巩固练习_简单的线性规划问题_提高

【巩固练习】

一、选择题

1．若变量x，y满足约束条件，则z＝x－2y的最大值为(　　)

A．4   B．3

C．2   D．1

2．（2016  浙江文）若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（     ）

A.          B.         C.        D.

3. 已知x、y满足以下约束条件，使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则a的值为　　　（　   ）

A．-3  B.3

C．-1  D.1

4．设x，y满足约束条件，且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　  )

　 A．－5 B． 3 C． －5或3 D． 5或－3

5.如图，目标函数的可行域为四边形OACB（含边界），

若是该目标函数的最优解，则的取值范围是（   ）

A.                       B .

C.                          D.

6. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润1万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在某个生产周期内甲产品至少生产1吨，乙产品至少生产2吨，消耗A原料不超过13吨，消耗B原料不超过18吨，那么该企业在这个生产周期内获得最大利润时甲产品的产量应是(　　)

A．1吨   B．2吨

C．3吨   D. 吨

二、填空题

7. 已知实数对(x，y)满足，则2x＋y取最小值时的最优解是__________．

8. （2016  新课标Ⅲ）若满足约束条件 则的最大值为_____________.

9. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为        .                                                  

10.线性目标函数，在线性约束条件下取得最大值时的最优解只有一个，则实数a的取值范围           

11. （2015  新课标Ⅱ）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为____________．

12. (2015  浙江)若实数x，y满足x2+y2≤1，则|2x+y―2|+|6―x―3y|的最小值是        ．

三、解答题

13. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.求该企业可获得最大利润.

14．某运输公司有7辆载重量为6 t的A型卡车与4辆载重量为10 t的B型卡车，9名驾驶员，在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运360 t沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次，每辆卡车每天往返的成本费为A型卡车160元，B型卡车252元，每天派出A型车与B型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？

15．已知x、y满足条件：，

①求的最大值和最小值；

②求的最大值和最小值.

【答案与解析】

1．【答案】B

【解析】线性约束条件对应的平面区域如图所示，由z＝x－2y得，当直线在y轴上的截距最小时，z取得最大值，由图知，当直线通过点A时，在y轴上的截距最小，由解得A(1，－1)．所以zmax＝1－2×(－1)＝3.

2. 【答案】B

【解析】 画出不等式组的平面区域如题所示，由得，由得，由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即

，故选B  

3.【答案】D

【解析】如图，作出可行域，作直线l：x+ay＝0，要使目标函数              z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l向右上方平移后与直线x+y＝5重合，故a=1，选D

4．【答案】B．

【解析】由约束条件作可行域如图，

联立，解得．

∴A()．

当a＝0时A为()，z＝x＋ay的最小值为，不满足题意；

当a＜0时，由z＝x＋ay得，

要使z最小，则直线在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；

当a＞0时，由z＝x＋ay得，

由图可知，当直线过点A时直线在y轴上的截距最小，z最小．

此时，解得：a＝3或a＝－5(舍)．

故选：B．

   5．【答案】B

【解析】∵C点是目标函数的最优解，∴，解得

6.【答案】A

【解析】设该企业在这个生产周期内生产x吨甲产品，生产y吨乙产品，x、y满足的条件为

所获得的利润z＝x＋3y，作出如图所示的可行域：

作直线l0：x＋3y＝0，平移直线l0，显然，当直线经过点时所获利润最大，此时甲产品的产量为1吨

7. 【答案】(1,1)

 【解析】约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z＝2x＋y，y＝－2x＋z，作直线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3.

8.【答案】

【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数 经过点时取得最大值，即。 

9. 【答案】2200

【解析】设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件，求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．

解得当时，zmin＝2 200. 

10.【答案】；

【解析】解决此类问题，首先画出可行域，依据目标函数的几何意义和可行域的几何形状，即可确定满足的条件.

11.【答案】

【解析】 画出可行域，如图所示，将目标函数变形为y=－x+z，当z取到最大时，直线y=－x+z的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到，则z=x+y的最大值为．

12. 【答案】15

【解析】

由图可知当y≥2－2x时，满足的是如图的AB劣弧，则z=2+x－2y在点A（1，0）处取得最大值5；当y＜2－2x时，满足的是如图的AB优弧，则z=10－3x－4y与该优弧相切时取得最大值，故

，所以z=15，故该目标函数的最大值为15.

13．【解析】  设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：

   则有： ，目标函数

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知：当＝3，＝4时可获得最大利润为27万元.

14．【解析】

设派出A型车x辆，B型车y辆，所花成本费为z=160x+252y，且x、y满足给条件如：

，即

如图所示，作出不等式表示的区域，

作直线，即，

作直线的平行线：

当直线经过可行域内A点时，纵截距最小，

可得A点坐标为.

∵z=160x+252y，∴，式中代表该直线的纵截距b，

而直线的纵截距b取最小值时，z也取得最小值，

即过时，，

但此时，

∴z=1220.8到不到，即它不是可行解，调整x、y的值，

当x=5，y=2时，点在直线4x+5y=30上，且在可行域内符合x、y要求.

∴派5辆A型车，2辆B型车时，成本费用最低，

即zmin=160×5+2×252=1304（元）

15．【解析】①，表示的共公区域如图所示：

   其中A（4，1），B（-1，-6），C（-3，2）

   设z=，以直线l ：为基础进行平移，

   当l过C点时，z值最小，当l过B点时，z值最大.

  ②设，则为点（x,y）到原点的距离，结合不等式组所表示的区域，

不难知道：点B到原点距离最大，而当（x,y）在原点时，距离为0.

故的最大值为14，最小值为-18， 的最大值为37，最小值为0.