高二数学寒假作业同步练习题专题12数列大题专项训练含解析

这是一份高二数学寒假作业同步练习题专题12数列大题专项训练含解析，共8页。试卷主要包含了巩固基础知识，扩展思维视野，提升综合素质等内容，欢迎下载使用。
1．已知数列是递增的等差数列，，、、成等比数列。
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和，求满足的最小的的值。
【解析】(1)设的公差为()，由条件得：，，，
解得，，∴；
(2)，
∴，
由得，∴满足的最小值的的值为。
2．已知等比数列的前项和为，且()。
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和。
【解析】(1)当时，，
当时，，即，
∴等比数列的公比是，∴，即，故，
故数列是首项为，公比为的等比数列，；
(2)由(1)知，，又，∴，故，∴，
则，
，
两式相减得，
∴。
3．已知数列满足，为的前项和，，。数列为等比数列且，，。
(1)求的值；
(2)记，其前项和为，求证：。
【解析】(1)由得数列为等差数列，设公差为，则由，得：
，解得，
∴，∴，，
由且得；
(2)设的公比为，由(1)可知，∴，
∴，
，
易知随着的增大而增大，∴。
4．已知数列是等比数列，其前项和是，且()。
(1)求数列的通项公式；
(2)设()，求数列的前项和。
【解析】(1)，，，
则，，，则，
解得，，，∴；
(2)，，设，
则①，
②，
①-②得
，
∴。
5．已知等差数列的前项和为，，、、成等比数列。
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的公差不为，求证：(，)。
【解析】(1)∵是等差数列，设公差为，∴，，
∵、、成等比数列，∴，∴，
解得或，∴或；
(2)∵公差不为，∴，，
令，
当时，
原式
。
二、扩展思维视野
6．已知数列的前项和为，，，且(，)。
(1)设，求证：数列为等比数列；
(2)求数列的前项和。
【解析】(1)由已知得，即()，
∴()，
又∵，且，故数列是首项为、公比为的等比数列；
(2)由(1)知，则，∴，
设，
，
两式相减得：，
解得，
∴数列的前项和。
7．在公差不为的等差数列中，、、成等比数列。
(1)已知数列的前项和为，求数列的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，若，求数列的公差。
【解析】(1)设等差数列的公差为()，由、、成等比数列可得：，
即，即，
由数列的前项和为得：，即，解得，，
∴数列的通项公式为：；
(2)∵，
∴数列的前项和，
又由(1)可知，
即，
即，即，解得或。
8．已知等差数列的前项和为()，数列是等比数列，满足，，，。
(1)求数列和的通项公式；
(2)令，设数列的前项和，求。
【解析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为()，
∵，，， ，∴，
∴，，∴，；
(2)由(1)可得，，
则，即，
当为奇数时，
，
当为偶数时，
。
9．已知等差数列和等比数列，其中的公差不为，设是数列的前项和，若、、是数列的前项，且。
(1)求数列和的通项公式；
(2)若数列为等差数列，求实数。
【解析】(1)设的公差为，且，设的公比为，且，
∵、、是数列的前项，则，
即，化简得，
又∵，
化简得，解得，，∴，
∵、、是数列的前项，则，，
∴，
(2)由(1)可知，数列为等差数列，即数列为等差数列，
设，则，，，则，
(注意：正常数列是不允许代数的，但当已知数列是等差或等比的时候就可以代数了)
则，化简得，解得、，
当时，，是首项为，公差为的等差数列，可取，
当时，，是首项为，公差为的等差数列，可取，
综上实数可取或。
三、提升综合素质
10．设为数列的前项和，已知，且。
(1)求的通项公式；
(2)若点在函数的图像上，求证：。
【解析】(1)∵，且，∴且，
∴数列为等比数列，且公比，
∴，
解得，∴；
(2)由(1)可得，
∵点在函数的图像上，∴，
∴，
∴，
又∵，∴，∴原式得证。
11．已知数列中，，，且。
(1)求证：数列和都是等比数列；
(2)求数列的前项和。
【解析】(1)证明：∵，∴，∴，
∴，∵，
∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，
∵，∴，
∴，∵，
∴是以为首项，为公比的等比数列，∴；
(2)由(1)知①；②；
由①②解得，验证，适合上式，
∴，
。
12．已知各项均为正数的数列的前项和为，且。
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前项和为，求。
【解析】(1)∵，∴，即，
当时，，即，解得，
当时，，
化简得，
又数列各项均为正数，∴，∴，
∴数列是首项为、公差为的等差数列，
∴；
(2)设，
由(1)得，
则

。