2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题15二次函数之胡不归问题学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题15二次函数之胡不归问题学案，共33页。学案主要包含了经典例题1——k=，经典例题变式，经典例题2——k=、，经典例题4等内容，欢迎下载使用。
二次函数与胡不归问题
题型特点：①PA+k•PB型线段和最小值(k=、、、或其它)
②动点在直线上以不同的速度运动、
解题方法：利用锐角三角函数或三角形相似转化线段长
【经典例题1——k=】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1，0)，B(4，0)、C(0，)，其中对称轴与x轴交于点E.
(1)求此二次函数的表达式；
(2)如图1，若P为y轴上的一个动点，连接PE，求PC+PE的最小值；

【解析】(1)将A，B，C的坐标代入函数解析式，得
a−b+c=0；16a+4b+c=0；c=，
解得a=−；b=；c=，
此二次函数的表达式y=−x2+x+，
(2)如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时PC+PE最小。
理由：∵OA=1，OC=，
∴tan∠ACO=OA/OC=，∴∠ACO=30°，
∴PH=PC，
∴PC+PE=PH+EP=EH，
∴此时PC+PE最短(垂线段最短).
A. B关于E点对称，得E点坐标为(，0)
在RT△ADH中，∵∠AHE=90°，AE=−(−1)=，∠HAE=60°，
∴sin60°=HE/AE，
∴HE=AE⋅sin60°=×=
∴PC+PE的最小值为.
【经典例题变式】在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c经过点A，B，C，已知A(−1，0)，C(0，3).
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D，是否存在这样的P点，使线段PD的长有最大值?若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图2，抛物线的顶点为E，EF⊥x轴于点F，N是直线EF上一动点，M(m，0)是x轴一个动点，请直接写出CN+MN+MB的最小值以及此时点M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由。

【解析】(1)y=−x2+bx+c经过点C，则c=3，
将点A的坐标代入抛物线表达式：y=−x2+bx+3并解得：b=2，
抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3；
(2)存在，理由：
令y=0，则x=−1或3，故点B(3，0)，
将点B. C的坐标代入一次函数表达式并解得：
直线BC的表达式为：y=−x+3，
设点D(x，−x2+2x+3)，则点P(x，−x+3)，
则PD=(−x2+2x+3)−(−x+3)=−x2+3x，
当x=时，PD最大值为：；
(3)过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH⊥BH交于点H，CH交对称轴于点N，交x轴于点M，则点M、N为所求，
直线BH表达式中的k值为，则直线CH的表达式为：y=−x+3，
当x=1时，y=3−，当y=0时，x=，
故点N、M的坐标分别为：(1，3−)、(，0)，
CN+MN+MB的最小值=CH=CM+FH=.

练习1-1如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1，0)，B(0，−)，C(2，0)，其对称轴与x轴交于点D
(1)求二次函数的表达式及其顶点坐标；
(2)若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PB+PD的最小值为___；

练习1-2如图1，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点A在点B左边），O为坐标原点．点D是直线BC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE∥x轴交直线BC于点E．点P为∠CAB角平分线上的一动点，过点P作PQ⊥BC于点H，交x轴于点Q；点F是直线BC上的一个动点．
（1）当线段DE的长度最大时，求DF+FQ+PQ的最小值．



练习1-3已知抛物线y=x2-4x+3过点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，OC=3．若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+QC是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由


【经典例题2——k=、】二次函数y=ax2−2x+c的图象与x轴交于A. C两点，点C(3，0)，与y轴交于点B(0，−3).
(1)a=___，c=___；
(2)如图1，P是x轴上一动点，点D(0，1)在y轴上，连接PD，求PD+PC的最小值；
(3)如图2，点M在抛物线上，若S△MBC=3，求点M的坐标。

【解析】(1)把C(3，0)，B(0，−3)代入y=ax2−2x+c
得到，c=−3；9a−6+c=0，解得a=1；c=−3.
故答案为1，−3.
(2)如图1中，作PH⊥BC于H.

∵OB=OC=3，∠BOC=90∘，
∴∠PCH=45∘，
在Rt△PCH中，PH=PC.
∵DP+PC=(PD+PC)=(PD+PH)，
根据垂线段最短可知，当D. P、H共线时DP+PC最小，最小值为DH′，
在Rt△DH′B中，∵BD=4，∠DBH′=45∘，
∴DH′=BD=2，
∴DP+PC的最小值为⋅2=4.
(3)如图2中，取点E(1，0)，作EG⊥BC于G，易知EG=.

∵S△EBC=⋅BC⋅EG=⋅3⋅=3，
∴过点E作BC的平行线交抛物线于M1，M2，则S△BCM1=3，S△BCM2=3，
∵直线BC的解析式为y=x−3，
∴直线M1M2的解析式为y=x−1，
由y=x−1；y=x2−2x−3解得x=；y=或x=；y=，
∴M1(，)，M2(，)，
根据对称性可知，直线M1M2关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点M3、M4也满足条件，
易知直线M3M4的解析式为y=x−5，
由y=x−5；y=x2−2x−3解得x=1；y=−4或x=2；y=−3，
∴M3(1.−4)，M4(2，−3)，
综上所述，满足条件的点M的坐标为
∴M1(，)，M2(，)，M3(1.−4)，M4(2，−3).




练习2-1(2020·青白江区模拟)如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于A（3，0）、B两点，与y轴交于点C（0，3），点B在x轴的负半轴上，且OA＝3OB．

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若P是抛物线上且位于直线AC上方的一动点，求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标；
（3）在线段OC上是否存在一点M，使BM+CM的值最小？若存在，请求出这个最小值及对应的M点的坐标；若不存在，请说明理由．





练习2-2如图1，二次函数y=x2−2x+1的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标为(0，1)，点B在第一象限内，点C是二次函数图象的顶点，点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点，过点B作轴的垂线，垂足为N，且S△AMO:S四边形AONB=1:48.
(1)求直线AB和直线BC的解析式；
(2)点P是线段AB上一点，点D是线段BC上一点，PD∥x轴，射线PD与抛物线交于点G，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥BC于点F. 当PF与PE的乘积最大时，在线段AB上找一点H(不与点A，点B重合)，使GH+BH的值最小，求点H的坐标和GH+BH的最小值；



【经典例题3——k=其它】(2019·恩施州)如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，），与x轴交于A、B两点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）连接AC，E为直线AC上一点，当△AOC∽△AEB时，求点E的坐标和的值．
（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，FC+BF的值最小．并求出这个最小值．
（4）点C关于x轴的对称点为H，当FC+BF取最小值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QHF是直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)由题可列方程组：，解得：
∴抛物线解析式为：y=x2−x−2；
(2)由题，∠AOC=90°，AC=，AB=4，
设直线AC的解析式为：y=kx+b，则，解得：，
∴直线AC的解析式为：y=−2x−2；
当△AOC∽△AEB时
S△AOC/S△AEB=(AC/AB)2=()2=，
∵S△AOC=1，∴S△AEB=，
∴AB×|yE|=，AB=4，则yE=−，
则点E(−，−)；
由△AOC∽△AEB得：AO/AC=AE/AB=
∴AEAB=；
(3)如图2，连接BF，过点F作FG⊥AC于G，
则FG=CFsin∠FCG=CF，
∴CF+BF=GF+BF⩾BE，
当折线段BFG与BE重合时，取得最小值，
由(2)可知∠ABE=∠ACO
∴BE=ABcos∠ABE=ABcos∠ACO=4×=，
|y|=OBtan∠ABE=OBtan∠ACO=3×=，
∴当y=−时，即点F(0，−)，CF+BF有最小值为；
(4)①当点Q为直角顶点时(如图3):
由(3)易得F(0，−)，
∵C(0，−2)∴H(0，2)
设Q(1，m)，过点Q作QM⊥y轴于点M.
则Rt△QHM∽Rt△FQM
∴QM2=HM⋅FM，
∴12=(2−m)(m+)，
解得：m=，
则点Q(1，)或(1，)
当点H为直角顶点时：
点H(0，2)，则点Q(1，2)；
当点F为直角顶点时：
同理可得：点Q(1，−)；
综上，点Q的坐标为：(1，)或(1，)或Q(1，2)或Q(1，−).






练习3-1如图，二次函数y=x2−x−4的图象与x轴交于A. B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PC+PD的最小值为___.



【经典例题4】如图，抛物线y=x2+bx+c经过B(−1，0)，D(−2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q，P.
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在点P，使∠APB=90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；
(2)连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少?

【解析】（1）把B（-1，0），D（-2，5）代入y=x2+bx+c，
得，解得，
∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3；
（2）存在点P，使∠APB=90°．
当y=0时，即x2-2x-3=0，解得：x1=-1，x2=3，
∴OB=1，OA=3．
设P（m，m2-2m-3），则-1≤m≤3，PH=-（m2-2m-3），BH=1+m，AH=3-m，
∵∠APB=90°，PH⊥AB，
∴∠PAH=∠BPH=90°-∠APH，∠AHP=∠PHB，
∴△AHP∽△PHB，
∴PH/BH=AH/PH，
∴PH2=BH•AH，
∴[-（m2-2m-3）]2=（1+m）（3-m），
解得m1=1+，m2=1-，
∴点P的横坐标为：1+或1-；
（3）如图，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=5，ON=2，AN=3+2=5，
∴tan∠DAB=DN/AN=1，
∴∠DAB=45°．
过点D作DK∥x轴，则∠KDQ=∠DAB=45°，DQ=QG．

由题意，动点M运动的路径为折线BQ+QD，运动时间：t=BQ+DQ，
∴t=BQ+QG，即运动的时间值等于折线BQ+QG的长度值．
由垂线段最短可知，折线BQ+QG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．
过点B作BH⊥DK于点H，则t最小=BH，BH与直线AD的交点，即为所求之Q点．
∵A（3，0），D（-2，5），
∴直线AD的解析式为：y=-x+3，
∵B点横坐标为-1，
∴y=1+3=4，
∴Q（-1，4）．
练习4-1已知抛物线y=a(x+3)(x−1)(a≠0)，与x轴从左至右依次相交于A. B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y=−x+b与抛物线的另一个交点为D.
(1)若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；
(2)若在(1)的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；
(3)在(1)的条件下，设点E是线段AD上的一点(不含端点)，连接BE.一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少?


练习4-2如图，已知抛物线(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=−x+b与抛物线的另一交点为D.
(1)若点D的横坐标为−5，求抛物线的函数表达式；
(2)若在第一象限的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；
(3)在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止。当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少?
(4)设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，求2AF+DF的最小值.



练习4-3如图，抛物线y=x2+mx+n与直线y=−x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A(0，3)，C(3，0).
(1)求抛物线的解析式；
(2)求tan∠BAC的值；
(3)设E为线段AC上一点(不含端点)，连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少?






参考答案
练习1-1
【解析】(1)由题意解得，
∴抛物线解析式为y=x2−x−，
∵y=x2−x−=(x−)2−，
∴顶点坐标(，−).
(2)如图1中，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，
此时PB+PD最小。
理由：∵OA=1，OB=，
∴tan∠ABO=OAOB=，
∴∠ABO=30°，
∴PH=PB，
∴PB+OD=PH+PD=DH，
∴此时PB+PD最短(垂线段最短).
在RT△ADH中，∵∠AHD=90°，AD=，∠HAD=60°，
∴sin60°=DH/AD，
∴DH=，
∴PB+PD的最小值为.
故答案为.
练习1-2
【解析】如图1，
当x＝0时，y＝3．
当y＝0时，．
∴，，
∴AC⊥BC，且∠ABC＝30°，AC＝，且
设D（a，），则E（）
∴DE＝a﹣
∴当a＝﹣时，DE最大．此时D（）
∵AP平分∠CAB，
∴∠PAB＝∠CAB＝30°，
∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝60°，
∴∠P＝∠PQB﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°＝∠PAB，
∵PQ⊥BC，
∴PQB＝60°，∴AQ＝PQ，
∴＝，
将射线AB绕A顺时针旋转30°得到直线AM，过点D作AM的垂线于点M，交x轴于点Q′，则．
当Q运动到Q′时，有＝DM，
过D作DN⊥x轴于点N，可得△AQ′M与△DQ′N相似，
DN＝Dy＝，AN＝
∴Q′N＝，DQ′＝，AQ′＝AN﹣Q′N＝
∴Q′M＝，
∴DM＝DQ′+Q′M＝
＝DM＝．
练习1-3点Q（0，）
点H（）、A（1，0）
则AH=，即AQ-QC的最小值为


练习2-1【解析】（1）OA=3OB=3，则点B（-1，0），
抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3），
即-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3；
（2）过点M作MN⊥AC，则MN=CM，
故当B、M、N三点共线时，BM+CM=BN最小，
直线CA的倾斜角为45°，BN⊥AC，则∠NBA=45°，
即BN=AB==AN，
则点N（1，2），
由点B、N的坐标得，直线BN的表达式为：y=x+1，
故点M（0，1）．

练习2-2【解析】(1)∵点C是二次函数y=x2−2x+1图象的顶点，
∴C(2，−1)，
∵PE⊥x轴，BN⊥x轴，
∴△MAO∽△MBN，
∵S△AMO:S四边形AONB=1:48，∴S△AMO:S△BMN=1:49，
∴OA:BN=1:7，
∵OA=1∴BN=7，
把y=7代入二次函数解析式y=x2−2x+1中，可得7=x2−2x+1，
∴x1=−2(舍)，x2=6
∴B(6，7)，
∵A的坐标为(0，1)，
∴直线AB解析式为y=x+1，
∵C(2，−1)，B(6，7)，
∴直线BC解析式为y=2x−5.
(2)如图1，
设点P(x0，x0+1)，
∴D(，x0+1)，
∴PE=x0+1，PD=3−x0，
∵△PDF∽△BGN，
∴PF:PD的值固定，
∴PE×PF最大时，PE×PD也最大，
PE×PD=(x0+1)(3−x0)=−x2+x0+3，
∴当x0=时，PE×PD最大，
即：PE×PF最大。此时G(5，)
∵△MNB是等腰直角三角形，
过B作x轴的平行线，
∴BH=B1H，
GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值，
∴当GH和HB1在一条直线上时，GH+HB1的值最小，
此时H(5，6)，最小值为7−=.



练习3-1【解析】连接AC
y=x2−x−4与x轴交点A(−3，0)、B(5，0)，点C(0，−4)，
∴sin∠ACO=，
作点D关于y轴的对称点D′，作点A关于y轴的对称点A′，过点D′作D′E⊥CA′交于点E，则D′E为所求；
由对称性可知，∠ACO=∠OCA′，
∴sin∠OCA′=，
∴PC=PE，
再由D′P=DP，
∴PC+PD的最小值为D′E，
∵A′(3，0)，D′(−1，0)，
∴A′D′=4，CO=4，A′O=3，
∴CA′=5，
∴
∴D′E=；
故答案为；


练习4-1【解析】(1)∵y=a(x+3)(x−1)，

∴点A的坐标为(−3，0)、点B两的坐标为(1，0)，
∵直线y=−x+b经过点A，
∴b=−3，∴y=−x−3，
当x=2时，y=−5，
则点D的坐标为(2，−5)，
∵点D在抛物线上，∴a(2+3)(2−1)=−5，
解得，a=−，
则抛物线的解析式为y=−(x+3)(x−1)=−x2−2x+3；
(3)如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，
则tan∠DAN=，
∴∠DAN=60°，

∴∠EDF=60°，
∴DE=EF，

∴Q的运动时间t=+=BE+EF，
∴当BE和EF共线时，t最小，
则BE⊥DM，此时点E坐标(1，−4).

练习4-2【解析】(1)抛物线y=x2−x−k，
令y=0，解得x=−2或x=4，
∴A(−2，0)，B(4，0).
∵直线y=−x+b经过点B(4，0)，
∴−×4+b=0，解得b=，
∴直线BD解析式为：y=−x+.
当x=−5时，y=3，
∴D(−5，3).
∵点D(−5，3)在抛物线y=(x+2)(x−4)上，
∴(−5+2)(−5−4)=3，
∴k=.
∴抛物线的函数表达式为：y=(x+2)(x−4).
即y=x2−x−；
(2)由抛物线解析式，令x=0，得y=−k，
∴C(0，−k)，OC=k.
因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角。
因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB.
①若△ABC∽△APB，则有∠BAC=∠PAB，如答图2−1所示。
设P(x，y)，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y.
tan∠BAC=tan∠PAB，即：，
∴y=x+k.
∴P(x，x+k)，代入抛物线解析式y=(x+2)(x−4)，
得(x+2)(x−4)=x+k，整理得：x2−6x−16=0，
解得：x=8或x=−2(与点A重合，舍去)，
∴P(8，5k).
∵△ABC∽△APB，
∴AC/AB=AB/AP，即，

解得：k=；
②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC=∠PAB，如答图2−2所示。
设P(x，y)，过点P作PN⊥x轴于点N，则ON=x，PN=y.
tan∠ABC=tan∠PAB，即：，
∴y=x+.
∴P(x，x+)，代入抛物线解析式y=(x+2)(x−4)，
得(x+2)(x−4)=x+，整理得：x2−4x−12=0，
解得：x=6或x=−2(与点A重合，舍去)，
∴P(6，2k).
∵△ABC∽△PAB，
AB/AP=CB/AB，∴，
解得k=±，
∵k>0， ∴k=，
综上所述，k=或k=.
(3)如答图3，由(1)知：D(−5，3)，
如答图2−2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，ON=5，BN=4+5=9，
∴tan∠DBA=DNBN==，
∴∠DBA=30°.
过点D作DK∥x轴，则∠KDF=∠DBA=30°.
过点F作FG⊥DK于点G，则FG=DF.
由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t=AF+DF，
∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值。
由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段。
过点A作AH⊥DK于点H，则t最小=AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点。
∵A点横坐标为−2，直线BD解析式为：y=−x+，
∴y=−×(−2)+=2，
∴F(−2，2).
综上所述，当点F坐标为(−2，2)时，点M在整个运动过程中用时最少。
(4)如图所示，过点D作DM平行于x轴，作FH⊥DM于H，
2AF+DF=2（AF+HF）取最小值2×36=

练习4-3【解析】(Ⅰ)把A(0，3)，C(3，0)代入y=x2+mx+n，得
×9+3m+n=0；n=3.
解得m=−；n=3.
∴抛物线的解析式为y=x2−x+3.
(2)联立y=−+3；y=x2−x+3，
解得：x=0；y=3(不符合题意，舍)，x=4；y=1，
∴点B的坐标为(4，1).
过点B作BH⊥x轴于H，如图1。
∵C(3，0)，B(4，1)，
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4−3=1，
∴BH=CH=1.
∵∠BHC=90°，
∴∠BCH=45°，BC=.
同理：∠ACO=45°，AC=3，
∴∠ACB=180°−45°−45°=90°，
∴tan∠BAC===；
(3)过点E作EN⊥y轴于N，如图2。
在Rt△ANE中，EN=AE⋅sin45°=AE，即AE=EN，
∴点M在整个运动中所用的时间为=DE+EN.
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，
则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，
∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN.
根据两点之间线段最短可得：
当D′、E. N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小。
此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°
∴四边形OCD′N是矩形，
∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC.
对于y=x2−x+3，当y=0时，有x2−x+3=0，
解得：x1=2，x2=3.
∴D(2，0)，OD=2，
∴ON=DC=OC−OD=3−2=1，
∴NE=AN=AO−ON=3−1=2，
∴点E的坐标为(2，1).