八年级数学秘籍——探索“手拉手”模型（原卷版）学案

探索“手拉手”模型

【常见模型】

共顶点的等腰三角形                        共顶点的等边三角形

共顶点的等腰直角三角形                        共顶点的正方形

【典例解析】

【例1】（2021·射阳县月考）如图，，都是等边三角形，BE，CD相交于点O．

（1）求证：BE=CD；（2）求∠BOC的度数．

【例2】（2020·常州市武进区月考）如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,下面的结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC,其中结论正确的有（                            ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【例3】（2020·沙坪坝月考）已知：在中，，以为顶点作，连接．

（1）如图，若，求的面积：

（2）如图，若为的中点，连接并延长交于，求证：

（3）如图，为上一点，，连接为上一点，，连接，过作于，若，请直接写出的长．

【例4】（2020·湖南双清期末）以点为顶点作等腰，等腰，其中，如图1所示放置，使得一直角边重合，连接、．

（1）试判断、的数量关系，并说明理由；

（2）延长交于点试求的度数；

（3）把两个等腰直角三角形按如图2放置，（1）、（2）中的结论是否仍成立？请说明理由．

【例5】（2019·河北安平期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，则___________度．

【习题专练】

1.（2020·沈阳兴华月考）（1）问题发现与探究：

如图，都是等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接BD，则：

（1）线段AE，BD之间的大小关系是___________；        ；

（2）求证：AD=2CM+BD；

2.（2020·江阴市月考）如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（　　）．

A．4 B．3 C．2 D．1

3.（2020·山东济阳期末）如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是(     )①；②；③；④若，且，则．

A．1 B．2 C．3 D．4

4.（2020·重庆巴南月考）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．

（1）求证：△ABD≌△ACE；

（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数．

5.（2019·东北师大附中期末）已知和都是等腰三角形，，，．

（初步感知）（1）特殊情形：如图①，若点，分别在边，上，则__________．（填＞、＜或=）

（2）发现证明：如图②，将图①中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：．

（深入研究）（3）如图③，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，则的度数为__________；线段，之间的数量关系为__________．

（4）如图④，和都是等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，为中边上的高，则的度数为__________；线段，，之间的数量关系为__________．

（拓展提升）（5）如图⑤，和都是等腰直角三角形，，将绕点逆时针旋转，连结、．当，时，在旋转过程中，与的面积和的最大值为__________．

6. （2019·福建龙岩期末）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．

（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；

（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．

7.（2019·江苏盐城期中）（1）（观察发现）如图 1，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，且点 B、C、E 在一条直线上，连接 BD 和AE，BD、AE 相交于点 P，则线段 BD 与 AE 的数量关系是     ，BD 与 AE 相交构成的锐角的度数是     .（只要求写出结论，不必说明理由）

（2）（深入探究）如图 2，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，连接 BD 和 AE，BD、AE 相交于点 P，猜想线段 BD 与 AE 的数量关系，以及 BD 与 AE 相交构成的锐角的度数. 请说明理由 结论：    

理由：_______________________

8.（2019·内蒙古赛罕期中）如图，，均为等边三角形，点，，在同一条直线上，连接，，与相交于点，与相交于点，连接，下列结论正确的有_________．

①；②；③；④；⑤平分

9.（2020·安徽淮南月考）（提出问题）

（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B，C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：CN∥AB．

图1

（类比探究）

（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论CN∥AB还成立吗？请说明理由．

图2

10.（2020·四川彭州期末）（1）如图1，和都是等边三角形，且，，三点在一条直线上，连接，相交于点，求证：．

（2）如图2，在中，若，分别以，和为边在外部作等边，等边，等边，连接、、恰交于点．

①求证：；

②如图2，在（2）的条件下，试猜想，，与存在怎样的数量关系，并说明理由．