知识讲解_任意角的三角函数_提高练习题

任意角的三角函数

【学习目标】

1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符号.

2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.

3．会应用三角函数的定义解决相关问题。

【要点梳理】

要点一：三角函数定义

设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:

(1)叫做的正弦,记做,即；

(2)叫做的余弦,记做,即；

(3)叫做的正切,记做,即.

要点诠释：

三角函数的值与点在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离,那么,,。

要点二：三角函数在各象限的符号

三角函数在各象限的符号：

在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦。

要点诠释：

口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第四象限余弦值为正。

要点三：诱导公式一

终边相同的角的同一三角函数的值相等

，其中

，其中

，其中

要点诠释：

该组公式说明了终边相同的角的同一三角函数的值相等这个结论。要注意在三角函数中，角和三角函数值的对应关系是多值对应关系，即给定一个角，它的三角函数值是唯一确定的(除不存在的情况)；反之，给定一个三角函数值，有无穷多个角和它对应.

要点四：单位圆中的三角函数线

圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.

要点诠释：

三条有向线段的位置：

正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；

余弦线在轴上；

正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；

三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外.

【典型例题】

类型一：三角函数的定义

例1．（1）已知角的终边经过点P（－4a，3a）（a≠0），求sin，cos，tan，cot的值；

（2）已知角的终边在直线上，求sin，cos，tan的值。

【思路点拨】先根据点P（－4a，3a）求出OP的长；再分a＞0，a＜0两种情况结合任意角的三角函数的定义即可求出结论

【答案】（1），，，或，，，（2）或

【解析】  （1）。

若a＞0，则r=5a，角在第二象限，则

，，

，。

若a＜0，则r=－5a，角在第四象限，则

，，，。

（2）因为角的终边在直线上，

所以可设为角终边上任意一点。

则（a≠0）。

若a＞0，则为第一象限角，r=2a，所以

，

，

。

若a＜0，则为第三象限角，r=－2a，所以，，。

【总结升华】  三角函数值的大小与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关。本题应注意把函数的图象看作以原点为端点的两条射线，故应有两种答案，要善于利用三角函数的定义及三角函数的符号规律解题。

 举一反三：

【变式1】已知角的终边上一点，且，求的值.

【解析】由题设知，，所以，得，

从而，

解得或.

当时，， ；

当时，， ；

当时，， .

【高清课堂：任意角的三角函数385947 例2】

【变式2】已知角的终边落在y=|2x|上，求值。

【答案】或

【解析】 y=|2x|，

取点P（1，2），

或

类型二：三角函数的符号

例2．（1）判断的符号；

（2）若sin=―2cos，确定tan的符号；

（3）已知为第二象限角，判断3sincos+2tan的符号；

（4）若sin＜0，cos＞0，则是第几象限角？

（5）若sin2＞0，且cos＜0，试确定终边所在象限？

【答案】（1）正（2）负（3）负（4）四（5）三

【解析】（1）因为，且是第三象限角，所以是第三象限角。所以。

（2）由sin=―2cos，知sin与cos异号，故是第二或第四象限角。当是第二象限角时，tan＜0；当是第四象限角时，tan＜0。综上知，tan＜0。

（3）因为为第二象限，所以sin＞0，cos＜0，tan＜0，所以3sincos+2tan＜0。

（4）因为sin＜0，所以为第三或第四象限角，

又cos＞0，所以为第一或第四象限角，

所以为第四象限角。

（5）因为sin2＞0，所以2kπ＜2＜2kπ+π（k∈Z），

所以（k∈Z）。

当k为偶数时，是第一象限；当k为奇数是，为第三象限象。所以为第一或第三象限角。

又因为cos＜0，所以为第二或第三象限角，或终边在x轴的非正半轴上。

综上知，角终边在第三象限。

【总结升华】第一象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为正；第四象限角，只有余弦角为正。

举一反三：

【变式1】求函数的值域。

【答案】{－1，3}

【解析】 由题意知，角x的终边不在坐标轴上。

当x是第一象限角时，；

当x是第二象限角时，；

当x是第三象限角时，；

当x是第四象限角时，，

故函数的值域为{－1，3}。

【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值域、绝对值等有关知识结合进行综合考查。本题运用了分类讨论思想。分象限讨论各三角函数值的符号是解决这类问题的基本方法，注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面。

类型三：诱导公式一的应用

例3．（1）；

（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）·sin750°+tan405°。

【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为0°到360°角的同一三角函数值，然后再求值。

【答案】（1）（2）2

【解析】（1）原式

               。

（2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30°)+tan(2×180°+45°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°=.

【总结升华】 在弧度制下，与角终边相同的角为，k∈Z，在角度制下终边相同的角为k·360°+，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。

举一反三：

【变式1】（2015春 福建龙岩期末）已知为第三象限角，．

（1）化简；

（2）若，求的值．

【思路点拨】（1）由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．

（2）由条件利用诱导公式求得cos的值，可得的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）∵为第三象限角，

∴．

（2）若，

∴，

∴．

类型四：三角函数线的应用

例4．若，求证：.

【思路点拨】利用正弦、余弦的三角函数线去证明。

【证明】

如图，设角的终边与单位圆相交于点P，单位圆与x轴正半轴的交点为A，过点A作圆的切线交OP的延长线于点T，过点P作PM⊥OA于点M，连接AP，则：

在Rt△POM中，sin=MP；

在Rt△AOT中，tan=AT。

又根据弧度制的定义，有。

易知S△POA＜S扇形POA＜S△AOT，

即，

即sin＜＜tan。

【总结升华】三角函数线是几何图形来表示数，即用几何方法表示三角函数值，是数形结合的有利工具，因此在三角证明求值等问题中，常会有意想不到的作用。

例5．（2015春 安徽泗县月考）利用单位圆，求适合下列条件的角的集合：

（1）

（2）．

【思路点拨】在单位圆中画出三角函数线．

    （1）由[0，2π）内，，结合正弦线得的解集；

（2）由[0，2π）内，，结合余弦线得的解集．

【答案】（1）；（2）

【解析】在单位圆内作三角函数线如图：

（1）∵在[0，2π）内，，

OA，OB分别为，的终边，由正弦线可知，

满足的角的终边在劣弧AB内，

∴的解集为；

（2）∵在[0，2π）内，，

OC，OD分别为，的终边，由余弦线可知，

满足的终边在劣弧CD内，

∴的解集为．

【总结升华】利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如或的三角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用．

举一反三：

【变式1】 求满足的的取值范围。

【答案】

【解析】作直线与单位圆交于A、B两点，连接OA、OB，阴影部分便是角的终边范围，如图所示。

    终边在OA上的最小正角为，终边在OB上的最小正角为。

∴角的集合为。

类型五：三角函数定义域的求法

例6．求函数的定义域

【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。

【答案】

【解析】 ∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π（k∈Z），

∴（k∈Z）。    ①

又9－x2≥0，∴－3≤x≤3。    ②

求①与②的交集如图所示，

得或。

故函数的定义域为。

【总结升华】求函数的定义域是一种重要题型，要注意利用数形结合的方法求解，特别注意tan本身的定义域；在求不等式的交集时，应注意利用数轴求解，有些三角不等式，我们还可以利用单位圆来求解。

举一反三：

【变式1】求函数的定义域。

【答案】

【解析】 由题意得。

由图可知：

sin x≥0时，角x的终边落在图中横线阴影部分；

tan x≤1时，角x的终边落中图中竖线阴影部分。

从终边落在双重阴影部分的角中排除使的角即为所求。

∴该函数的定义域为：

。

【高清课堂：任意角的三角函数385947 例6】

【变式2】求下列函数的定义域

（1）；   （2）.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1），

（2），