知识讲解_基本不等式_基础练习题

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基本不等式编稿：张希勇     审稿：李霞    【学习目标】 1. 理解基本不等式的内容及其证明.2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题.【要点梳理】要点一、基本不等式1.对公式及的理解.（1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数；（2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”.2.由公式和可以引申出常用的常用结论①（同号）；②（异号）；③或要点诠释： 可以变形为：，可以变形为：.要点二、基本不等式的证明方法一：几何面积法如图，在正方形中有四个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为.这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为.由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：.当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有.得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”）特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）方法二：代数法   ∵，当时，；当时，.所以，（当且仅当时取等号“=”）.要点诠释：特别的，如果，,我们用、分别代替、，可得：如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.通常我们把上式写作：如果，,，（当且仅当时取等号“=”）.要点三、基本不等式的几何意义如图，是圆的直径，点是上的一点，,，过点作交圆于点D，连接、.易证，那么，即.这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立.要点诠释：1.在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数. 因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.2.如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.要点四、用基本不等式求最大（小）值在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.要点诠释：1．两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数.如是成立的，而是不成立的.2．两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解.当a=b取等号，其含义是；仅当a=b取等号，其含义是.综合上述两条，a=b是的充要条件.3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值.4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件：①各项都是正数；②和（或积）为定值；③各项能取得相等的值.5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行：①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；③在定义域内，求出函数的最大或最小值；④写出正确答案.【典型例题】类型一：对公式及的理解例1.下列结论正确的是(　　)A．当x>0且x≠1时，B．当x>0时，C．当x≥2时，的最小值为2D．当0<x≤2时，无最大值【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不可。【答案】　B【解析】　A中，当x>0且x≠1时，lg x的正负不确定，∴或；C中，当x≥2时，；D中，当0<x≤2时，在(0,2]上递增，.故选B.【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：一“正”二“定”三“取等”，缺一不可.举一反三：【变式1】，，给出下列推导，其中正确的有                 （填序号）.（1）的最小值为；（2）的最小值为；（3）的最小值为.【答案】（1）；（2）（1）∵，，∴（当且仅当时取等号）.（2）∵，，∴（当且仅当时取等号）.（3）∵，∴，（当且仅当即时取等号）∵，与矛盾，∴上式不能取等号，即【变式2】给出下面四个推导过程：① ∵，∴； ② ∵，∴；③ ∵，，∴ ；④ ∵，，∴.其中正确的推导为（     ）A.①②                 B.②③             C.③④                D.①④【答案】D【解析】①∵，∴，符合基本不等式的条件，故①推导正确.②虽然，但当或时，是负数，∴②的推导是错误的.③由不符合基本不等式的条件，∴是错误的.④由得均为负数，但在推导过程中，将整体提出负号后，均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确.选D.类型二：利用基本不等式证明不等式例2.已知，求证:【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法.【解析】（当且仅当即,等号成立）.【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明.举一反三：【变式】已知、都是正数，求证：.【答案】∵、都是正数 ，∴，，∴（当且仅当即时,等号成立）故.例3. 已知、、都是正数，求证：【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑。【解析】∵、、都是正数∴ （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） （当且仅当时，取等号） ∴（当且仅当时，取等号）即.【总结升华】 1. 在运用时，注意条件、均为正数，结合不等式的性质，进行变形.2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号.3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式.举一反三：【高清课堂：基本不等式392186 例题3】【变式】已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：.【答案】证明：　∵a＞0，b＞0，c＞0，∴，，.∴.类型三：利用基本不等式求最值例4. 若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为　  　．【思路点拨】要求最小值的式子中有两个未知数x、y,先利用已知条件转化为一个未知数，然后利用求最小值。【答案】【解析】∵xy＝1，∴∴当且仅当，即时取等号，故答案为：【总结升华】1. 形如（，，）的函数的最值可以用基本不等式求最值；2. 利用基本不等式求最值时,每一项都必须为正数,若为负数,则添负号变正.举一反三：【变式1】若,求的最大值.【答案】因为,所以, 由基本不等式得:,（当且仅当即时, 取等号）故当时,取得最大值.【变式2】已知，当取什么值时，函数的值最小？最小值是多少？【答案】∵，∴，∴（当且仅当即时，取等号） 故当时，的值最小为18.例5. 已知x＞0，y＞0，且，求x+y的最小值.【思路点拨】要求的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的变形，下面给出三种解法，请认真体会.【解析】方法一：∵，∴∵x＞0，y＞0，∴（当且仅当，即y=3x时，取等号）又，∴x=4，y=12∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.方法二：由，得∵x＞0，y＞0，∴y＞9∵y＞9，∴y－9＞0，∴（当且仅当，即y=12时，取等号，此时x=4）∴当x=4，y=12时，x+y取最小值16.【总结升华】方法一是条件最值常用的变形方法，方法二利用了代数消元的方式变为函数的最值来求.举一反三：【变式1】 (2015  福建)若直线过点(1，1)，则a+b的最小值等于(    )A．2    B．3   C．4   D．5【答案】由已知得，则，因为a＞0，b＞0，所以因为a＞0，b＞0，所以故a+b≥4，当，即a=b=2时取等号．【高清课堂：基本不等式392186 例题1】【变式2】已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则的最小值为________；【答案】 【变式3】（2016  湖南校级模拟）设二次函数f（x）=ax2－4x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为（    ）A．3       B．       C．5       D．7【答案】由题意知，a＞0，Δ=1－4ac=0，∴ac=4，c＞0，    则，当且仅当时取等号，则的最小值是3。故选A。 类型四：利用基本不等式解应用题例6. 围建一个面积为360m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m,设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y（单位：元).（Ⅰ）将y表示为x的函数：（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用.【思路点拨】对于应用题要通过阅读、理解所给定的材料寻找量与量之间的内在联系建立起数学模型，然后利用不等式的知识解决题目所提出的问题。【解析】（Ⅰ）设矩形的另一边长为m，则由已知xa=360,得a=,所以y=225x+(Ⅱ).当且仅当225x=时，等号成立.即当x=24m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.【总结升华】用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案.举一反三：【变式1】某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张卡240元.并规定不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名学生，教师准备组织学生集体冬泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次去游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少学生，每次的包车费为40元.要使每个学生游8次，每人最少交多少钱？【答案】设购买x张游泳卡，活动开支为y元， 则（当且仅当x=8时取“=”）此时每人最少交80元.【变式2】 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为、(单位：)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为. 问、分别为多少(精确到0.001m) 时用料最省?【解析】由题意可得，∴.于是，框架用料长度为.当，即时等号成立.此时，，.故当约为2.343 m，约为2.828 m时用料最省.