关于x对称的图象，如下图所示．

观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数．

②∵，类似①可作出其图象，如下图所示．

观察图象可知，y=|tan x|是以π为周期的周期函数．

【总结升华】 第（1）也可以用三点二线法作图．第（2）题的解题关键在于分析待画函数图象与已知函数图象间的关系．

如果由的图象得到及的图象，可利用图象中的对称变换法完成，即我们只需作出（x≥0）的图象，令其关于y轴对称便可以得到（x≤0）的图象；同理只要作出的图象，令图象不动下翻上便可得到的图象．

举一反三：

【变式1】函数在区间内的图象大致是（    ）

【答案】D

类型三：正切函数的周期性

【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例1】

例3．判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期.

（1）；

（2）；

（3）；

（4）.

【答案】（1）是（2）是（3）不是（4）是

【解析】

（1）

函数是周期函数，最小正周期是．

（2）

是周期函数，最小正周期是．

（3）由图象知，函数不是周期函数

（4）是周期函数，最小正周期是．

类型四：正切函数的单调性

例4．（2015春 河北邢台月考）设函数．

（1）求函数的定义域、周期和单调区间

（2）求不等式的解集．

【思路点拨】（1）由条件利用正切函数的定义域、周期性和单调性，求得函数的定义域、周期和单调区间．

（2）不等式即，可得，由此求得x的范围，可得结论．

【答案】（1）定义域为，T=2π，函数的增区间为，k∈Z；（2）不等式的解集为，k∈Z

【解析】（1）根据函数，可得，k∈Z，

求得，故函数的定义域为．

它的周期为．

令，k∈Z，求得，

故函数的增区间为，k∈Z．

（2）求不等式，即，∴，

求得，故不等式的解集为，k∈Z．

【总结升华】（1）对于形如（，为非零常数）的函数的性质的研究，应以正切函数的性质为基础，运用整体思想求解．若＜0，一般先利用诱导公式将x的系数化为正数，再进行求解．

（2）比较正切函数值的大小，可利用诱导公式将其转化为同一单调区间的锐角的正切函数，再比较大小．

举一反三：

【变式1】求函数的单调增区间.

【答案】

【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例2】

【变式2】函数在区间单调递减，求实数的取值范围.

【解析】函数在区间单调递减

    ，且，即

 ，解得：

类型五：正切函数性质的综合应用

例5．（1）求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性；

（2）求函数，的值域；

（3）设函数，已知函数的图象与x轴相邻两交点的距离为，且图象关于点对称，求的解析式．

【解析】（1）由，得，

∴所求定义域为．

值域为R，周期，是非奇非偶函数．

在区间（k∈Z）上是增函数．

（2）设tan x=t．

∵，∴．

∴y=―tan2x+10tan x―1=―t2+10t―1=―(t―5)2+24．

∴当t=1，即时，ymin=8，

当，即时，．

∴函数的值域为．

（3）由题意可知，函数的最小正周期，即．

∵＞0，∴=2．从而．

∵函数的图象关于点对称，

∴（k∈Z），即（k∈Z）．

∵，∴只能取．

故．

【总结升华】第（1）题是用整体的思想，将函数作整体代换，转化为对函数y=tan x的性质的研究；

第（2）题中换元化归为给定区间上的二次函数值域问题是解决这类问题常用的方法，特别注意换元后立即明确新元的范围；

第（3）题，，（A＞0，ω＞0）的图象及性质可与y=tan x的图象和性质加以类比得到．

举一反三：

【变式】（2015春 湖北恩施州期末）函数f（x）=tanωx（ω＞0）的图象的相邻两个零点的距离为，则的值是（    ）

A．    B．    C．    D．1

【答案】C

【解析】∵函数f（x）=tanωx（ω＞0）图象相邻两个零点的距离为，

∴，

∴ω=2，

∴f（x）=tan2x；

∴．

故选：C．