2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题14二次函数综合之新定义、探究问题学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题14二次函数综合之新定义、探究问题学案，共28页。学案主要包含了经典例题1，经典例题2，经典例题3，经典例题4，经典例题5等内容，欢迎下载使用。

新定义探究问题
类型一：新定义类问题
【经典例题1】阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”．例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=﹣x+4．

问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部．
（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；
（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；
（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将△OAP沿着OP折叠，点A落在点A′的位置，当点A′在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？
【解析】(1)∵点D(m，n)，
∴点D(m，n)的特征线是x=m，y=n，y=x+n−m，y=−x+m+n；
(2)点D有一条特征线是y=x+1，
∴n−m=1，
∵抛物线解析式为y=(x−m)2+n，
∴y=(x−m)2+m+1，
∵四边形OABC是正方形，且D点为正方形的对称轴，D(m，n)，
∴B(2m，2m)，
∴(2m−m)2+n=2m，将n=m+1带入得到m=2，n=3；
∴D(2，3)，
∴抛物线解析式为y=(x−2)2+3
(3)如图，当点A′在平行于y轴的D点的特征线时，
根据题意可得，D(2，3)，
∴OA′=OA=4，OM=2，
∴∠A′OM=60∘，
∴∠A′OP=∠AOP=30∘，
∴MN==，
∴抛物线需要向下平移的距离=3−=.
如图，当点A′在平行于x轴的D点的特征线时，设A′(p，3)，
则OA′=OA=4，OE=3，EA′=，
∴A′F=4−，
设P(4，c)(c>0)，
，在Rt△A′FP中，(4−)2+(3−c)2=c2，
∴c=，
∴P(4，)
∴直线OP解析式为y=x，
∴N(2，)，
∴抛物线需要向下平移的距离=3−=，
即：抛物线向下平移或距离，其顶点落在OP上。

练习1-1在平面直角坐标系xoy中，对“隔离直线”给出如下定义：点P(x，m)是图形G1上的任意一点，点Q(x，n)是图形G2上的任意一点，若存在直线l：y=kx+b(k≠0)满足m≤kx+b且n≥kx+b，则称直线l：y=kx+b(k≠0)是图形G1与G2的“隔离直线”，如图1，直线l：y=-x-2是函数的图像与正方形OABC的一条“隔离直线”.

（1）在直线①y1=-x-1，②y2=3x+1，③y3=-x+4，④y4=-2x中，是图1函数的图像与正方形OABC的“隔离直线”的为 .
（2）如图，第一象限的等腰直角三角形EDF的两腰分别与坐标轴平行，直角顶点D的坐标是(2，1)，⊙O的半径为，是否存在△EDF与⊙O的“隔离直线”？若存在，求出此“隔离直线”的表达式：若不存在，请说明理由；
（3）正方形A1B1C1D1的一边在y轴上，其它三边都在y轴的左侧，点M(-1，t)是此正方形的中心，若存在直线y=-2x+b是函数y=x2+2x-3(-4≤x≤0)的图像与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，请直接写出t的取值范围.




练习1-2已知：抛物线C1:y=−(x+m)2+m2(m>0)，抛物线C2:y=(x−n)2+n2(n>0)，称抛物线C1，C2互为派对抛物线，例如抛物线C1:y=−(x+1)2+1与抛物线C2:y=(x−)2+2是派对抛物线，已知派对抛物线C1，C2的顶点分别为A，B，抛物线C1的对称轴交抛物线C2于C，抛物线C2的对称轴交抛物线C1与D.
(1)已知抛物线①y=−x2−2x，②y=(x−3)2+3，③y=(x−)2+2，④y=x2−x+，则抛物线①②③④中互为派对抛物线的是 (请在横线上填写抛物线的数字序号)；
(2)如图1，当m=1，n=2时，证明AC=BD；
(3)如图2，连接AB，CD交于点F，延长BA交x轴的负半轴于点E，记BD交x轴于G，CD交x轴于点H，∠BEO=∠BDC.
①求证：四边形ACBD是菱形；②若已知抛物线C2:y=(x−2)2+4，请求出m的值。

练习1-3如图1，直线y=x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B(0，−1)，抛物线y=x2+bx+c经过点B，点C的横坐标为4.
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)将△AOB绕平面内某点M旋转90∘或180∘，得到△A1O1B1，点A. O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180∘时点A1的横坐标。


【经典例题2】阅读下列材料：
我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B 不同时为0）．如
图1，点 P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d=．

例：求点P(1，2)到直线y=x−16的距离d时，先将y=x−化为5x−12y−2=0，再由上述距离公式求得d=.
解答下列问题：
如图2，已知直线y=−x−4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x2−4x+5上的一点M(3，2).
(1)求点M到直线AB的距离。
(2)抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小?若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)将直线AB变为：4x+3y+12=0，
又M(3，2)，
则点M到直线AB的距离d==6；
(2)假设抛物线上存在点P，使得△PAB的面积最小，设P坐标为(a，a2−4a+5)，
∵y=3a2−8a+27中，△=64−12×27=−260<0，
∴y=3a2−8a+27中函数值恒大于0，
∴点M到直线AB的距离d==，
又函数y=3a2−8a+27，当a=时，ymin=，
∴dmin==，此时P坐标为(，)；
又y=−x−4，令x=0求出y=−4，令y=0求出x=−3，
∴OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理得：AB=，
∴S△PAB的最小值为×5×=.


练习2-1已知点 P（x0，y0）和直线 y=kx+b，则点 P 到直线 y=kx+b 的距离证明可用公式 d=计算．
例如：求点 P（﹣1，2）到直线 y=3x+7 的距离．
解：因为直线 y=3x+7，其中 k=3，b=7．
所以点 P（﹣1，2）到直线 y=3x+7 的距离为：d===． 根据以上材料，解答下列问题：
（1）求点 P（1，﹣1）到直线y=x﹣1 的距离；
（2）已知⊙Q 的圆心 Q 坐标为（0，5），半径r为，判断⊙Q与直线y=x+9 的位置关系并说明理由；
（3）已知直线y=﹣2x+4 与y=﹣2x﹣6平行，求这两条直线之间的距离．





类型二：探究类问题
【经典例题3】已知：如图，抛物线y=a(x﹣1)2+c与x轴交于点A（1-，0）和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P'（1，3）处．
(1)求原抛物线的解析式；
(2)在原抛物线上，是否存在一点，与它关于原点对称的点也在该抛物线上?若存在，求满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由。
(3)学校举行班徽设计比赛，九年级5班的小明在解答此题时顿生灵感：过点P'作x轴的平行线交抛物线于C、D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽（CD）的比非常接近黄金分割比（约等于 0.618）．请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少？（参考数据：，，结果可保留根号）

【解析】(1)由题意得，点P与点P′关于x轴对称
所以由P′(1，3)得，P(1，−3)
将A(1−，0)，P(1，−3)代入方程y=a(x−1)2+c中
3a+c=0;c=−3
解得，a=1，c=−3
所以原抛物线的解析式为y=(x−1)2−3；
(2)假设存在满足题意的点(x，y)，其关于原点对称的点为(−x，−y)，
则，解得，，
∴存在满足题意的点为(−，2)和(，−2)；
(3)∵CD∥x轴，P′(1，3)在CD上；
∴C、D两点纵坐标为3，有(x−1)2−3=3，
解得：x1=1−，x2=1+，
∴CD=(1+)−(1−)=2，
∴“W”图案的高与宽(CD)的比为：=≈0.612.
练习3-1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC．
（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；
（4）在直线BC上方的曲线M上确定两个点D1，D2，使得S△D1BC＝S△D2BC＝S△ABC．并求出点D1，D2的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点T1，T2，T3，T4，T5，使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点T1，T2，T3，T4，T5的坐标；若不存在，请说明理由．


练习3-2如图，已知二次函数 y = x2-3，将其图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线y= x+ b与这个新图象有两个公共点时，求b 的取值范围。



【经典例题4】（2019年）两条抛物线C1:y1=3x2-6x-1与C2:y2=x2-mx+n的顶点相同。
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）点A是抛物找C2在第四象限内图象上的一动点，过点A作AP⊥x轴，P为垂足，求AP+OP的最大值；
（3）设抛物线C2的顶点为点C，点B的坐标为（，），问在C2的对称轴上是否存在点Q，使线段QB绕点Q顺时针旋转90°得到线段QB'，且点B'恰好落在抛物线C2上？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。
【解析】(1)∵y1=−2x2+4x+2=−2(x−1)2+4，
∴抛物线C1的顶点坐标为(1，4).
∵抛物线C1:与C2顶点相同，
∴，−1+m+n=4.
解得：m=2，n=3.
∴抛物线C2的解析式为u2=−x2+2x+3.
(2)如图1所示：
设点A的坐标为(a，−a2+2a+3).
∵AQ=−a2+2a+3，OQ=a，
∴AQ+OQ=−a2+2a+3+a=−a2+3a+3=−(a−)2+.
∴当a=时，AQ+OQ有最大值，最大值为.
(3)如图2所示;连接BC，过点B′作B′D⊥CM，垂足为D.
∵B(−1，4)，C(1，4)，抛物线的对称轴为x=1，
∴BC⊥CM，BC=2.
∵∠BMB′=90∘，
∴∠BMC+∠B′MD=90∘.
∵B′D⊥MC，
∴∠MB′D+∠B′MD=90∘.
∴∠MB′D=∠BMC.
在△BCM和△MDB′中，∠MB′D=∠BMC，∠BCM=∠MDB′，BM=MB′，
∴△BCM≌△MDB′.
∴BC=MD，CM=B′D.
设点M的坐标为(1，a).则B′D=CM=4−a，MD=CB=2.
∴点B′的坐标为(a−3，a−2).
∴−(a−3)2+2(a−3)+3=a−2.
整理得：a2−7a−10=0.
解得a=2，或a=5.
当a=2时，M的坐标为(1，2)，
当a=5时，M的坐标为(1，5).
综上所述当点M的坐标为(1，2)或(1，5)时，B′恰好落在抛物线C2上。

练习4-1已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（4，﹣5）．
(1)如图，过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为B、C，得到矩形ABOC，且抛物线经过点C．
①求抛物线的解析式．
②将抛物线沿直线x＝m（2＞m＞0）翻折，分别交线段OB、AC于D，E两点．若直线DE刚好平分矩形ABOC的面积，求m的值．
(2)将抛物线旋转180°，使点A的对应点为A1（m﹣2，n﹣4），其中m≤2．若旋转后的抛物线仍然经过点A，求旋转后的抛物线顶点所能达到最低点时的坐标．




【经典例题5】如图，抛物线T1:y=−x2−2x+3，T2:y=x2−2x+5，其中抛物线T1与x轴交于A. B两点，与y轴交于C点.P点是x轴上一个动点，过P点并且垂直于x轴的直线与抛物线T1和T2分别相交于N、M两点。设P点的横坐标为t.
(1)用含t的代数式表示线段MN的长；当t为何值时，线段MN有最小值，并求出此最小值；
(2)随着P点运动，P、M、N三点的位置也发生变化。问当t何值时，其中一点是另外两点连接线段的中点?
(3)将抛物线T1平移，A点的对应点为A′(m−3，n)，其中≤m≤，且平移后的抛物线仍经过C点，求平移后抛物线顶点所能达到的最高点的坐标。

【解析】（1）M（t，t2-2t+5），N（t，-t2-2t+3），MN=t2-2t+5-（-t2-2t+3）=2t2+2，
∴当t=0时，MN有最小值为2；
（2）当N点是线段MP的中点时，MN=NP，2t2+2=-t2-2t+3，解得：t1=-1，t2=；
当P点是线段MN的中点时，MP=NP，t2-2t+5=-（-t2-2t+3），解得t=2；
M点不可能是线段PN的中点，所以当t为或-1或2时，P、M、N三点其中一点是另外两点连接线段的中点；
（3）因为y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4，所以顶点坐标为（-1，4），
因为A（-3，0）平移后的对应点为A'（m-3，n），所以顶点（-1，4）的对应点，
为（-1+m，4+n），所以平移后的抛物线为y=-(x+1-m)2+4+n，
将C（0，3）代入得：3=-(1-m)2+4+n，所以4+n=3+(m-1)2，又因为≤m≤，
当m=时，4+n有最大值为，此时顶点坐标为（，）．
即：平移后抛物线顶点所能达到的最高点的坐标为（，）．

练习5-1如图，抛物线y1=x2−(2a+4)x+a2+4a与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，过点(−2，0)且平行于y轴的直线l与抛物线y1交于点P.
(1)当a=0时，y1的对称轴为___，AB长为___；
当a=1时，y1的对称轴为___，AB长为___；
(2)猜想：当a为任何值时，AB的长是否会发生变化，请说明理由；
(3)抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，抛物线y2与直线l交于点Q.
①用含a的式子表示线段PQ的长___；
②抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，y1向右平移2个单位得到抛物线y3，y1向右平移n−1(n为正整数)个单位得到抛物线yn，当a=−3，抛物线yn与直线l交于点R，四边形PARB的面积为70时，求n的值。



练习5-2如图1，抛物线y=ax2+c与x轴，y轴的正半轴分别交于点B(4，0)和点C(0，4)，与x轴负半轴交于点A，动点M从点A出发沿折线AC−B向终点B匀速运动，将线段OM绕点O顺时针旋转60∘得到线段ON，连接MN.
(1)求抛物线y=ax2+c的函数表达式；
(2)如图2，当点N在线段AC上时，求证：AM=CN；
(3)当点N在线段BC上时，直接写出此时直线MN与抛物线交点的纵坐标；
(4)设BN的长度为n，直接写出在点M移动的过程中，n2的取值范围。

练习5-3如图，二次函数y=a(x2﹣2mx﹣3m2)（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
(1)用含m的代数式表示a； (2)求：的值；
(3)设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．

练习5-4已知抛物线C1的顶点为P（1，0），且过点（0，）．将抛物线C1向下平移h个单位（h＞0）得到抛物线C2．一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点（如图），且点 A、C 关于y轴对称，直线AB与x轴的距离是m2（m＞0）．
(1)求抛物线C1的解析式的一般形式；
(2)当m=2时，求h的值；
(3)若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E，与抛物线C2交于点F．求证：tan∠EDF﹣tan∠ECP=．























参考答案
类型一：新定义类问题
练习1-1【解析】(1)根据的“隔离直线”的定义可知，是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；直线也是图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”；而与不满足图1函数的图象与正方形OABC的“隔离直线”的条件；故答案为：①④；
(2)存在，理由如下：
连接，过点作轴于点，如图，

在Rt△DGO中，，
∵⊙O的半径为，∴点D在⊙O上．
过点D作DH⊥OD交y轴于点H，
∴直线DH是⊙O的切线，也是△EDF与⊙O的“隔离直线”．
设直线OD的解析式为，
将点D(2，1)的坐标代入得，解得：，
∵DH⊥OD，
∴设直线DH的解析式为，
将点D(2，1)的坐标代入得，
解得：，
∴直线DH的解析式为，
∴“隔离直线”的表达式为；
(3) 如图：
由题意点F的坐标为()，
当直线经过点F时，，
∴，
∴直线，即图中直线EF，
∵正方形A1B1C1D1的中心M(1，t)，
过点作⊥y轴于点G，
∵点是正方形的中心，且，
∴B1C1，，
∴正方形A1B1C1D1的边长为2，
当时，，
∴点C1的坐标是()，此时直线EF是函数)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”，
∴点的坐标是(-1，2)，
此时；
当直线与只有一个交点时，
，消去y得到，
由，可得，
解得：，
同理，此时点M的坐标为：()，
∴，
根据图象可知:
当或时，直线是函数)的图象与正方形A1B1C1D1的“隔离直线”．


练习1-2【解析】(1)①y=−x2−2x=−(x+1)2+1，②y=(x−3)2+3=(x−3)2+()2，③y=(x−)2+()2，④y=x2−x+=(x−)2+()2，
所以①与③互为派对抛物线；①与④互为派对抛物线；
故答案为①与③；①与④；
(2)证明：当m=1，n=2时，抛物线C1:y=−(x+1)2+1，抛物线C2:y=(x−2)2+4，
∴A(−1，1)，B(2，4)，
∵AC∥BD∥y轴，
∴点C的横坐标为−1，点D的横坐标为2，
当x=−1时，y=(x−2)2+4=13，则C(−1，13)；
当x=2时，y=−(x+1)2+1=−8，则D(2，−8)，
∴AC=13−1=12，BD=4−(−8)=12，
∴AC=BD;
(3)①抛物线C1:y=−(x+m)2+m2(m>0)，则A(−m，m2)；
抛物线C2:y=(x−n)2+n2(n>0)，则B(n，n2)；
当x=−m时，y=(x−n)2+n2=m2+2mn+2n2，则C(−m，m2+2mn+2n2)；
当x=n时，y=−(x+m)2+m2=−2mn−n2，则D(n，−2mn−n2)；
∴AC=m2+2mn+2n2−m2=2mn+2n2，BD=n2−(−2mn−n2)=2mn+2n2，
∴AC=BD；∴四边形ACBD为平行四边形，
∵∠BEO=∠BDC，
而∠EHF=∠DHG，∴∠EFH=∠DGH=90∘，
∴AB⊥CD，
∴四边形ACBD是菱形；
②∵抛物线C2:y=(x−2)2+4，则B(2，4)，
∴n=2，∴AC=BD=2mn+2n2=4m+8，
而A(−m，m2)，∴C(−m，m2+4m+8)，
∴BC2=(−m−2)2+(m2+4m+8−4)2=(m+2)2+(m+2)4，
∵四边形ACBD是菱形，
∴BC=BD，∴(m+2)2+(m+2)4=(4m+8)2，
即(m+2)4=15(m+2)2，
∵m>0，∴(m+2)2=15，
∴m+2=，∴m=−2.
练习1-3【解析】(1)∵直线l:y=x+m经过点B(0，−1)，
∴m=−1，
∴直线l的解析式为y=x−1，
∵直线l:y=x−1经过点C，且点C的横坐标为4，
∴y=×4−1=2，
∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(4，2)和点B(0，−1)，
∴×42+4b+c=2；c=−1，
解得b=−；c=−1，
∴抛物线的解析式为y=x2−x−1；
(3)“落点”的个数有4个，如图1，图2，图3，图4所示。
如图3中，设A1的横坐标为m，则O1的横坐标为m+，
∴m2−m−1=(m+)2−(m+)−1，
解得：m=，
如图4中，设A1的横坐标为m，则B1的横坐标为m+，B1的纵坐标比例A1的纵坐标大1，
∴m2−m−1+1=(m+)2−(m+)−1，
解得：m=，
∴旋转180°时点A1的横坐标为或.


练习2-1【解析】(1)因为直线y=x−1，其中k=1，b=−1，
所以点P(1，−1)到直线y=x−1的距离为：d====
(2)Q与直线y=x+9的位置关系为相切。
理由如下：
圆心Q(0，5)到直线y=x+9的距离为：d===2，
而O的半径r为2，即d=r，
所以Q与直线y=x+9相切；
(3)当x=0时，y=−2x+4=4，即点(0，4)在直线y=−2x+4，
因为点(0，4)到直线y=−2x−6的距离为：d===2
因为直线y=−2x+4与y=−2x−6平行，
所以这两条直线之间的距离为2.
练习3-1（1）抛物线解析式y=-x2+2x+3(-1≤x≤3)
（4）D1（）、D2（）
T1（）、T2（）、T3（）、T4（）、T5（），使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为。




练习3-2
【解析】二次函数y=x2−3与x轴的交点坐标为(−，0)、(，0)，
当直线y=x+b与y=−x2+3(−时，直线y=x+b与此图象有两个公共点时，
当直线y=x+b经过点(−，0)与点(，0)之间时，直线y=x+b与此图象有两个公共点时，解得− 所以b的取值范围为b>−或− 故答案为b>或− 练习4-1（1）抛物线解析式y=x2-4x-5;m=
(2)旋转后的抛物线顶点所能达到最低点时的坐标（2，-1）








练习5-1【解析】（1）当y=0时，有x2-（2a+4）x+a2+4a=0，即（x-a）[x-（a+4）]=0，
解得：x1=a，x2=a+4，
∴点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（a+4，0）．
当a=0时，A（0，0），B（4，0），
∴此时抛物线的对称轴为直线x=2，AB的长为4；
当a=1时，A（1，0），B（5，0），
∴此时抛物线的对称轴为直线x=3，AB的长为4．
故答案为：直线x=2；4；直线x=3；4．
（2）当a为任何值时，AB的长不会变化，理由如下：
当y=0时，有x2-（2a+4）x+a2+4a=0，即（x-a）[x-（a+4）]=0，
解得：x1=a，x2=a+4，
∴点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（a+4，0），
∴AB=a+4-a=4．
（3）y1=x2-（2a+4）x+a2+4a=[x-（a+2）]2-4．
①当x=-2时，y1=[x-（a+2）]2-4=a2+8a+12，
∴点P的坐标为（-2，a2+8a+12）．
∵抛物线y1向右平移1个单位得到抛物线y2，
∴y2=[x-1-（a+2）]2-4=[x-（a+3）]2-4，
当x=-2时，y2=[x-（a+3）]2-4=a2+10a+21，
∴点Q的坐标为（-2，a2+10a+21），
∴PQ=a2+10a+21-（a2+8a+12）=2a+9．
故答案为：2a+9．
②当a=-3时，y1=[x-（a+2）]2-4=（x+1）2-4，
∴点P的坐标为（-2，-3）；
∵y1向右平移n-1（n为正整数）个单位得到抛物线yn，
∴yn=[x+1-（n-1）]2-4=（x+2-n）2-4，
当x=-2时，yn=（x+2-n）2-4=n2-4，
∴点R的坐标为（-2，n2-4）．
∵S四边形PARB=S△PAB+S△RAB=×3×4+×4×（n2-4）=70，
∴n=±6，
∵n为正整数，
∴n=6．


练习5-2【解析】(1)将点B. C代入抛物线，
解得c=4，16a+c=0，
∴a=−，
∴抛物线的解析式为y=−x2+4.
(2)令y=0，解得x1=4，x2=−4，
∴A(−4，0)，
∴OA=OC，∠OAC=∠OCA=45∘，
∵OM=ON，∠MON=60∘，
∴△OMN为等边三角形，∴∠AMO=∠CNO=120∘，
∴△AMO≌△CNO(AAS)，
∴AM=CN.
(3)情况一：如图1所示，
过点O作OH垂直AC，OQ垂直BC，
∴△AOH≌△BOQ(AAS)，
∴OH=OQ，∵OM=ON，∴△OHM≌△OQN(HL)，
∴MH=NQ，∴CM=CN，
∴△CMO≌△CNO(SAS)，
∴∠MOC=∠NOC=30∘，∴∠MOA=∠NOB=60∘，
∵∠OMN=∠ONM=60∘，
∴MN∥x轴，
设CE=ME=x，则OE=x，
∴x+x=4，∴x=2−2，
∴OE=6−2，
∴直线MN与抛物线交点的纵坐标为6−2.
情况二：当点N再一次落在BC上时，
此时M、N都在BC上，则MN与抛物线的交点为点B，点C，
∴直线MN与抛物线的交点的纵坐标为0，4，
综上所述：直线MN与抛物线的交点的纵坐标为6−2或0或4.
(4)如图2所示，
将△ACB绕点O顺时针旋转60∘得到△A′C′B′，
∵点M的运动轨迹为AC、BC，
∴点N的运动轨迹为A′C′、C′B′，
当N落A′上时，BN最长，
∵A′(−2，2)，∴BN最长为4，
过点B作B′C′的垂线，此时BN最短，
过点E作OB′的垂线，
设PE=PB′=y，则OP=3y，
∴y+3y=4，解得y=6−2，
∴OE=4−4，BE=8−4，OH=2，
∵△OHE∽△BNE，∴OH/BN=OE/BE，
解得BN=−.
∴−⩽n⩽4，
∴8−4⩽n2⩽48.

练习5-3【解析】（1） 将C（0，-3）代入二次函数y=a(x2-2mx-3m2)，
则-3=a（0-0-3m2），解得 a=．
（2）方法一：
证明：如图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N．
由a（x2-2mx-3m2）=0，
解得 x1=-m，x2=3m，
则 A（-m，0），B（3m，0）．
∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为-3，
又∵D点在抛物线上，
∴将D点纵坐标代入抛物线方程得D点的坐标为（2m，-3）．
∵AB平分∠DAE，∴∠DAM=∠EAN，
∵∠DMA=∠ENA=90°，
∴△ADM∽△AEN．∴．
设E坐标为（x，（x2-2mx-3m2）），
∴，∴x=4m，
∴E（4m，5），
∵AM=AO+OM=m+2m=3m，AN=AO+ON=m+4m=5m，
∴，即为定值．
方法二：
过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N，
∵a（x2-2mx-3m2）=0，
∴x1=-m，x2=3m，
则A（-m，0），B（3m，0），
∵CD∥AB，∴D点的纵坐标为-3，∴D（2m，-3），
∵AB平分∠DAE，∴KAD+KAE=0，
∵A（-m，0），D（2m，-3），
∴KAD=，∴KAE=，
∴⇒x2-3mx-4m2=0，
∴x1=-m（舍），x2=4m，∴E（4m，5），
∵∠DAM=∠EAN=90°
∴△ADM∽△AEN，∴，
∵DM=3，EN=5，∴．
（3） 如图2，记二次函数图象顶点为F，则F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H．连接FC并延长，与x轴负半轴交于一点，此点即为所求的点G．
∵tan∠CGO=，tan∠FGH=，
∴=，∴=，
∵OC=3，HF=4，OH=m，
∴OG=3m．
∵GF=，
AD=，
∴．
∵，
∴AD：GF：AE=3：4：5，
∴以线段GF，AD，AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时G点的横坐标为-3m．

练习5-4【解析】(1)设抛物线C1的顶点式形式y=a(x−1)2，(a≠0)，
∵抛物线过点(0，)，
∴a(0−1)2=，
解得a=，
∴抛物线C1的解析式为y=(x−1)2，
一般形式为y=x2−x+；
(2)当m=2时，m2=4，
∵BC∥x轴，
∴点B. C的纵坐标为4，
∴(x−1)2=4，
解得x1=5，x2=−3，
∴点B(−3，4)，C(5，4)，
∵点A. C关于y轴对称，
∴点A的坐标为(−5，4)，
设抛物线C2的解析式为y=(x−1)2−h，
则(−5−1)2−h=4，
解得h=5；
(3)证明：∵直线AB与x轴的距离是m2，
∴点B. C的纵坐标为m2，
∴(x−1)2=m2，
解得x1=1+2m，x2=1−2m，
∴点C的坐标为(1+2m，m2)，
又∵抛物线C1的对称轴为直线x=1，
∴CE=1+2m−1=2m，
∵点A. C关于y轴对称，
∴点A的坐标为(−1−2m，m2)，
∴AE=ED=1−(−1−2m)=2+2m，
设抛物线C2的解析式为y=(x−1)2−h，
则(−1−2m−1)2−h=m2，
解得h=2m+1，
∴EF=h+m2=m2+2m+1，
∴tan∠EDF−tan∠ECP=EF/ED−EP/CE===
∴tan∠EDF−tan∠ECP=.