知识讲解_《解三角形》全章复习与巩固_基础

《解三角形》全章知识复习与巩固

编稿：李霞     审稿：张林娟

【学习目标】

1.正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题

2.应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题

【知识网络】

【要点梳理】

要点一：正弦定理

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即：

要点诠释：

（1）正弦定理适合于任何三角形，且（为的外接圆半径）；

（2）应用正弦定理解决的题型：①已知两角和一边，求其它②已知两边和一边的对角，求其它．

（3）在已知两边和一边的对角，求其它的类型中，可能出现无解、一解或两解，应结合“三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.

要点二：余弦定理

在△ABC中，

，，

变形为：

，，

要点诠释：

（1）应用余弦定理解决的题型：①已知三边，求各角②已知两边和一边的对角，求其它③已知两边和夹角，求其它；

（2）正、余弦定理的实质是一样的，从而正弦定理能解的问题余弦定理也一定能解，反之亦然；只是方便程度有别；

（3）正、余弦定理可以结合使用.

要点三：三角形的面积公式

(1) ，其中为边上的高

(2)

（3），其中

要点四：三角形形状的判定方法

设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C，

解斜三角形的主要依据是：

（1）角与角关系：由于A+B+C = π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC；；

（2）边与边关系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；

（3）边与角关系：正弦定理、余弦定理

常用两种途径：

（1）由正余弦定理将边转化为角；

（2）由正余弦定理将角转化为边.

要点诠释：①化简中将三角形内角和、三角同角基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角公式等综合结合起来.②在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列.

要点五：解三角形应用的分类

（1）距离问题：一点可到达另一点不可到达；两点都不可到达；

（2）高度问题（最后都转化为解直角三角形）；

（3）角度问题；

（4）面积问题.

【典型例题】

类型一：正、余弦定理的基本应用

例1. 如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在边BC上，且CD＝2，cos∠ADC＝．

(1)求sin∠BAD；

(2)求BD，AC的长．

【答案】(1); (2) 7

【思路点拨】（1）在三角形ADC中，由已知条件和外角定理可求得sin∠BAD；（2）利用正弦定理和余弦定理分别求得BD，AC的长。

【解析】(1)在△ABC中，∵cos∠ADC＝，

∴sin∠ADC＝，

则sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADC•cosB－cos∠ADC•sinB

＝．

(2)在△ABD中，由正弦定理得，

在△ABC中，

由余弦定理得AC2＝AB2＋CB2－2AB•BCcosB＝82＋52－2×8×5×＝49，

即AC＝7．

【总结升华】解答此类问题应注意以下几点：（1）画出三角形，把相关数据标注在三角形中，便于确定已知和所求；（2）明确求解所用的定理，有些题目正、余弦定理都可以求解；（3）注意对三角形的内角和定理、大边对大角定理的灵活运用，避免增解、漏解的现象.

举一反三：

【变式1】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为　　．

【答案】在△ABC中，

∵b－c＝a ①，2sinB＝3sinC，

∴2b＝3c ②，

∴由①②可得a＝2c，b＝．

再由余弦定理可得 ，

故答案为：－．

【变式2】在△ABC中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，，则AC＝_______．

【答案】由正弦定理得，

      即，

得．

类型二：正、余弦定理的综合应用

例2.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知．

（1）求sinC的值；

（2）当a＝2，2sinA＝sinC时，求b及c的长．

【思路点拨】（1）利用二倍角公式及三角形内角的范围，易求得sinC的值；（2）首先利用正弦定理将角化为边，易求得边c，要求边b，考虑用余弦定理，即先求出cosC的值.

【解析】（1）因为，及，

所以．

（2）当a＝2，2sinA＝sinC时，由正弦定理，得c＝4．

由，及得

．

由余弦定理得，得．

解得或．

所以或

【总结升华】解答该类题目要注意以下几个方面：（1）借助图形标注已知和所求；（2）利用三角形的性质把相关条件化归到同一个三角形中；（3）注意灵活利用正、余弦定理，实施边、角互化.

举一反三：

【变式1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，则A的度数为      

【答案 】，

，

∴ 

，

∴  在△ABC中A＝30°

【变式2】设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acosA，则sinA：sinB：sinC为（　　）

A．4:3:2      B. 5：6：7     C. 5:4:3       D. 6:5:4

【答案】由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为 a、a-1、a-2．

由余弦定理可得 

又3b=20acosA，可得

解得，故三边是6,5,4.

由正弦定理可得sinA：sinB：sinC=6:5:4

【变式3】(2016  新课标Ⅰ理)的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（I）求C；

（II）若的面积为，求的周长．

【答案】

（I）由已知及正余弦定理得，

故．

可得，所以．

（II）由已知，

又 ，所以

由已知及余弦定理得，

故 从而

所以的周长为。

类型三：利用正、余弦定理解决实际问题

例3. （2016春  泗阳县期中）A，B两地间隔着一个水塘（如图），现选择另一点C，测得km，CB=10 km，∠CBA=60°。

    （1）求A，B两地之间的距离；

    （2）若点C在移动过程中，始终保持∠ACB=60°不变，问当∠CAB何值时，△ABC的面积最大？并求出面积的最大值。

【答案】（1）30 km（2）60° 

【思路点拨】（1）过C作CD⊥AB于D，使用勾股定理依次解出BD，CD，AD，则AB=AD+BD；

    （2）利用余弦定理和基本不等式求出AC·BC的最大值，根据最大值成立的条件得出∠CAB的度数，代入三角形面积公式得出面积的最大值。

【解析】（1）过C作CD⊥AB于D，

∵∠CBA=60°，∴，。

在Rt△ACD中，。

∴AB=AD+BD=30 km。

（2）在△ABC中，由余弦定理得，

∴AC2+BC2=AC·BC+AB2=AC·BC+900，

∵AC2+BC2≥2AC·BC，

∴AC·BC+900≥2AC·BC，

∴AC·BC≤900，当且仅当AC=BC=30时取得等号。

当AC=BC=30时，△ABC是等边三角形，故∠CAB=60°。

∴S△ABC的最大值为。

【总结升华】测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，首先要明确题意，根据条件和图形特征寻找可解的三角形，然后利用正弦定理或余弦定理求解。

举一反三：

【变式1】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C、D，测得，并且在C、D两点分别测得，，，，求河的对岸的两点A、B间的距离。

【答案】在中， ，，

∴，

∴在中，

在中，，，，

∴，

由正弦定理得：

在中，由余弦定理得：

故A、B间的距离为.

【变式2】甲船在A处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A处向南偏西60o方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？

【答案】设经过x小时后，甲船和乙船分别到达C,D两点

此时,甲、乙两船相距最近

类型四：解三角形与其他知识的交汇

例4.设锐角三角形的内角的对边分别为，．

（1）求的大小；（2）求的取值范围．

【思路点拨】（1）利用正弦定理将边进行角的转换，求得B的正弦值，进而求B；（2）利用三角形中的内角和定理，利用三角函数的知识进行求解.

【解析】（1）由，根据正弦定理得，所以，

由为锐角三角形得．

（2）

．

由为锐角三角形知，，．   ，

所以．      

由此有，

所以的取值范围为．

【总结升华】本题考查解三角形,三角恒等变换以及正弦定理的应用.高考中,三角解答题一般有两种题型:一、解三角形:主要是运用正余弦定理来求解边长,角度,周长,面积等;二、三角函数的图像与性质:主要是运用和角公式,倍角公式,辅助角公式进行三角恒等变换,求解三角函数的最小正周期,单调区间,最值(值域)等.来年需要注意第二种题型的考查.

举一反三：

【变式1】已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m＝（），n＝（cosA,sinA）.若m⊥n，且acosB+bcosA=csinC，则角B＝         

【答案】 .

【变式2】已知函数，△ABC中三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c

（1）求的单调增区间；

（2）若，，求角C的大小.

【答案】（I）因为

 又的单调递增区间为，   

所以令                          

解得                              

所以函数的单调增区间为， 

   （2）因为所以，

又，

所以，

所以                                                      

由正弦定理                                                                               

把代入，得到                     

又，所以，所以