知识讲解_简单的三角恒等变换_提高练习题

简单的三角恒等变换

【学习目标】

1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式；

2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧；

3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化；

4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；

5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理问题的能力．

【要点梳理】

要点一：升（降）幂缩（扩）角公式

升幂公式：， 

降幂公式：，

要点诠释：

利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．

要点二：辅助角公式

1．形如的三角函数式的变形：

=

令，则

=

              =

（其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．）

2．辅助角公式在解题中的应用

通过应用公式=（或=），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等．

要点三：半角公式(以下公式只要求会推导，不要求记忆)

，

以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．

以上两个公式称作半角正切的有理式表示．

要点四：积化和差公式

要点诠释：

规律1：公式右边中括号前的系数都有．

规律2：中括号中前后两项的角分别为和．

规律3：每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．

要点五：和差化积公式

要点诠释：

规律1：在所有的公式中，右边积的系数中都有2．

规律2：在所有的公式中，左边都是角与的弦函数相加减，右边都是与的弦函数相乘．

　　规律3：在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（cos）加扣等于俩扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣”．

　　规律4：两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．

注意

1、公式中的“和差”与“积”，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．

2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如就不能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．

3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其结果实质上是一样的．

4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如．

5、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．

　【典型例题】

类型一：利用公式对三角函数式进行证明

例1．求证：．

【思路点拨】观察等式左右两边，易知运用倍角公式进行转换．

    【证法一】

=右边

   ∴  等式成立

    【证法二】

   ∴  等式成立

【总结升华】 证明题的一般原则是由繁到简．本题从左往右证，方法是弦化切，注意到，然后巧妙地运用二倍角的余弦公式而获解．

举一反三：

【变式1】求证：

【证明】

．

【变式2】 证明：．

  【证明】

．

例2．已知．

【证明】

方法一：

将代入：

又  

方法二：，

又，

,

，

，

．

【总结升华】证明条件三角恒等式要注意观察条件和所要证的等式中角、三角函数名称、运算等方面的关系．方法一用代入法把，再把；方法二中利用恒等式消去条件中的方法，即消元法，这是三角变换中常用的方法．

类型二：利用公式对三角函数式进行化简

例3．（2015春 浙江余姚市期中）化简：（是第一象限角）．

【思路点拨】利用二倍角公式对分子和分母同时化简约分即可．

【答案】

【解析】

          ．

举一反三：

【变式1】化简．

【解析】∵，∴cos＞0，则由半角公式得，

∴原式，又，∴，

从而．即原式=．

类型三：利用公式进行三角函数式的求值

  例4．已知，试求的值．

【解析】解法一：由①2+②2，得，即．

再将①②两边分别相乘，得

，

即．

将代入上式，得．

解法二：因为，

所以，再由例1的【变式1】中的公式可得：

．

【总结升华】 将条件进行加、减、乘、除以及对条件式进行平方再进行运算都是常用的解题手段，当然这需要根据题设条件灵活处理．

     举一反三：

【变式1】（2017 广东佛山模拟）已知，且，则sinx+cosx=________．

【答案】

【解析】∵，

∴，则

又，

∴，解得，

则．

故答案为：．

【变式2】若＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________    .

【答案】

【解析】∵＝＝3，∴tanα＝2.

又tan(α－β)＝2，

∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]

＝－tan[(α－β)＋α]

＝－＝.

类型四：三角恒等变换的综合应用

【高清栏目：简单的三角恒等变换401793 例4】

例5．已知，求：

（1）的最大值以及取得最大值的自变量的集合；

（2）的单调区间．

【思路点拨】先用降幂公式降幂，然后利用这个公式把原式进行变形．

【答案】（1）  （2）单增区间    单间区间

【解析】

（1）

     =

由，时

即时，．

（2），

即

是单增函数．

，

即

是单减函数．

举一反三：

【变式1】设函数f(x)=cos(2x+)+sinx.                             

(1)    求函数f(x)的最大值和最小正周期.

(2)    设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，f()=－，且C为锐角，求sinA.

【答案】（1）  （2）

【解析】（1）f(x)=cos(2x+)+sinx=

所以函数f(x)的最大值为,最小正周期.

（2）f()==－,所以,因为C为锐角,所以,所以,所以sinA =cosB=.

【变式2】（2015 四川涪城区模拟）已知函数，且当时，f（x）的最小值为2．

（1）求a的值，并求f（x）的单调增区间；

（2）将函数y=f（x）的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的，再把所得图象向右平移个单位，得到函数y=f（x），求方程g（x）=2在区间上的所有根之和．

【答案】（1）a=0，，（k∈Z）；（2）

【解析】（1）

              ，

∵，

∴，

∴，故a=0，

∴，

由（k∈Z），

解得：（k∈Z），

故f（x）的单调增区间是，（k∈Z），

（2），

由g（x）=2得，

则或（k∈Z），

解得或，（k∈Z）；

∵，

∴或，故方程所有根之和为．

类型五：三角恒等变换在实际问题中的应用

例6．青海玉树地震过后，当地人民积极恢复生产，焊工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：如图所示，有一块扇形钢板，半径为1 m，圆心角，厂长要求王师傅按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下钢板面积最大．试问王师傅如何确定A点位置，才能使裁下的钢板符合要求？最大面积为多少？

【思路点拨】因为A点是动点，所以连接OA，设∠AOP=，然后用的三角函数来表示平行四边形钢板ABOC的面积，最后利用三角函数的知识求面积的最大值．

【答案】当A是的中点时，所裁钢板面积最大，最大面积为m3

【解析】连接OA，设∠AOP=，过A作AH⊥OP，垂足为H，在Rt△AOH中，AH=sin，OH=cos．在Rt△ABH中，，所以，所以，

设平行四边形ABOC的面积为S，则

．

由于，所以当，即时，．所以当A是的中点时，所裁钢板面积最大，最大面积为m3．

【总结升华】 解决本题的关键是巧妙设元，使其他各有关的量均能用表示，建立S关于的函数，再运用倍角公式、和角公式．构成函数，然后进行三角变换求解是解决此类问题的常用方法．注意数形结合思想在解决题中的应用．

举一反三：

【变式1】如图ABCD是一块边长为100m的正方形地皮，其中ATPN是一半径为90m的扇形小山，P是弧TN上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR.

（1）设，长方形停车场PQCR面积为S，求

（2）求的最大值和最小值．

【答案】（1）（2）14050－9000  950

【解析】（1）作PM⊥AB于M点，又，则

（2）设，即

则．                             

代入化简得．              

故当t=时，Smin=950(m2)；当t=时，Smax=14050－9000(m2) ．