八年级数学秘籍——等腰三角形中的动态问题（解析版）学案

这是一份八年级数学秘籍——等腰三角形中的动态问题（解析版）学案，共37页。学案主要包含了典例解析，例1-1，例1-2，变式1-1，变式1-2，例3-1，例3-2，变式3-1等内容，欢迎下载使用。

等腰三角形中的动态问题



【典例解析】
【例1-1】（2020·安徽省泗县月考）如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】D
【解析】解：如图，在OA、OB上分别截取OE=OP，OF=OP，作∠MPN=60°．

∵OP平分∠AOB，
∴∠EOP=∠POF=60°，
∵OP=OE=OF，
∴△OPE，△OPF是等边三角形，
∴EP=OP，∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°，
∴∠EPM=∠OPN，
∴△PEM≌△PON
∴PM=PN，
∵∠MPN=60°，
∴△PNM是等边三角形，
只要∠MPN=60°，△PMN就是等边三角形，
故这样的三角形有无数个．
故答案为：D．
【例1-2】（2020·贵州六盘水期末）如图，在中，，，点D在边BC上运动（点D不与点重合），连接AD，作，DE交边AC于点E．
（1）当时， ，
（2）当DC等于多少时，，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出的度数；若不可以，请说明理由．

【答案】（1）30，100；（2）（3）见解析.
【解析】解：（1）在 △BAD中，
∵∠B=50°，∠BDA=100° ，
∴∠EDC=30°，∠DEC=100°.
（2）当CD=3时，△ABD≌△DCE，理由如下：
∵AB=CD=3，∠B=50°，∠ADE=50°
∴∠B=∠ADE
∵∠ADB+∠ADE+∠EDC=180°，∠DEC+∠C+∠EDC=180°
∴∠ADB=∠DEC
又∠B=∠C
∴△ABD≌△DCE
（3）可以，理由如下：
∵∠B=∠C=50°，
∴∠BAC=80°
①当AD=DE时，∠DAE=∠DEA=65°，
∴∠BAD=∠BAC－∠DAE=15°
∴∠BDA=115°
②当AD=AE时，∠AED=∠ADE=50°
∴∠DAE=180°－∠AED－∠ADE=80°
又∵∠BAC=80°
∴∠DAE=∠BAE
∴点D与点B重合，不合题意．
③当AE=DE时，∠DAE=∠ADE=50°
∴∠BAD=∠BAC－∠DAE=30°
∴∠BDA=100°.
综上所述，当∠BDA的度数为115°或100°时，△ADE是等腰三角形．
【变式1-1】（2019·霍林郭勒市期中）点A的坐标是（2，2），若点P在x轴或y轴上，且△APO是等腰三角形，这样的点P共有（ ）个
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C.
【解析】解：分两种情况进行讨论，

当OA是底边时，作OA的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；
当OA是腰时，以点O为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A为圆心，OA为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；
∴满足条件的点P共有8个，
故答案为：C．
【变式1-2】（2020·山西初二月考）综合与探究：
在中，.点从点出发以的速度沿线段向点运动．

（1）如图1，设点的运动时间为，当______时，是直角三角形．
（2）如图2，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，如果动点都以的速度同时出发，设运动时间为，求当为何值时，是直角三角形．
（3）如图3，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交点，且动点都以的速度同时出发．
①设运动时间为，那么当为何值时，是等腰三角形？
②如图4，连接.请你猜想：在点的运动过程中，和的面积之间的数量关系为______．
【答案】（1）；（2）（3）见解析．
【解析】解：（1）当△PBC是直角三角形时，则∠BPC=90°，
∵∠B=60°，
∴BP=AP=cm，
∴t=，
故答案为：；
（2）①当∠BPQ=90°时，BP=BQ，
即3-t=t，解得：t=2
②当∠BQP=90°时，BP=2BQ，
即3-t=2t，解得：t=1
故当t=1或2s时，△PBQ是直角三角形；
（3）①∵∠DCQ=120°
∴当△DCQ是等腰三角形，CD=CQ，
∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°
∵∠A=60°
∴∠APD=90°
∴AD=2AP
3-t=2t，解得：t=1
②S△PCD=S△QCD，

过点P作PE⊥AC于E，过点Q作QG⊥AC于点G，
∴∠CGQ=∠AEP=90°
∵AB=AC=BC
∴∠A=∠ACB=∠QCG=60°
∴△EAP≌△GCQ
∴PE=QG
∴△PCD与△QCD同底等高
故S△PCD=S△QCD．
【例2】（2020·江苏江阴月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10cm；BC=6cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B出发都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出经过多少秒后，点P与点Q第一次在△ABC的那一条边上相遇．

【答案】（1）①△BPD与△CQP全等，②点Q的运动速度是cm/s．（2）经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．
【解析】解：（1）①△BPD与△CQP全等，
∵点P的运动速度是1cm/s，点Q的运动速度是1cm/s，
∴运动1秒时，BP=CQ=1cm，
∵BC=6cm，
∴CP=5cm，
∵AB=10，D为AB的中点，
∴BD=5，
∴BD=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△BPD≌△CQP．
②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，则BP≠CQ，
若△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=3cm，BD=CQ=5cm，
此时，点P运动3cm，需3秒，而点Q运动5cm，
∴点Q的运动速度是cm/s．
（2）设经过t秒时，P、Q第一次相遇，
∵P的速度是1厘米/秒，Q的速度是厘米/秒，
∴10+10+t=t，
解得：t=30，
此时点Q的路程=30×=50（厘米），
∵50＜2×26，
∴此时点Q在BC上，
∴经过30秒后点P与点Q第一次在△ABC的边BC上相遇．
【例3-1】（2019·武汉市期中）如图，已知：∠MON=30°，点A1、A2、A3、…在射线ON上，点B1、B2、B3、…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4、…均为等边三角形，若OA1=1，则△A9B9A10的边长为（　　）

A．32 B．64 C．128 D．256
【答案】D
【解析】解：如图，

∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
…
∴△AnBnAn+1的边长为 2n-1，
∴△A9B9A10的边长为29-1=28=256．
故答案为D．
【例3-2】（2020·浙江温州月考）如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③、④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn－Pn－1等于…（ ）

A． B．3－ C．1－ D．＋
【答案】A
【解析】解：P1＝1＋1＋1＝3，
P2＝1＋1＋＝，
P3＝1＋1＋×3＝，
P4＝1＋1＋×2＋×3＝，
…
∴P3－P2＝－＝，
P4－P3＝－＝，
∴Pn－Pn－1＝，
故答案为：A．
【变式3-1】（2020·山东牡丹期末）如图，已知，点，，，在射线上，点，，，在射线上，，，，均为等边三角形．若，则的边长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解:∵△A1B1B2 是等边三角形，
∴A1B1=A1B2，∠A1B1B2=∠A1B2O=60°
∵∠O=30°
∴∠A2A1B2=90°
∴∠O=∠OA1B1=30°
∴OB1=A1B1=A1B2=1
同理可得：A3B3=4，A4B4=8，AnBn=2n-1
∴△A8B8B9的边长为2=128.
故答案为：B.
【变式3-2】（2019·贵州印江月考）如图，已知 ……，若∠A＝70°，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵，
∴∠AA1B=∠A=70°
∵
∴∠A1A2B1=∠A1 B1A2
∵∠AA1B=∠A1A2B1＋∠A1 B1A2
∴∠A1A2B1=∠AA1B==35°
同理可得：∠A2A3B2=∠A1A2B1==
∠A3A4B3=∠A2A3B2==
∴=
故答案为C．
【习题精练】
1.（2020·山东青州期中）如图，平面直角坐标系中，点A在第一象限，∠AOx=40°，点P在x轴上，若△POA是等腰三角形，则满足条件的点P共有______个．

【答案】4.
【解析】解：有OA=OP、AO=AP、PO=PA三种情况：
①以O为圆心，OA长为半径画弧，于x轴有2个交点P2、P3，
②以A为圆心，OA长为半径画弧，与x轴有2个交点O、P1，
点O与OA不能构成三角形，P1符合条件，
③作线段OA的垂直平分线，交x轴有1个交点P4，
∴P4A=P4O，
∴P4符合条件，

综上所述：符合条件的点共有4个，
故答案为：4
2. （2019·浙江宁波模考）如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；……按照上面的要求一直画下去，得到点，若之后就不能再画出符合要求点了，则________．

【答案】8
【解析】根据题意可知，画出的三角形是等腰三角形，第一个底角；
由三角形外角和定理可得，第二个等腰三角形的底角20°，第三个等腰三角形的底角30°，同理可得第n个等腰三角形的底角度数为10n，
因为等腰三角形的底角小于90°，10n<90，即n<9.
故答案为8.
3.（2020·河北保定一模）如图，，点在上．以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；再以点为圆心，为半径画弧，交于点（点与点不重合），连接；……，按照上面的要求一直画下去，就会得到，则
（1）_________；
（2）与线段长度相等的线段一共有__________条（不含）．

【答案】100,9.
【解析】解：（1）由题意可知，，，…，
则，，…，
∵10°，
∴20°，30°，40°，50°，60°，…，
∴180°−40°−40°=100°，
故答案为：100；
（2）根据题意，10n<90，解得n<9．
∵n为整数，故n=8．
∵60°，，
∴为等边三角形，
∴与线段OP长度相等的线段一共有9条（不含OP），
故答案为：9.
4.（2020·福建连城期中）如图，在中，，，点是斜边的中点．点从点出发以的速度向点运动，点同时从点出发以一定的速度沿射线方向运动，规定当点到终点时停止运动．设运动的时间为秒，连接、．

（1）填空：______；
（2）当且点运动的速度也是时，求证：；
（3）若动点以的速度沿射线方向运动，在点、点运动过程中，如果存在某个时间，使得的面积是面积的两倍，请你求出时间的值．
【答案】（1）8；(2)见解析；（3）或4.
【解析】解：（1）∵S△ABC=×AC×BC
∴S△ABC=×4×4=8
故答案为：8
（2）如图：连接CD

∵AC=BC，D是AB中点
∴CD平分∠ACB
又∵∠ACB=90°
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°
∴CD=BD
依题意得：BE=CF
在△CDF与△BDE中，
∴△CDF≌△BDE（SAS）
∴DE=DF
（3）过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，

∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°
∴△ADN≌△BDM（AAS）
∴DN=DM
当S△ADF=2S△BDE．
∴×AF×DN=2××BE×DM
∴|4-3x|=2x
∴x1=4，x2=
综上所述：x=或4.
5.（2020·广东佛山月考）如图，在等边中，厘米，厘米，如果点以厘米的速度运动．

（1）如果点在线段上由点向点运动．点在线段上由点向点运动，它们同时出发，若点的运动速度与点的运动速度相等：
①经过2秒后，和是否全等？请说明理由．
②当两点的运动时间为多少秒时，刚好是一个直角三角形？
（2）若点的运动速度与点的运动速度不相等，点从点出发，点以原来的运动速度从点同时出发，都顺时针沿三边运动，经过秒时点与点第一次相遇，则点的运动速度是__________厘米秒．（直接写出答案）
【答案】见解析．
【解析】解：（1）①△BMN≌△CDM．
理由如下：N、M速度相等，t=2
∴CM=BN=6，BM=4
∴BN=CM
∵CD=4
∴BM=CD
∵∠B=∠C=60°
∴△BMN≌△CDM
②设运动时间为t秒，△BMN是直角三角形有两种情况：
当∠NMB=90°时，
∠BNM=30°，BN=2BM
∴3t=2（10-3t）
解得：t=
当∠BNM=90°时，同理，BM=2BN，
即10-3t=2×3t，解得：t=
∴当t=或秒时，△BMN是直角三角形；
（2）分两种情况，
①若点M运动速度快，则3×25－10=25VN，解得VN =2.6；
②若点N运动速度快，则3×25+20=25VN，解得VN =3.8．
6.（2018·湖北广水期中）（阅读）
如图1，等边△ABC中，P是AC边上一点，Q是CB延长线上一点，若AP＝BQ．则过P作PF∥BC交AB于F，可证△APF是等边三角形，再证△PDF≌QDB可得D是FB的中点．请写出证明过程．
（运用）
如图2，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A，C不重合），Q是CB延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD＝30°时，求AP的长；
（2）在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，直接写出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由．
【答案】见解析．
【解析】解：【阅读】
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵PF∥BC，
∴∠AFP＝∠APF＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴AP＝PF，
∵AP＝BQ，
∴PF＝BQ，
∵PF∥BQ，
∴∠FPD＝∠DQB，∠PFD＝∠QBD，
∴△PFD≌△QBD；
∴DF＝DB．
【运用】（1）

∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠BQD＝30°，
∴∠QPC＝90°，
设AP＝x，则PC＝6﹣x，QB＝x，
∴QC＝QB+BC＝6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD＝30°，
∴PC＝QC，即6﹣x＝（6+x），解得x＝2，
∴AP＝2；
（2）过Q作QG⊥AB，交直线AB于点G，连接QE，PG，

又∵PE⊥AB于E，
∴∠PGQ＝∠AEP＝90°，
∵点P、Q速度相同，
∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ABC＝∠GBQ＝60°，
在△APE和△BQG中，
∵∠AEP＝∠BGQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQG，
∴△APE≌△BQG（AAS），
∴AE＝BG，PE＝QG且PE∥QG，
∴四边形PEQG是平行四边形，
∴DE＝EG，
∵EB+AE＝BE+BG＝AB，
∴DE＝AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE＝3，
故运动过程中线段ED的长始终为3．
7.（2020·乐清市月考）如图所示，△ABC中，AB＝AC＝BC＝10厘米，M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度是1厘米/秒的速度，点N的速度是2厘米/秒，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．
（1）M、N同时运动          秒后，M、N两点重合？
（2）当0＜t＜5时，M、N同时运动几秒后，可得等边三角形△AMN？
（3）M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰△AMN，如果存在，请求出此时M、N运动的时间，如果不存在请说明理由.

【答案】见详解．
【解析】解：（1）M、N同时运动10秒后，点M、N重合；
故答案为10；
（2）如图，

根据题意得：AM=t，BN=2t，则AN=10-2t，
t=10﹣2t，解得t=；
当0＜t＜5时，M、N同时运动秒后，可得等边三角形△AMN；
（3）M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，理由如下：
由（1）知10秒时M、N两点重合，恰好在C处．
如图，

∴AN=AM
∴∠AMN=∠ANM
∴∠AMC=∠ANB
∵AB=BC=AC
∴△ACB是等边三角形
∴∠C=∠B
在△ACM和△ABN中
∵AC=AB，∠C=∠B，∠AMC=∠ANB
∴△ACM≌△ABN
∴CM=BN
设运动时间为y秒时，△AMN是等腰三角形
∴CM=y﹣10，NB=30﹣2y
∴y-10=30-2y，解得y=
∴当运动时间为秒时，M，N在BC上使△AMN为等腰三角形．
8.（2020·南京月考）在中，，的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于．

（1）若，，求证；
（2）由（1）可知是______三角形；
（3）去掉（1）中的“”的条件，其他不变，判断的形状，并证明你的结论；
（4）当与满足怎样的数量关系时，是等腰三角形？直接写出所有可能的情况．
【答案】见解析.
【解析】解：（1）连接AM，AN，
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=30°
∵AB的垂直平分线交BC于M，AC的垂直平分线交BC于N，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠C=∠CAN=30°，∠B=∠BAM=30°，
∴∠AMN=60°，∠ANM=60°
∴∠MAN=60°
∴△AMN是等边三角形
∴AM=AN=MN
∴BM=MN=CN
（2）等边；
（3）等腰三角形，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AB的垂直平分线交BC于M，AC的垂直平分线交BC于N，
∴BM=AM，CN=AN，
∴∠C=∠CAN，∠B=∠BAM，
∴∠AMN=2∠B，∠ANM=2∠C
∵∠B=∠C
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN
∴△AMN是等腰三角形
（4）∠AMN=2∠B，∠ANM=2∠C ，∠MAN=180°－2∠B－2∠C，
①当AM=AN时，∠B=∠C；
②当MN=AN时，得2∠B+∠C=90°；
③当MN=AM时，得∠B+2∠C=90°．
9.（2020·长沙月考）点P是边长为3cm的等边△ABC的边AB上的动点，点P从点A出发．沿线段AB向点B运动．

（1）如图1，若另一动点Q从点B出发，沿线段BC向点C运动，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时问为t（s），连换AQ、CP交于点M，
①当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
②在P，Q运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．
（2）如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接PQ交AC于点D，如果动点P，Q都以1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t（s），连接PC，
①当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？
②在点P，Q的运动过程中，请探究△PCD和△QCD的面积之间的数量关系．
【答案】（1）①t=1或2；②不发生变化，∠CMQ=60°；（2）①t=1；②面积相等
【解析】解：（1）①当△PBQ是直角三角形时，∠B=60°，BP=3-t，BQ=t
∠PQB =90°，此时BP=2BQ
∴根据题意，得3-t=2t
解得t=1
②当∠BPQ=90°时，此时BQ=2BP
∴根据题意，得t=2(3-t)
解得：t=2
∴当t=1或2时，△PBQ是直角三角形；
②不发生变化，∠CMQ=60°
在△ABQ与△CAP中，
∴△ABQ≌△CAP
∴∠BAQ=∠ACP
∴∠MAC+∠MCA=∠MAC+∠BAQ =∠CAP=60°
∵∠CMQ=∠MAC+∠MCA
∴∠CMQ=∠CAP=60°
故不发生变化，∠CMQ=60°；
（2）①∵∠DCQ=120°，当△DCQ是等腰三角形时，CD=CQ
∴∠PDA=∠CDQ=∠CQD=30°
∵∠A=60°
∴∠APD=90°
∴AD=2AP，即AD=2t
∵AC=AD+CD
∴2t+t=3
解得t=1
故答案为t=1时，△DCQ是等腰三角形；
②面积相等，如图所示：

过P作PE⊥AD于E，过Q作QG⊥AD于G，则
∴∠G=∠AEP
易证△EAP≌△GCQ
∴PE=QG
∴△PCD和△QCD同底等高
∴△PCD和△QCD面积相等
故答案为△PCD和△QCD面积相等．
10.（2020·广东惠来期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以1cm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．
（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）求DE的长．

【答案】（1）2；（2）存在，t＝3；（3）3cm
【解析】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，
∴6+t＝2（6﹣t），
∴t＝2，
∴t＝2时，△BPQ是直角三角形．
（2）存在．理由：连接BF交AC于M．

∵BF平分∠ABC，BA＝BC，
∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，
∵EF∥BQ，
∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，
∴EF＝2EM，
∴t＝2•（3﹣t），
解得t＝3．
（3）过P作PKBC交AC于K．

∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝60°，
∵PK∥BC，
∴∠APK＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，
∴△APK是等边三角形，
∴PA＝PK，
∵PE⊥AK，
∴AE＝EK，
∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，
∴△PKD≌△QCD，
∴DK＝DC，
∴DE＝EK+DK＝（AK+CK）＝AC＝3cm．
11.（2019·哈尔滨市月考）如图，，点B关于轴的对称点为C点，点D在x轴的负半轴上，△ABD的面积是30．

（1）求点坐标；
（2）若动点从点出发，沿射线运动，速度为每秒个单位，设的运动时间为秒，的面积为，求与的关系式.
【答案】见解析．
【解析】解:（1）由题意知，，
∴AD=15，OD=9，
∴点D坐标为（-9,0）；
（2）∵点B(0,4)关于x轴的对称点为C点，
∴点C坐标(0,-4)，
∴当0 当t>8时，S=3t-24
12.（2020·湖北襄州期末）已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别是直线AB，BC上的动点．

图1 图2
（1）如图1，当点P从顶点A沿AB向B点运动，点Q同时从顶点B沿BC向C点运动，它们的速度都为lcm/s，到达终点时停止运动．设它们的运动时间为t秒，连接AQ，PQ．
①当t＝2时，求∠AQP的度数．
②当t为何值时△PBQ是直角三角形？
（2）如图2，当点P在BA的延长线上，Q在BC上，若PQ＝PC，请判断AP，CQ和AC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】见解析.
【解析】解:（1）①根据题意得AP＝PB＝BQ＝CQ＝2，
∵△ABC是等边三角形，
∴AQ⊥BC，∠B＝60°，
∴∠AQB＝90°，△BPQ是等边三角形，
∴∠BQP＝60°，
∴∠AQP＝∠AQB﹣∠BQP＝90°﹣60°＝30°；
②由题意知AP＝BQ＝t，PB＝4﹣t，
当∠PQB＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴PB＝2BQ，得：4﹣t＝2t，解得t＝；
当∠BPQ＝90°时，
∵∠B＝60°，
∴BQ＝2BP，得t＝2（4﹣t），解得t＝；
∴当t＝秒或t＝秒时，△PBQ为直角三角形；
（2）AC＝AP+CQ，理由如下：
过点Q作QF∥AC，交AB于F，

则△BQF是等边三角形，
∴BQ＝QF，∠BQF＝∠BFQ＝60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BC＝AC，∠BAC＝∠BFQ＝60°，
∴∠QFP＝∠PAC＝120°，
∵PQ＝PC，
∴∠QCP＝∠PQC，
∵∠QCP＝∠B+∠BPQ，∠PQC＝∠ACB+∠ACP，∠B＝∠ACB，
∴∠BPQ＝∠ACP，
在△PQF和△CPA中，
∴△PQF≌△CPA，
∴AP＝QF，
∴AP＝BQ，
∴BQ+CQ＝BC＝AC，
∴AP+CQ＝AC．
13.（2019·连云港市期中）如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．
（1）点M、N运动　 　秒后，△AMN是等边三角形？
（2）点M、N在BC边上运动时，运动　 　秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？
（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．

【答案】见解析．
【解析】解：（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒
则：2t＝12﹣3t
解得t＝
故点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形；
（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN
则2t﹣12＝36﹣3t
解得t＝
运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；
（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN
①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，

∵∠A＝60°
∴∠AMN＝30°
∴AM＝2AN
则有2t＝2（12﹣3t）
∴t＝3；
②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，

∵∠A＝60°
∴∠ANM＝30°
∴2AM＝AN
∴4t＝12﹣3t
∴t＝；
③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，

CN＝3t﹣24＝6
解得t＝10；
④当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，

此时2t＝12+6
解得t＝9；
综上所述，点M、N运动3秒或秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．