2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题13.1二次函数综合之角度相等、45°角、二倍角学案，共38页。学案主要包含了经典例题变式，经典例题2—45°角，经典例题3—二倍角，经典例题—变式等内容，欢迎下载使用。

【经典例题1——角度相等】通过平行线，等腰等角，相似求解
抛物线y＝ax2＋c与x轴交于A、B两点，顶点为C，点P为抛物线上，且位于x轴下方．
（1）如图1，若P(1，－3)、B(4，0)，
① 求该抛物线的解析式；
② 若D是抛物线上一点，满足∠DPO＝∠POB，求点D的坐标；
【解析】(1)①将P(1，−3)，B(4，0)代入y=ax2+c，得，解得，
∴抛物线的解析式为y=x2−；
②如图1，
当点D在OP左侧时，
由∠DPO=∠POB，得DP∥OB，
∴D与P关于y轴对称，且P(1，−3)，
∴D(−1，−3)；
当点D在OP右侧时，延长PD交x轴于点G.
作PH⊥OB于点H，则OH=1，PH=3.
∵∠DPO=∠POB，
∴PG=OG.
设OG=x，则PG=x，HG=x−1.
在Rt△PGH中，由x2=(x−1)2+32，得x=5.
∴点G(5，0).
∴直线PG的解析式为y=x−，
解方程组得或.
∵P(1，−3)，
∴D(，−).
∴点D的坐标为(−1，−3)或(，−).
【经典例题变式】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1，0)、B(4，0)两点，与y轴交于C(0，2)，连接AC、BC.
(1)求抛物线解析式；
(2)BC的垂直平分线交抛物线于D. E两点，求直线DE的解析式；
(3)若点P在抛物线的对称轴上，且∠CPB=∠CAB，求出所有满足条件的P点坐标。
【解析】（1）由题意，得：解得：．
故这个抛物线的解析式为y=x2-x+2．
（2）解法一：
如图1，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点M作MF⊥x轴于F．
∴△BMF∽△BCO，
∴．
∵B（4，0），C（0，2），
∴CO=2，BO=4，
∴MF=1，BF=2，
∴M（2，1）…（5分）
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CN=BN，
设ON=x，则CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN2=OC2+ON2，
∴（4-x）2=22+x2，
解得：x=，
∴N（，0）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，依题意，得：，解得：．
∴直线DE的解析式为y=2x-3．
解法二：
如图2，设BC的垂直平分线DE交BC于M，交x轴于N，连接CN，过点C作CF∥x轴交DE于F．
∵MN是BC的垂直平分线，
∴CN=BN，CM=BM．
设ON=x，则CN=BN=4-x，
在Rt△OCN中，CN2=OC2+ON2，
∴（4-x）2=22+x2，
解得：x=，
∴N（，0）． ∴BN=4-=．
∵CF∥x轴，∴∠CFM=∠BNM．
∵∠CMF=∠BMN，
∴△CMF≌△BMN．
∴CF=BN．∴F（，2）．
设直线DE的解析式为y=kx+b，得：，解得：
∴直线DE的解析式为y=2x-3．
（3）由（1）得抛物线解析式为y=x2-x+2，
∴它的对称轴为直线x=．
①如图3，设直线DE交抛物线对称轴于点G，则点G（，2），
以G为圆心，GA长为半径画圆交对称轴于点P1，
则∠CP1B=∠CAB． GA=，
∴点P1的坐标为（，-）．
②如图4，由（2）得：BN=，∴BN=BG，
∴G、N关于直线BC对称．
∴以N为圆心，NB长为半径的 N与 G关于直线BC对称．
N交抛物线对称轴于点P2，则∠CP2B=∠CAB．
设对称轴与x轴交于点H，则NH=-=1．
∴HP2=，∴点P2的坐标为（，）．
综上所述，当P点的坐标为（，-）或（，）时，∠CPB=∠CAB．
【经典例题变式】如图①，抛物线y=−x2+(a+1)x−a与x轴交于A，B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C. 已知△ABC的面积是6.
(1)求a的值；
(2)在△ABC内是否存在一点M，使得点M到点A. 点B和点C的距离相等，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ=∠AQB，求点Q的坐标。
【解析】(1)∵y=−x2+(a+1)x−a
令y=0，即−x2+(a+1)x−a=0
解得x1=a，x2=1
由图象知：a<0 ∴A(a，0)，B(1，0)
∵S△ABC=6
∴(1−a)(−a)=6
解得：a=−3，(a=4舍去)；
(2)如图①，∵A(−3，0)，C(0，3)，
∴OA=OC，
∴线段AC的垂直平分线过原点，
∴线段AC的垂直平分线解析式为：y=−x，
∵由A(−3，0)，B(1，0)，
∴线段AB的垂直平分线为x=−1
将x=−1代入y=−x，
解得：y=1
∴△ABC外接圆圆心的坐标(−1，1)
(3)如图②，作PM⊥x轴交x轴于M，则S△BAP=AB⋅PM=×4d
∵S△PQB=S△PAB
∴A、Q到PB的距离相等，
∴AQ∥PB
设直线PB解析式为：y=x+b
∵直线经过点B(1，0)
所以：直线PB的解析式为y=x−1
联立y=−x2−2x+3；y=x−1.
解得：x=−4；y=−5.
∴点P坐标为(−4，−5)
又∵∠PAQ=∠AQB，
∴∠BPA=∠PBQ，∴AP=QB，
在△PBQ与△BPA中，
AP=QB，∠BPA=∠PBQ，PB=BP，
∴△PBQ≌△ABP(SAS)，
∴PQ=AB=4
设Q(m，m+3)由PQ=4得：(m+4)2+(m+3+5)2=42
解得：m=−4，m=−8(当m=−8时，∠PAQ≠∠AQB，故应舍去)
∴Q坐标为(−4，−1).
练习1-1如下图，已知抛物线y＝ax2＋bx+5经过A(-5，0)，B(-4，-3)两点，与x轴的另一个交点为C，顶点为D，连接CD.
（1）求该抛物线的表达式.
（2）点P为该抛物线上一动点（与点B，C不重合），设点P的横坐标为t.该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC=∠BCD？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由
练习1-2.如图，抛物线y=ax2＋bx+6与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（6，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点D（4，m）在抛物线上，连接BC、BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
练习1-3.(2019泰安)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴、y轴分别交于点A(3，0)、B(0，－2)，且过点C(2，－2)．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；
(3)在抛物线上(AB下方)是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

练习1-4.抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）求直线BC的解析式；
（2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标；
（3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由．
练习1-5如图(1)，直线y=−x+n交x轴于点A，交y轴于点C(0，4)，抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B(0，−2).点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；
(3)如图(2)，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，当旋转角∠PBP′=∠OAC，且点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标。
练习1-6在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线（a>0）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，
（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．
（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A．B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若直线分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标．
【经典例题2—45°角】(2019资阳)如图，抛物线过点A(3，2)，且与直线交于B、C两点，点B的坐标为(4，m)．
（1）求抛物线的解析式；
（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM=45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】
练习2-1如图，直线y＝kx+2与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线经过点A，B．
(1)求k的值和抛物线的解析式；
(2)M（m，0）为x轴上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与直线AB及抛物线分别交于点P，N．
①若△BNP是直角三角形，求m的值．
②连接BN，当∠PBN＝45°时，求m的值．（两直线垂直，k值积为-1）
练习2-2如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(−1，0)和B(5，0)，交y轴于点C，点D是线段OB上一动点，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，过点E作直线l⊥x轴，垂足为H，过点C作CF⊥l于F，连接DF，CE交于点G.
(1)求抛物线解析式；(2)求线段DF的长；
(3)当DG=时，①求tan∠CGD的值；
②试探究在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使∠EDP=45°?若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
练习2-3如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3).
(1)求抛物线解析式；
(2)若点P为抛物线对称轴上一点，当∠APC=45°时，求点P的坐标；
(3)已知点Q(0，1)，M是抛物线上一动点，是否存在点M使得∠MBQ=45°？若存在，请写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。
练习2-4如图，直线y=x−4与x轴、y轴分别交于A. B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A. B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；
在求二倍角的问题中，先根据等腰三角形和外角定理构造二倍角，再利用三角函数（一般用正切）计算。
【经典例题3—二倍角】(2019咸宁改编)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－eq \f(1,2)x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求D点的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．
【解析】（1）在y=x+2中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2
∴A（4，0），B（0，2）
把A（4，0），B（0，2），代入y＝－eq \f(1,2)x2＋bx＋c，得
，解得
∴抛物线得解析式为y＝－eq \f(1,2)x2＋x＋2
（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，
过点D作BE得垂线，垂足为F
∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE
∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE
∴∠DBE＝∠ABE ∴∠DBE＝∠BAC
设D点的坐标为（x，－eq \f(1,2)x2＋x＋2），则BF＝x，DF＝－eq \f(1,2)x2＋x
∵tan∠DBE＝DF/BF，tan∠BAC＝BO/AO
∴，即
解得x1＝0（舍去），x2＝2
当x＝2时，－eq \f(1,2)x2＋x＋2＝3
∴点D的坐标为（2，3）
（3）当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF
设E（m，m+2），F（m，－eq \f(1,2)m2＋m＋2）
EF＝|（m+2）﹣（－eq \f(1,2)m2＋m＋2）|＝2
解得m1=m2＝2，m3=2-，m4=2+
当BO为对角线时，OB与EF互相平分
过点O作OF∥AB，直线OF:y=-x交抛物线于点F（2+，-1-）和（2-，-1+）
求得直线EF解析式为或
直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为--2或-2
∴E点的坐标为（2，1）或（--2，3+）或（-2，3-）
∴综上E点的坐标为（2，1）或（2+，-1-）或（2-，-1+）
或（--2，3+）或（-2，3-）
【经典例题—变式】如图1，四边形OABC是矩形，点A的坐标为(3，0)，点C的坐标为(0，6)，点P从点O出发，沿OA以每秒1个单位长度的速度向点A出发，同时点Q从点A出发，沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，当点P与点A重合时运动停止．设运动时间为t秒．（1）当t=2时，线段PQ的中点坐标为________；
（2）当△CBQ与△PAQ相似时，求t的值；
（3）当t=1时，抛物线y=x2+bx+c经过P，Q两点，与y轴交于点M，抛物线的顶点为K，如图2所示，问该抛物线上是否存在点D，使∠MQD=∠MKQ？若存在，求出所有满足条件的D的坐标；若不存在，说明理由．
【解析】如图1，∵点A的坐标为(3，0)，∴OA=3，
当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4，
∴P(2，0)，Q(3，4)，
∴线段PQ的中点坐标为：(，)，即(，2)；
故答案为：(，2)；
如图1，∵当点P与点A重合时运动停止，且△PAQ可以构成三角形，
∴0∵四边形OABC是矩形，
∴∠B=∠PAQ=90°
∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：
①当△PAQ∽△QBC时，PA/AQ=QB/BC，
∴，4t2−15t+9=0，(t−3)(t−)=0，
t1=3（舍），t2=，
②当△PAQ∽△CBQ时，PA/AQ=BC/BQ，
∴，t2−9t+9=0，t=，
∵>7，∴x=不符合题意，舍去，
综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或；
当t=1时，P(1，0)，Q(3，2)，
把P(1，0)，Q(3，2)代入抛物线y=x2+bx+c中得：
1+b+c=0；9+3b+c=2 ，解得：b=−3；c=2 ，
∴抛物线：y=x2−3x+2=(x−)2−，∴顶点k(，−)，
∵Q(3，2)，M(0，2)，
∴MQ//x轴，
作抛物线对称轴，交MQ于E，
∴KM=KQ，KE⊥MQ，
∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ，
如图2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，
设DQ交y轴于H，
∵∠HMQ=∠QEK=90°，
∴△KEQ∽△QMH，
∴KE/EQ=MQ/MH，∴，∴MH=2，
∴H(0，4)，
易得HQ的解析式为：y=−x+4，
则y=−x+4y=x2−3x+2 ，x2−3x+2=−x+4，
解得：x1=3（舍），x2=−，
∴D(−，)；
同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE，
由对称性得：H(0，0)，
易得OQ的解析式：y=x，
则y=x;y=x2−3x+2 ，x2−3x+2=x，
解得：x1=3（舍），x2=，
∴D(，)；
综上所述，点D的坐标为：D(−，)或(，)．
练习3-1如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y=3x+6经过A、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限抛物线上的一个动点，过点D作直线AC的垂线，垂足为点E，设点D的横坐标为t，线段DE的长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范图）；
（3）在（2）的条件下，当d=时，连接AD，点F为直线AD上方抛物线上一个动点，过点F作FG⊥AD于点G，连接DF，是否存在点F，使得△DFG中的某个角恰好等于∠DAB的2倍？若存在，求出点F的横坐标；若不存在，请说明理由．
练习3-2在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，直线AC的解析式为y=kx−3，且tan∠ACO=.
(1)如图1，求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P是x轴负半轴上一动点，连接PC、BC和BD，当∠OPC=2∠CBD时，求点P的坐标；
练习3-3如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−x2+bx+c经过A. C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点，如图2，是否存在点D，使得∠DCA=2∠BAC?若存在，直接写出点D的坐标，若不存在，说明理由。
练习3-4如图1，抛物线y=ax2+bx+2过点A(-1，0)，B(4，0)，与y轴相交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（3）如图2，点D是直线BC上方抛物线上的一个动点.过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得∠CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，请求出点D的横坐标；若不存在，请说明理由.
练习3-4如图，抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C，OB=OC=3.
(1)求该抛物线的函数解析式。
(2)如图2，点E的坐标为(0，−)，点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。
练习3-5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A()，B(6，0)两点，与y轴相交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2所示，点D为直线AB下方抛物线上的一个动点，过点DE作⊥BC于点E，问：是否存在点D，使得当∠CDE＝2∠ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
练习1-1【解析】（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝x2+6x+5…①，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣5，
即点C（﹣1，0）；
（2）设直线BP与CD交于点H，
当点P在直线BC下方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴点H在BC的中垂线上，
线段BC的中点坐标为（﹣，﹣），
过该点与BC垂直的直线的k值为﹣1，
设BC中垂线的表达式为：y＝﹣x+m，将点（﹣，﹣）代入上式并解得：
直线BC中垂线的表达式为：y＝﹣x﹣4…③，
同理直线CD的表达式为：y＝2x+2…④，
联立③④并解得：x＝﹣2，即点H（﹣2，﹣2），
同理可得直线BH的表达式为：y＝x﹣1…⑤，
联立①⑤并解得：x＝﹣或﹣4（舍），
故点P（﹣，﹣）；
当点P（P′）在直线BC上方时，
∵∠PBC＝∠BCD，∴BP′∥CD，
则直线BP′的表达式为：y＝2x+s，将点B坐标代入上式并解得：s＝5，
即直线BP′的表达式为：y＝2x+5…⑥，
联立①⑥并解得：x＝0或﹣4（舍），
故点P（0，5）；
故点P的坐标为P（﹣，﹣）或（0，5）．
练习1-2.解析】(1)当x=0时，y=6，
∴点C的坐标为(0，6).
设抛物线的解析式为y=a(x+2)(x−6)，将C(0，6)代入得：−12a=6，解得a=−.
∴抛物线的解析式为y=−12(x+2)(x−6)，整理得：y=−x2+2x+6.
(2)将x=4代入得：y=6.
∴D(4，6).
如图所示：作点DE∥x轴，过点B作BE∥y轴，作点D关于BC的对称点D′，则BD=BD′，过点D′作D′F⊥x轴，垂足为F.
∵B(6，0)，C(0，6)，
∴OB=OC.
∴∠OBC=45°.
∴∠OBC=∠EBC.
又∵∠D′BC=∠DBC，
∴∠DBE=∠D′BF.
在△DEB和△D′FB中，∠D′FB=∠DEB，∠DBE=∠D′BF，BD=BD′，
∴△DEB≌△D′FB.
∴D′F=ED=2，BF=BE=6.
∴点D′的坐标为(0，2).
设BD′的解析式为y=kx+2，将点B的坐标代入得：6k+2=0，解得k=−，
∴BD′的解析式为y=−x+2.
将y=−x+2代入y=−x2+2x+6得：−x+2=−x2+2x+6，整理得：3x2−14x−24=0，解得：x=6(舍去)或x=−.
将x=−代入得：y=−×(−)+2=+2=
∴点P的坐标为(−，).
练习1-3
【解析】抛物线解析式y=x2-x-2
(2)点P的坐标（4，）
(3)
练习1-4.【解析】(1)在y=−x2+2x+3中，令y=0可得0=−x2+2x+3，解得x=−1或x=3，令x=0可得y=3，
∴B(3，0)，C(0，3)，
∴可设直线BC的解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=−1，
∴直线BC解析式为y=−x+3；
(2)∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线对称轴为x=1，
设抛物线对称轴交直线BC于点D，交x轴于点E，当点P在x轴上方时，如图1，
∵∠APB=∠ABC=45°，且PA=PB，
∴∠PBA=(180°−45°)/2=67.5°，∠DPB=∠APB=22.5°，
∴∠PBD=67.5°−45°=22.5°，
∴∠DPB=∠DBP，
∴DP=DB，
在Rt△BDE中，BE=DE=2，由勾股定理可求得BD=2，
∴PE=2+2，
∴P(1，2+2)；
当点P在x轴下方时，由对称性可知P点坐标为(1，−2−2)；
综上可知P点坐标为(1，2+2)或(1，−2−2)；
(3)设Q(x，−x2+2x+3)，当点Q在x轴下方时，如图2，过Q作QF⊥y轴于点F，
当∠OCA=∠OCQ时，则△QEC∽△AOC，
∴QE/CE=AO/CO=，即，解得x=0(舍去)或x=5，
∴当Q点横坐标为5时，∠OCA=∠OCQ；
当Q点横坐标大于5时，则∠OCQ逐渐变小，故∠OCA>∠OCQ；
当Q点横坐标小于5且大于0时，则∠OCQ逐渐变大，故∠OCA<∠OCQ.
练习1-5【解析】点C(0，4)在直线y=−x+n上，
∴n=4，∴y=−x+4，
令y=0，∴x=3，
∴A(3，0)，
∵抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B(0，−2).
∴c=−2，6+3b−2=0，∴b=−，
∴抛物线解析式为y=x2−x−2，
(2)∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线上，
∴P(m，m2−m−2)，D(m，−2).
若△BDP为等腰直角三角形，则PD=BD.
①当点P在直线BD上方时，PD=m2−m.
(ⅰ)若点P在y轴左侧，则m<0，BD=−m.
∴m2−m=−m，
∴m1=0(舍去)，m2=(舍去).
(ⅱ)若点P在y轴右侧，则m>0，BD=m.
∴m2−m=m，
∴m3=0(舍去)，m4=.
②当点P在直线BD下方时，m>0，BD=m，PD=−m2+m.
−m2+m=m，
∴m5=0(舍去)，m6=.
综上所述，m=或m=.
即当△BDP为等腰直角三角形时，PD的长为或.
(3)∵∠PBP′=∠OAC，OA=3，OC=4，
∴AC=5，
∴sin∠PBP′=，cs∠PBP′=，
①当点P′落在x轴上时，过点D′作D′N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，
∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，
如图1，
由旋转知，P′D′=PD=m2−m，
在Rt△P′D′N中，cs∠ND′P′=ND′P′D′=cs∠PBP′=，
∴ND′=(m2−m)，
在Rt△BD′M中，BD′=−m，sin∠DBD′=D′MBD′=sin∠PBP′=，
∴D′M=−m，
∴ND′−MD′=2，
∴(m2−m)−(−m)=2，
∴m=(舍)，或m=−，
如图2，
同①的方法得，ND′=(m2−m)，MD′=m
∵ND′+MD′=2，
∴(m2−m)+m=2，
∴m=，或m=−(舍)，
∴P(−，)或P(，)，
②当点P′落在y轴上时，如图3，
过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过点P′作P′N⊥y轴，交MD′的延长线于点N，
∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，
同①的方法得，P′N=(m2−m)，BM=m，
∵P′N=BM，
∴(m2−m)=m，
∴m=，
∴P(，).
∴P(−，)或P(，)或P(，).
练习1-6【解析】（1）如图1，∵AB与x轴平行，
根据抛物线的对称性有AE=BE=1，
∵∠AOB=90°，
∴OE=
AB=1，
∴A（-1，1）、B（1，1），
把x=1时，y=1代入y=ax2得：a=1，
∴抛物线的解析式y=x2，
A、B两点的横坐标的乘积为xA•xB=-1
（2）xA•xB=-1为常数，
如图2，过A作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
∴∠MAO+∠AOM=∠AOM+∠BON=90°，
∴∠MAO=∠BON，
∴△AMO∽△BON，
∴AM/ON=OM/BN，
∴OM•ON=AM•BN，
设A（xA，yA），B（xB，yB），
∵A（xA，yA），B（xB，yB）在y=x2图象上，
∴，yA=，yB=，
∴-xA•xB=yA•yB=•，
∴xA•xB=-1为常数；
（3）设A（m，m2），B（n，n2），
如图3所示，过点A、B分别作x轴的垂线，垂足为E、F，则易证△AEO∽△OFB．
∴AE/OF=OE/BF，即，整理得：mn（mn+1）=0，
∵mn≠0，∴mn+1=0，即mn=-1．
设直线AB的解析式为y=kx+b，联立
y=kx+b，y=x2
，得：x2-kx-b=0．
∵m，n是方程的两个根，∴mn=-b．
∴b=1．
∵直线AB与y轴交于点D，则OD=1．
易知C（0，-2），OC=2，∴CD=OC+OD=3．
∵∠BPC=∠OCP，∴PD=CD=3．
设P（a，-2a-2），过点P作PG⊥y轴于点G，则PG=-a，GD=OG-OD=-2a-3．
在Rt△PDG中，由勾股定理得：PG2+GD2=PD2，
即：（-a）2+（-2a-3）2=32，整理得：5a2+12a=0，
解得a=0（舍去）或a=-，
当a=-时，-2a-2=，
∴P（-，）．
练习2-1【解析】(1)把A(3，0)代入y=kx+2中得，0=3k+2，
∴k=−，
∴直线AB的解析式为：y=−x+2，
∴B(0，2)，
把A(3，0)和B(0，2)代入抛物线y=−x2+bx+c中，
则0=−12+3b+c，c=2，
解得：b=，c=2，
二次函数的表达式为：y=x2+x+2；
(2)①当∠BNP=90°时，且∠AMN=90°，
∴∠BNP=∠AMN，
∴BN∥AO，∴点N的纵坐标为2，
∴2=x2+x+2，
∴x=0(舍去)，x=，∴点N坐标(，2)；
当∠NBP=90°时，
直线BN的解析式为：y=x+2，
∴x+2=x2+x+2，
∴x=0(舍去)，x=，∴点N(，)
②有两解，N点在AB的上方或下方，
如图2，过点B作BN的垂线交x轴于点G，
过点G作BA的垂线，垂足为点H.
由∠PBN=45° 得∠GBP=45°，
∴GH=BH，
设GH=BH=t，则由△AHG∽△AOB，
∴AH/AO=AG/AB=GH/OB，
得AH=t，GA=t，
由AB=AH+BH=t+t=，解得t=，
∴AG=×=，
从而OG=OA−AG=3−=，即G(，0)，由B(0，2)，G(，0)得：
直线BG:y=−5x+2，直线BN:y=0.2x+2.
则y=−5x+2，y=x2+x+2，
解得：x1=0(舍)，x2=，即m=；
则y=0.2x+2，y=x2+x+2，
解得：x1=0(舍)，x2=；即m=；
故m=与m=为所求。
练习2-2【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+3交x轴于A(−1，0)和B(5，0)，
∴a−b+3=0，25a+5b+3=0，解得a=−，b=，
∴抛物线解析式为：y=−x2+x+3；
(2)当x=0时，y=−x2+x+3=3，则C(0，3)，如图1，
∵CD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，
∴CD=DE，∠CDE=90°，
∵∠2+∠3=90°，
而∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△OCD和△HDE中
∠DOC=∠EHD，∠1=∠3，CD=DE，
∴△OCD≌△HDE，
∴HD=OC=3，
∵CF⊥BF，
∴四边形OCFH为矩形，
∴HF=OC=3，
∴DF=；
(3)①∵△CDE和△DFH都是等腰直角三角形，如图1，
∴∠DCE=45°，∠DFH=45°，
∴∠DFC=45°，
而∠CDG=∠FDC，
∴△DCG∽△DFC，
∴CD/DF=DG/DC，∠DGC=∠DCF，
即，解得CD=，
∵CF∥OH，
∴∠DCF=∠2，
∴∠CGD=∠2，
在Rt△OCD中，OD=
∴tan∠2=OC/OD=3，
∴tan∠CGD=3；
②∵OD=1，
∴D(1，0)，
∵△OCD≌△HDE，
∴HD=OC=3，EH=OD=1，
∴E(4，1)，
取CE的中点M，如图2，则M(2，2)，
∵△DCE为等腰直角三角形，∠EDP=45°，
∴DP经过CE的中点M，
设直线DP的解析式为y=mx+n，
把D(1，0)，M(2，2)代入得m+n=0，2m+n=2，解得m=2，n=−2，
∴直线DP的解析式为y=2x−2，
解方程组得或(舍去)，
∴P点坐标为(，).
练习2-3【解析】过点C作CE垂直抛物线对称轴于点E，以CE
点P坐标（1,1+），（1,1-）
点M坐标（1,4），（,）
练习2-4【解析】(1)直线解析式y=x−4，
令x=0，得y=−4；令y=0，得x=4.
∴A(4，0)、B(0，−4).
∵点A. B在抛物线y=x2+bx+c上，
∴+4b+c=0；c=−4，解得b=−13；c=−4，
∴抛物线解析式为：y=x2−x−4.
令y=x2−x−4=0，解得：x=−3或x=4，
∴C(−3，0).
(2)∠MBA+∠CBO=45°，
设M(x，y)，
①当BM⊥BC时，如答图2−1所示。
∵∠ABO=45°，
∴∠MBA+∠CBO=45°，故点M满足条件。
过点M1作M1E⊥y轴于点E，则M1E=x，OE=−y，
∴BE=4+y.
∵tan∠M1BE=tan∠BCO=，∴=，
∴直线BM1的解析式为：y=x−4.
联立y=x−4与y=x2−x−4，
得：x−4=x2−x−4，
解得：x1=0，x2=，
∴y1=−4，y2=−，
∴M1(，−)；
②当BM与BC关于y轴对称时，如答图2−2所示。
∵∠ABO=∠MBA+∠MBO=45°，∠MBO=∠CBO，
∴∠MBA+∠CBO=45°，
故点M满足条件。
过点M2作M2E⊥y轴于点E，
则M2E=x，OE=y，∴BE=4+y.
∵tan∠M2BE=tan∠CBO=，∴=，
∴直线BM2的解析式为：y=x−4.
联立y=x−4与y=x2−x−4得：x−4=x2−13x−4，
解得：x1=0，x2=5，∴y1=−4，y2=，
∴M2(5，).
综上所述，满足条件的点M的坐标为：(，−)或(，−).
练习3-1【解析】∵直线y=3x+6经过A、C两点，
∴A(−2，0)，C(0，6)，
把A、C两点坐标代入y=−x2+bx+c得到：c=6；−2−2b+c=0 ，
解得b=2；c=6 ，
∴抛物线的解析式为y=−x2+2x+6．
如图1中，连接CD、AD、OD．
∵A(−2，0)，C(0，6)，D(t，−t2+2t+6)
∴AC=，
∴S△ACD=⋅AC⋅DE=S△ACO+S△OCD−S△AOD，
∴⋅⋅d=×2×6+×6×t−×2×(−t2+2t+6)，
∴d=t2+t．
当d=时，=+t，
解得t=5或−7（舍弃），
∴D(5，)．
如图，作DE⊥AB于E，作FM//AB交AD的延长线于M，在AE上截取AH=DH，连接DH，延长ED交FM于K．
∵A(−2，0)，D(5，72)，
∴DE=，AE=7，设AH=DH=x，
在Rt△DHE中，x2=(7−x)2+()2，
解得x=，∴EH=7−=，
∴tan∠DHE=/=．
①当∠FDG=2∠DAB时，∵FM//AB，
∴∠M=∠MAB，∵∠FDG=∠M+∠DFM，
∴∠DFM=∠DAB，
∴tan∠MFD=tan∠DAB=，
∴KD/FK=，设F(m，−m2+2m+6)，
∵D(5，)，
∴DK=−m2+2m+6−，FK=5−m，
∵FK=2DK，
∴5−m=−m2+4m+−7，
解得m=0或5（舍弃）．
②当∠DFG=2∠DAB时，∵∠DHE=∠DFG，
∴tan∠DFG=tan∠DHE=43=DGFG，设DG=4k，则FG=3k，DF=5k，
∵tan∠M=FGGM=，
∴MG=6k，∴DM=2k，
∴FM=k，DK=k，KM=，
∴KF=k，
∴DK/FK=k/k=，
解得m=−或5（舍弃）．
综上所述，满足条件的m的值为0或−．
练习3-2【解析】（1）如图1，∵直线AC的解析式为y=kx-3，
令x=0，得y=-3，
∴C（0，-3）．
又∵tan∠ACO=，
∴A（-1，0）．
∴c=-3；(-1)2+b×(-1)+c=0，
解得b=-2，c=-3，
∴抛物线y=x2-2x-3．
（2）如图2，∵点P是x轴负半轴上一动点，
∴设P（x0，0），x0<0；
且C（0，-3），B（3，0），D（1，-4）．
在Rt△POC中，tan∠OPC=．
在△BCD中，根据等面积法求得cs∠CBD=，
∴sin∠CBD=，∴tan∠CBD=，
又∵∠OPC=2∠CBD，tan2∠CBD=，
即tan∠CBD==，
解得x0=-4，
∴点P的坐标为P（-4，0）．
练习3-3【解析】(1)根据题意得A(−4，0)，C(0，2)，
∵抛物线y=−x2+bx+c经过A. C两点，
∴，∴b=−，c=2，
∴y=−x2−x+2；
(2)∵A(−4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
取AB的中点P，
∴P(−，0)，∴PA=PC=PB=，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan(2∠BAC)=，
过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
如图2，
∴∠DCA=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即RC:DR=，
令D(a，−a2−a+2)，
∴DR=−a，RC=−a2−a，∴(−a2−a):(−a)=1:2，
∴a1=0(舍去)，a2=−2，
∴xD=−2，
∴yD=3，
∴点D的坐标为(−2，3).
练习3-4【解析】【解析】（1）OB=OC=3，则：B（3，0），C（0，3），
把B、C坐标代入抛物线方程，
解得抛物线方程为：y=-x2+2x+3…①；
（2）当点P在第一象限时，
①如图所示，当∠PEB=2∠OBE=2α时，
过点E作∠PEB的平分线交x轴于G点，PE交x轴于H点，
则：∠PEQ=∠QEB=∠ABE=α，则∠HGE=2α，
设：GB=m，则：OG=3-m，GE=m，
在Rt△OGE中，由勾股定理得：EG2=OG2+OE2，
即：m2=（3-m）2+（）2，解得：m=，
则：GE=，OG=，BE=，
∵∠PEQ=∠ABE=α，∠EHG=∠EHG，∴△HGE∽△HEB，
∴，设：GH=，HE=4x，
在Rt△OHE中，OH=OG-HG=-，OE=，EH=4x，
由勾股定理解得：x=，则：OH=，H（，0），
把E、H两点坐标代入一次函数表达式，
解得：EH所在直线的表达式为：y=x-，
将上式与①联立并解得：x=1，
则点P（1，4）；
②当∠PBE=2∠OBE时，则∠PBO=∠EBO，
BE所在直线的k值为，则BP所在直线的k值为-，
则：PB所在的直线方程为：y=-x+，
将上式与①联立，解得：x=-或3，
与题意不符，都舍去．
故：点P坐标为：（1，4）；
当P在第二象限时，同理可得：点P坐标（-，）
在三、四象限时，坐标为（-，-）、（，-），
故点P的坐标为：（1，4）或（-，）或（-，-）或（，-）．
练习3-5如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2与x轴交于点A()，B(6，0)两点，与y轴相交于点C.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2所示，点D为直线AB下方抛物线上的一个动点，过点DE作⊥BC于点E，问：是否存在点D，使得当∠CDE＝2∠ABC？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.