巩固练习_正余弦定理在解三角形中的应用_基础

【巩固练习】

一、选择题

1．（2016  新课标Ⅲ理）在中，，BC边上的高等于,则(     )

A.          B.        C.        D.

2．中，若，则有（    ）

A.      B.      C.       D.、大小不能确定

3．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于(　　)

A．12　　　　　　　　　　　　 B.

C．28                           D．

4．边长为的三角形的最大角与最小角的和是（    ）

A．    B．   C．   D．

5．钝角三角形ABC的面积是，AB＝1，BC＝，则AC＝（　　）

　 A． 5 B． C． 2 D． 1

二、填空题

6. 在中,已知,则的度数为      .

7. (2016  新课标Ⅱ理) 的内角的对边分别为，若，，，则        ．

8．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝，则△ABC的面积等于　　．

9. 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，则＝　　　　．

10. 锐角△ABC的面积为，BC＝4，CA＝3，则AB＝________.

11．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为________．

三、解答题

12．已知a＝3，c＝2，B＝150°，求边b的长及S△．

13．(2015  江苏)在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.

（1）求BC的长；

（2）求sin2C的值.

14. 已知的三角内角、、有2B=A+C，三边、、满足.

求证：.

15. （2016  浙江理）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 已知b+c=2a cos B.

（I）证明：A=2B；

（II）若△ABC的面积，求角A的大小.

【答案与解析】

1. 答案：　C

解析：设边上的高线为，则，所以，．由余弦定理，知，故选C.

2. 答案：　C

解析：∵，∴由正弦定理有，

即，整理得

即，     ∴

3答案：　D

.解析：　由余弦定理可得cos A＝，A＝60°，∴S△ABC＝bcsin A

＝.故选D.

4. 答案：B

解析： 设中间角为，则为所求

5. 答案：B

解析：∵钝角三角形ABC的面积是，AB＝c＝1，BC＝a＝，

∴S＝acsinB＝，即sinB＝，

当B为钝角时，cosB＝－＝－，

利用余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB•BC•cosB＝1＋2＋2＝5，即AC＝，

当B为锐角时，cosB＝＝，

利用余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB•BC•cosB＝1＋2－2＝1，即AC＝1，

此时AB2＋AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，

则AC＝．

故选：B．

6.解析：∵，∴，

∴，∴

7.解析：∵ ,且为三角形内角，所以 

= ,又因为 所以

. 

8. 答案：．

解析：∵△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝，

由正弦定理得：，

∴，解得sinB＝1，

∴B＝90°，C＝30°，

∴△ABC的面积＝

故答案为：．

9. 答案：2

解析：将bcosC＋ccosB＝2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC＋sinCcosB＝2sinB，

即sin(B＋C)＝2sinB，

∵sin(B＋C)＝sinA，

∴sinA＝2sinB，

利用正弦定理化简得：a＝2b，则＝2．

故答案为：2

10. 答案：　

解析：　由三角形面积公式得

×3×4·sin C＝，sin C＝.

又∵△ABC为锐角三角形

∴C＝60°.

根据余弦定理

AB2＝16＋9－2×4×3×＝13.

AB＝.

11. 答案：　45°

解析：　a2＝b2＋c2－2bccos A，又已知a2＋4S＝b2＋c2，故S＝bccos A＝bcsin A，从而sin A＝cos A，tan A＝1，A＝45°.

12. 解析：b2＝a2＋c2-2accosB＝(3)2＋22-2·3·2·(-)＝49．

∴　b＝7，

 S△＝acsinB＝×3×2×＝．

13. 解析：

（1）由余弦定理知，

，所以．

(2)由正弦定理知，，所以．

因为AB＜BC，所以C为锐角，则．

因此．

14.解析：

∵且，∴，，

∵, ∴，即，

   又∵， ∴ ，

即 ，

∴，

  ∵ , ∴，即，

故.

15. 解析：（1）由正弦定理可得

故 =

所以,

又 ，故 ，所以

或B= ,

因此（舍去） 或

所以

（II）由得，故有

，

因，得．

又，，所以．

当时，；

当时，．

综上，或．