高二数学寒假作业同步练习题专题02空间向量与立体几何大题专项练习含解析

这是一份高二数学寒假作业同步练习题专题02空间向量与立体几何大题专项练习含解析，共8页。试卷主要包含了巩固基础知识，扩展思维视野，提升综合素质等内容，欢迎下载使用。
专题02  空间向量与立体几何大题专项练习一、巩固基础知识1．如图所示，已知空间四边形的各边和对角线的长都等于，点、分别是、的中点。(1)求证：，；(2)求的长；(3)求异面直线与夹角的余弦值。   【解析】(1)由题意可知三棱锥为正四面体，过做底面的垂线，垂足为，连接，则在上，过做直线，分别交、于、两点，则、、相互垂足，以为原点，为轴，为轴，为轴，建系，则，，，，，，，则，，，，，∴，；(2)；(3)，，，从而异面直线与夹角的余弦值为。2．如图所示，在三棱锥中，和所在平面互相垂直，且，， ，，、分别为、的中点。(1)求证：平面平面；(2)求二面角的正弦值。        【解析】(1)证明：由，，，则：，∴，则，，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，又平面，故平面平面；(2)解：由，点为的中点，知，∵知，则，∴，则， 如图所示以点为坐标原点，以平面内与垂直的直线为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则、、、、、，∴，，平面一个法向量为，设平面的法向量为，由得，设，得一个法向量，设二面角的平面角为，则，∴，则二面角的正弦值为。3．如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点。(1)证明平面；(2)若，求与平面所成角的正弦值。      【解析】(1)证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴，∵，，∴平面，∴，又，，∴，又，∴平面；(2)解：由(1)可知，，，，故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，则，，，设平面的法向量为，则即，设，则、，则，设与平面所成角为，则，∴与平面所成角的正弦值为。4．直三棱柱，，，，，点在线段上。(1)若平面，确定点的位置并证明；(2)当时，求二面角的余弦值。     【解析】(1)当是中点时，平面，证明如下：连接，交于，连接，∵三棱柱是直三棱柱，∴侧面为矩形，为的中位线，∴，∵平面，平面，∴平面；(2)由，，，得，则，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、，设(，)，∵点在线段上，且，即，∴，∴，，∴，，∴平面的法向量为，设平面的法向量为，由得：，设，则，，，，∴，设二面角的大小为，经观察为锐角，∴二面角的余弦值为。二、扩展思维视野5．如图，在四棱锥中，已知是平行四边形，，，，。(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值。      【解析】(1)证明：设，，连接，则∵，且，∴四边形为菱形，∴，且，，，又∵，，∴是等腰，∴，，，在中，，，，有，∴，即，又，∴平面；(2)以为坐标原点，如图建系，则，，，，，则，，，，设平面的法向量为，则，令，则、，则，设平面的法向量为，则，令，则、，则，∴，设二面角的平面角为，经观察为钝角，则。6．如图所示，在四棱锥中，，，，为棱的中点，异面直线与所成的角为。(1)在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值。        【解析】(1)由题意可知，在梯形中，与不平行，如图，延长、，相交于点(平面)，点即为所求的一个点，理由如下：由已知，知，且，∴四边形是平行四边形，∴，又平面，平面，∴平面； (2)如图，由已知，，，，∴平面，于是，是二面角的平面角，∴，又，∴平面， 设，则在中，，作平面，以为原点，以，的方向分别为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，，设平面法向量为，由得，设，得，设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为。三、提升综合素质7．如图，已知矩形中，，为的中点，沿将折起，使。(1)求证：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值。      【解析】(1)∵在矩形中，，为的中点，∴、为等腰直角三角形，∴，即，取中点，连接、，则，在中，，在中，，又，∴，∴，又，，∴平面，而平面，∴平面平面；(2)以为原点如图建系，则，，，，∴，，，设平面的法向量为，由得，令，则、，取，设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为。8．如图1，点、分别是正的边、的中点，点是的中点，将沿折起，使得平面平面，得到四棱锥，如图2。(1)试在四棱锥的棱上确定一点，使得平面；(2)在(1)的条件下，求直线与平面所成角的正弦值。        【解析】(1)点在棱上，时，平面，在棱上取一点，使，连接、，如图，∵在中，、，∴，由题意可知，，∴四边形为平行四边形，∴，∵、，，，∴平面平面，又平面，故平面；(2)取棱的中点，连接、，则，，∵平面平面，平面平面，又∵平面，，∴平面，以为坐标原点，、、为、、、轴如图建系，设，则、、、，∴，，设平面的法向量为，∴则，即，取，则、，∴，设点，∵，，∴，∴，，设直线与平面所成角的平面角为，则，∴直线与平面所成角的正弦值为。