知识讲解_正余弦定理在解三角形中的应用_提高练习题

正弦、余弦定理在三角形中的应用

编稿：张希勇     审稿：李霞      

【学习目标】

1.进一步巩固正弦定理和余弦定理，并能综合运用两个定理解决三角形的有关问题；

2.学会用方程思想解决有关三角形的问题，提高综合运用知识的能力和解题的优化意识.

【要点梳理】

要点一：正弦定理和余弦定理的概念

①正弦定理公式：

（其中R表示三角形的外接圆半径）

②余弦定理公式：

第一形式：

第二形式：

要点二：三角形的面积公式

① ；

② ；

要点三：利用正、余弦定理解三角形

已知两边和一边的对角或已知两角及一边时，通常选择正弦定理来解三角形；已知两边及夹角或已知三边时，通常选择余弦定理来解三角形.特别是求角时尽量用余弦定理来求，尽量避免分类讨论.

在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：

①若A为锐角时：

    一解                   一解                 

两解                     无解

② 若A为直角或钝角时：

要点四：三角形的形状的判定

特殊三角形的判定：

（1）直角三角形  

勾股定理：，

互余关系：，，；

（2）等腰三角形

，；

用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）

（1）在中，；

（2）在中，；

（3）在中，；

要点五：解三角形时的常用结论

在中，，

（1）在中

（2）互补关系：，

，

；

（3）互余关系：，

，

.

【典型例题】

类型一：利用正、余弦定理解三角形

例1. △ABC中，A=45°，a=2，求b和B，C.

【思路点拨】

本题已知边边角，用正弦定理比较简单，但要注意结合三角形中大边对大角定理以及有解、无解的图形来考虑。

【解析】

解法一 ：正弦定理

由

若C=60°，则B=75°，

若C=120°，则B=15°，

解法二：余弦定理

若

若

解法三：正余弦定理

若

∵b>c>a，所以B>C>A，所以B=75°，C=60°；

若

∵c>a>b，所以C>A>B，所以B=15°，C=120°.

【总结升华】

①解三角形时，对于求解三角形的题目，一般都可有两种思路.但要注意方法的选择，同时要注意对解的讨论.

②解三角形时，要留意三角形内角和为180°、同一个三角形中大边对大角等性质的应用。

举一反三：

【变式1】在中，若，，，求角和．

【答案】根据余弦定理：，

∵，  

∴，。

【变式2】（2015  天津高考）在 中，内角 所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为            .

【答案】

因为，所以，

又，解方程组得，由余弦定理得

，所以.

例2．△ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c．

(Ⅰ)若a，b，c成等差数列，证明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；

(Ⅱ)若a，b，c成等比数列，求cosB的最小值．

【思路点拨】(1)因为a，b，c成等差数列，所以a+c=2b,利用正弦定理用角表示边。（2）因为a，b，c成等比数列，所以ac=b2,利用余弦定理用边表示角，然后利用基本不等式求解。

【答案】(Ⅰ)见解析； (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)∵a，b，c成等差数列，

∴2b＝a＋c，

利用正弦定理化简得：2sinB＝sinA＋sinC，

∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，

∴sinA＋sinC＝2sinB＝2sin(A＋C)；

(Ⅱ)∵a，b，c成等比数列，

∴b2＝ac，

∴，

当且仅当a＝c时等号成立，

∴cosB的最小值为．

【总结升华】

对于三角形中边角的最大值或最小值问题可以运用正弦定理或余弦定理建立所求变量与三角形的角或边之间的函数关系，利用正、余弦函数的有界性、二次函数或基本不等式的知识解决问题。

举一反三：

【变式】在中，三内角满足的方程

有两个相等的根。

（1）      求证：角B不大于

（2）      当角B取最大值时，判断的形状

【答案】

（1）由韦达定理得即，  

由正弦定理，有2b=a+c

由余弦定理得

∴

（2）当角B取最大值时，，且a=c，易知为正三角形

类型二：正、余弦定理的综合应用

例3．在△ABC中，根据下面条件决定三角形形状.

.

【思路点拨】

题目中给的是角与边的混合关系式，可用正弦定理化简成单一的角的关系，然后判断.

【解析】

∵,

∴，

由正弦定理得：,

∵中，, ,

∴,即，

∴或,即：或，

∴是等腰三角形或直角三角形.

【总结升华】

（1）要判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？是否符合勾股定理？还要研究角与角的大小关系：是否两个角相等？是否三个角相等？有无直角或钝角？

（2）解题的思想方法是：从条件出发，利用正、余弦定理等进行代换、转化、化简、运算，找出边与边的关系或角与角的关系，从而作出正确判断。

（3）一般有两种转化方向：要么转化为边，要么转化为角。

（4）判断三角形形状时，用边做、用角做均可。一般地，题目中给的是角，就用角做；题目中给的是边，就用边做，边角之间的转换可用正弦定理或余弦定理。

（5），不要丢解。

举一反三：

【变式】已知△ABC 中，试判断△ABC的形状.

【答案】

方法一：用余弦定理化角为边的关系

由得，

整理得，

即，

     当时，为等腰三角形；

     当即时，则为直角三角形；

     综上：为等腰三角形或直角三角形。

方法二：用正弦定理化边为角的关系

由正弦定理得：

即，

∵，

∴

即

∵   

∴或，即或

故为等腰三角形或直角三角形。

例4.(2016  平果县模拟)已知在锐角中, 为角A,B,C 所对的边,且

(1)求角A的值;

(2)若,则求的取值范围.

【答案】 （1）（2）

【思路点拨】（1）在锐角中，根据条件利用正弦定理可得，化简可得，由此可得A的值。

（2）由正弦定理可得，可得，    

再由，求得B的范围，再利用正弦函数的定义域和值域求得的取值范围。

【解析】（1）在锐角中，根据

利用正弦定理可得 ，

即 ，即，

即  

若 则由正弦定理可得，

       =。

由于，求得

举一反三：

【变式】（2016  唐山一模）在如图所示的四边形ABCD中，

记

（1）求用含 的代数式表示DC；

（2）求面积S的最小值

【答案】

（1）在中，，

由正弦定理可得 ，即 ，

于是：

（2）在中，由正弦定理得 即

由（1）知：

=

=

故，S取得最小值为。 

【高清课堂：正余弦定理在解三角形中的应用 377477  例1】

例5．在中，a,b,c分别是角A,B,C的对边,.

（1）              求

（2）              若 且求c

【解析】

（1）∵∴

又∵，解得.

∵∴C是锐角，

（2）∵∴,∴

【总结升华】本题中应注意整体代换思想，及向量的夹角问题

举一反三：

【变式】在中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，设a,b,c满足条件

，求A和tanB的值.

【答案】利用余弦定理可求，利用正弦定理可求tanB=