2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题12.2二次函数与阿氏圆问题学案

二次函数与阿氏圆问题

题型特点：动点在直线上运动、PA+k•PB型线段和最小值

解题方法：构造共边共角相似问题，构造以半径为公共边的一组相似三角形，k值如果大于1，则将线段扩大相同的倍数取点，k值如果小于1，则将线段缩短相同的倍数取点，再两点之间线段最短解决问题。

【经典例题1】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线 y=﹣x2+bx+c的表达式；

（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以 A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求

AM+CM它的最小值．

【解析】(1)∵点A(−4，−4)，B(0，4)在抛物线y=−x2+bx+c上，

∴，∴，

∴抛物线的解析式为y=−x2−2x+4；

(2)设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，

∴，∴，

∴直线AB的解析式为y=2x+4，

设E(m，2m+4)，

∴G(m，−m2−2m+4)，

∵四边形GEOB是平行四边形，

∴EG=OB=4，

∴−m2−2m+4−2m−4=4，

∴m=−2，

∴G(−2，4)；

(3)①如图1，

由(2)知，直线AB的解析式为y=2x+4，

∴设E(a，2a+4)，

∵直线AC:y=−x−6，

∴F(a，−a−6)，

设H(0，p)，

∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，

∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC:y=−x−6，

∴AB⊥AC，

∴EF为对角线，

∴(−4+0)=(a+a)，(−4+p)=(2a+4−a−6)，

∴a=−2，P=−1，

∴E(−2，0).H(0，−1)；

②如图2，

由①知，E(−2，0)，H(0，−1)，A(−4，−4)，

∴EH=，AE=2，

设AE交⊙E于G，取EG的中点P，

∴PE=，

连接PC交⊙E于M，连接EM，

∴EM=EH=，∴PE/ME=，∵ME/AE=，

∴PE/ME=ME/AE=，∵∠PEM=∠MEA，

∴△PEM∽△MEA，

∴PM/AM=ME/AE=，

∴PM=AM，

∴AM+CM的最小值=PC，

设点P(p，2p+4)，

∵E(−2，0)，

∴PE2=(p+2)2+(2p+4)2=5(p+2)2，

∵PE=，

∴5(p+2)2=54，

∴p=−或p=−(由于E(−2，0)，所以舍去)，

∴P(−，−1)，

∵C(0，−6)，

∴PC=，

即：AM+CM=.

练习1-1如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B.

(1)求抛物线解析式及B点坐标；

(2)若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

(3)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由。

【解析】(1)直线y=−5x+5，x=0时，y=5

∴C(0，5)

y=−5x+5=0时，解得：x=1

∴A(1，0)

∵抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点

∴1+b+c=0；0+0+c=5  解得：b=−6；c=5

∴抛物线解析式为y=x2−6x+5

当y=x2−6x+5=0时，解得：x1=1，x2=5

∴B(5，0)

(2)如图1，过点M作MH⊥x轴于点H

∵A(1，0)，B(5，0)，C(0，5)

∴AB=5−1=4，OC=5

∴S△ABC=AB⋅OC=×4×5=10

∵点M为x轴下方抛物线上的点

∴设M(m，m2−6m+5)(1<m<5)

∴MH=|m2−6m+5|=−m2+6m−5

∴S△ABM=AB⋅MH=×4(−m2+6m−5)=−2m2+12m−10=−2(m−3)2+8

∴S四边形AMBC=S△ABC+S△ABM=10+[−2(m−3)2+8]=−2(m−3)2+18

∴当m=3，即M(3，−4)时，四边形AMBC面积最大，最大面积等于18

(3)如图2，在x轴上取点D(4，0)，连接PD、CD

∴BD=5−4=1

∵AB=4，BP=2

∴

∵∠PBD=∠ABP

∴△PBD∽△ABP

∴

∴PD=AP

∴PC+PA=PC+PD

∴当点C. P、D在同一直线上时，PC+PA=PC+PD=CD最小

∵CD=

∴PC+PA的最小值为

练习1-2如图1，抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0<m<4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M.

(1)求a的值和直线AB的函数表达式；

(2)设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若，求m的值；

(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值。

【解析】(1)令y=0，则ax2+(a+3)x+3=0，

∴(x+1)(ax+3)=0，

∴x=−1或−，

∵抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，

∴−=4，

∴a=−

∵A(4，0)，B(0，3)，

设直线AB解析式为y=kx+b，则b=3；4k+b=0，

解得k=−；b=3，

∴直线AB解析式为y=−x+3.

(2)如图1中，

∵PM⊥AB，PE⊥OA，

∴∠PMN=∠AEN，∵∠PNM=∠ANE，

∴△PNM∽△ANE，

∴，

∵NE∥OB，

∴AN/AB=AE/OA，

∴AN=(4−m)，

∵抛物线解析式为y=−x2+x+3，

∴PN=−m2+m+3−(−m+3)=−m2+3m，

∴，

解得m=2.

(3)如图2中，在y轴上取一点M使得OM=，

∵OE′=2，OM⋅OB=×3=4，

∴OE′2=OM⋅OB，

∴OE′/OM=OB/OE′，∵∠BOE′=∠MOE′，

∴△MOE′∽△E′OB，

∴ME′/BE′=OE′/OB=，

∴ME′=BE′，

∴AE′+BE′=AE′+E′M=AM′，

此时AE′+BE′最小，最小值=AM=.

练习1-3如图1，已知一条直线与抛物线y=x2相交于A，B两点，其中点A，B的横坐标分别是−2、8.

(1)求这条直线的函数表达式；

(2)如图2，设直线AB分别与x轴、y轴交于点D. E，F为OD的中点，将线段顺时针旋转得到OF′，旋转角α(0∘<α<90∘)，连接DF′，EF′，求DF′+EF′的最小值。

练习1-3【解析】(1)∵直线与抛物线y=x2相交于A，B两点，其中点A，B的横坐标分别是−2、8.

可得A(−2，1)，B(8，16)；

设直线AB的解析式为y=kx+b，则有−2k+b=18；k+b=16，

解得k=；b=4，

∴直线AB的解析式为y=x+4.

(2)取G(0，)，连接F′G.

由题意：D(−，0)，E(0，4)，F(−，0)

∴OF=OF′=，

∴OF′2=，OG⋅OE=，

∴OF′2=OG⋅OE，

∴OF′，∵∠GOF′=∠EOF′，

∴△OF′G∽△OEF′，

∴F′G=EF′，

∴DF′+EF′=DF′+F′G⩾DG，

∴DF′+EF′的最小值为DG的长，

∵DG=，

∴DF′+EF′的最小值为.