2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题5二次函数综合之图形最大面积学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题5二次函数综合之图形最大面积学案，共42页。学案主要包含了经典例题1，经典例题2，经典例题变式，经典例题3等内容，欢迎下载使用。

本专题包含三种面积的计算：三角形面积、四边形面积和其它面积

三角形面积的计算思想：
（1）割补法；（2）转化法；（3）铅锤法；
与二次函数结合起来考最值问题时，还用到：（1）切线法；（2）三角函数法，
求面积比时分三种情况：
（1）同底不等高，面积比等于高之比；
（2）等高不等底，面积比等于底之比；
（3）相似，面积比等于相似比的平方.
在直角坐标系中，已知三角形三个顶点的坐标，如果三角形的三条边中有一条边与坐标轴平行，可以直接运用三角形面积公式求解三角形面积.如果三角形的三条边与坐标轴都不平行，则通常有以下方法
1.如图，过三角形的某个顶点作与轴或轴的平行线，将原三角形分割成两个满足一条边与坐标轴平行的三角形，分别求出面积后相加．

其中，两点坐标可以通过或的直线方程以及或点坐标得到．
2.如图，首先计算三角形的外接矩形的面积，然后再减去矩形内其他各块面积．
.
所涉及的各块面积都可以通过已知点之间的坐标差直接求得．
3.如图，通过三个梯形的组合，可求出三角形的面积.该方法不常用．
如图，作三角形的高，运用三角形的面积公式求解四边形的面积．该方法不常用，如果三角形的一条边与平行，则可以快速求解．


类型一：三角形面积
【经典例题1】例如图1，抛物线在抛物线的第二象限上是否存在一点D，使得△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标.




解法一：补形、割形法
方法一：见图


方法二：见图，

解法二：铅锤定理：“铅垂高，水平宽”面积法
过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽(a)”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC=，即三角形面积等于水平宽与铅锤高乘积的一半.

根据上述方法，见图，三角形面积计算如下：

解法三：切线法
若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大。过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点（即点P）时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大。于是，得到切线法。过点C向直线作垂线，此高与MC存在一定关系。（平移）
解：求直线BC解析式，假设直线l解析式:y=x+b，

解法四：三角函数法，见图



练习1-1.如图，已知抛物线与轴交于A、B两点，过点A的直线与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点的坐标是（4，3）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点E是抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标。







练习1-2.如图，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+4(a<0)经过点B．
(1)求a的值，并写出抛物线的表达式；
(2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；









练习1-3.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，且点B与点C的坐标分别为B(3，0)．C(0，3)，点M是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的关系式；
(2)点P为线段MB上一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D．若OD=m，△PCD的面积为S，试判断S有最大值或最小值并求出这个最值.



练习1-4.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x−1与抛物线y=−x2+bx+c交于A. B两点，其中A(m，0)、B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D.
(1)求m、n的值及该抛物线的解析式；
(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A. D重合)，分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；







练习1-5.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A. C两点，与x轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1，△BCE的面积为S2，求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍?若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由。


练习1-6.(2019深圳)如图抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，点C(0，3)，且OB＝OC.
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(3)点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3∶5两部分，求点P的坐标．





类型二：四边形面积
【经典例题2】已知抛物线y=ax2+bx-4 经过点A(2，0)，B(-4，0)，抛物线与y轴交于点C.
(1)求这条抛物线的解析式.
(2)如图，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标.
(3)如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小?若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由。

【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx−4经过点A(−2，0)，B(4，0)，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为y=x2+x−4；
(2)如图1，连接OP，设点P(x，x2+x−4)，其中−4 ∴S=S△AOC+S△OCP+S△OBP=×2×4+×4×(−x)+×4×(−x2−x+4)=4−2x−x2−2x+8，=−x2−4x+12，=−(x+2)2+16.
∵−1<0，开口向下，S有最大值，
∴当x=−2时，四边形ABPC的面积最大，
此时，y=−4，即P(−2，−4).
因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为(−2，−4).
(3)y=x2+x−4=(x+1)2−，
∴顶点M(−1，−).
如图2，连接AM交直线DE于点G，此时，△CMG的周长最小。
设直线AM的解析式为y=kx+b，且过点A(2，0)，M(−1，−)，
∴，
∴直线AM的解析式为y=x−3.
在Rt△AOC中，AC=.
∵D为AC的中点，
∴AD=AC=，
∵△ADE∽△AOC，
∴AD/AO=AE/AC，
∴=，
∴AE=5，

∴OE=AE−AO=5−2=3，
∴E(−3，0)，
由图可知D(1，−2)
设直线DE的函数解析式为y=mx+n，
∴，解得：，
∴直线DE的解析式为y=−x−.
∴，解得：，
∴G(，−).

【经典例题变式】如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图①所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图②所示)．
①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）因所求抛物线的顶点M的坐标为（2，4），
故可设其关系式为y=a（x-2）2+4（1分）
又∵抛物线经过O（0，0），
∴得a（0-2）2+4=0，（2分）
解得a=-1（3分）
∴所求函数关系式为y=-（x-2）2+4，
即y=-x2+4x．（4分）
（2）①点P不在直线ME上．（5分）
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为（4，0），
又M的坐标为（2，4），
设直线ME的关系式为y=kx+b．
于是得4k+b=0，2k+b=4，
解得k=-2，b=8
所以直线ME的关系式为y=-2x+8．（6分）
由已知条件易得，当t=时，OA=AP=，
∴P（，）（7分）
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8．
∴当t=时，点P不在直线ME上．（8分）
②S存在最大值．理由如下：（9分）
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，
∴OA=AP=t．
∴点P，N的坐标分别为（t，t）、（t，-t2+4t）
∴AN=-t2+4t（0≤t≤3），
∴AN-AP=（-t2+4t）-t=-t2+3t=t（3-t）≥0，
∴PN=-t2+3t（10分）
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，
∴S=DC•AD=×3×2=3．（11分）
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=（CD+PN）•AD=[3+（-t2+3t）]×2=-t2+3t+3=-（t-）2+，其中（0 综上所述，当t=时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值，这个最大值为
．（13分）
说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合。


练习2-1.已知抛物线y＝ax2＋x＋4的对称轴是直线x＝3，与x轴相交于A，B两点(点B在点A右侧)，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标；
(2)如图①，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合)，是否存在点P，使四边形PBOC的面积最大？若存在，求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
(3)如图②，若点M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN＝3时，求点M的坐标．








练习2-2.如图，抛物线x2+mx+n 与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点E时线段 BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F， 当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．

练习2-3.如图，平面直角坐标系xOy中点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当四边形ABNO的面积最大时，求点N的坐标并求出四边形ABNO面积的最大值．











练习2-4.如图，已知抛物线y=-ax2+bx+c的图像经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线x=2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.
(1) 求抛物线的解析式；
(2)如图1，动点P在直线BC下方的抛物线上，连结PO，PC当m为何值时，四边形OPCE面积最大并求出其最大值；
(3)如图②，F是抛物线的对称轴上的一点连接PO，PF，OF在抛物线x轴下方的图 上是否存在点P使△PDF满足:①∠OPF=90°，②tan∠POF=？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.
(3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。






类型三：其它面积最值问题
【经典例题3】如图，已知二次函数的图像经过点三点.
（1） 求该二次函数的解析式；
（2） 点D是该二次函数图像上的一点，且满足(O是坐标原点），求点D的坐标；
（3） 点P是该二次函数图像上位于第一象限上的一动点，连接PA分别交BC，y轴于点E，F，若△PEB，△CEF的面积分别为S1，S2，求S2-S1的最大值.






【解析】(1)由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=−x2+x+2；
(2)当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，

∵A、B关于对称轴对称，C. D关于对称轴对称，
∴四边形ABDC为等腰梯形，
∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，
∴D(3，2)；
当点D在x轴下方时，
∵∠DBA=∠CAO，
∴BD∥AC，
∵C(0，2)，
∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A(−1，0)代入可求得k=2，
∴直线AC解析式为y=2x+2，
∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B(4，0)代入可求得m=−8，
∴直线BD解析式为y=2x−8，
联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，
∴D(−5，−18)；
综上可知满足条件的点D的坐标为(3，2)或(−5，−18)；
(3)过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，如图2，
设P(t，−t2+t+2)，
由B. C两点的坐标可求得直线BC的解析式为y=−x+2，
∴H(t，−t+2)，
∴PH=yP−yH=−t2+t+2−(−t+2)=−t2+2t，
设直线AP的解析式为y=px+q，
∴，解得，
∴直线AP的解析式为y=(−t+2)(x+1)，令x=0可得y=2−t，
∴F(0，2−t)，
∴CF=2−(2−t)=t，
联立直线AP和直线BC解析式可得，解得x=，即E点的横坐标为，
∴S1=PH(xB−xE)=(−t2+2t)(5−)，S2=⋅t2⋅，
∴S1−S2=(−t2+2t)(5−)−⋅⋅=−t2+5t=−(t−)2+，
∴当t=时，有S1−S2有最大值，最大值为.
练习3-1.如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，2)，点B的坐标为(3，1)，二次函数y=x2的图象记为抛物线b1。
(1)平移抛物线b1，使平移后的抛物线经过点A，但不经过点B. 写出平移后的一个抛物线的函数关系式：  (任写一个即可)；
(2)平移抛物线b1，使平移后的抛物线经过A，B两点，记为抛物线b2，如图2.求抛物线b2的函数关系式；
(3)设抛物线b2的顶点为C，k为y轴上一点.若S△ABK=S△ABC，如图3，求点K的坐标。


练习3-2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度向C点运动。其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动。当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最多面积是多少？
（3）当△PBQ的面积最大时，在BC下方的抛物线上存在点K，使，求K点坐标。


练习3-3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=8，OC=6。
（1）求抛物线的解析式。
（2） 点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从B出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒使△MBN的面积最大，最大面积是多少？


















练习3-4.如图，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2，4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3.
(1)求该抛物线所对应的函数关系式；
(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从如图①所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图②所示)．
①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．



















参考答案
练习1-1.【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1，0)，点C(4，3)，

∴，解得，
所以，抛物线的解析式为y=x2−4x+3；
(2)如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，
联立，
消掉y得，x2−5x+3−m=0，
△=(−5)2−4×1×(3−m)=0，
解得：m=，
即m=时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，
此时x=，y==，
∴点E的坐标为(，)，
设过点E的直线与x轴交点为F，则F(，0)，
∴AF=−1=，
∵直线AC的解析式为y=x−1，
∴∠CAB=45°，
∴点F到AC的距离为AF⋅sin45°=×=，
又∵AC=，
∴△ACE的最大面积=××=，此时E点坐标为(，).



练习1-2.【解析】(1)令x=0代入y=−3x+3，
∴y=3，
∴B(0，3)，
把B(0，3)代入y=ax2−2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=−1，
∴二次函数解析式为：y=−x2+2x+3；
(2)令y=0代入y=−x2+2x+3，
∴0=−x2+2x+3，
∴x=−1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为−1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0 令y=0代入y=−3x+3，
∴x=1，
∴A的坐标为(1，0)，
由题意知：M的坐标为(m，−m2+2m+3)，
S=S四边形OAMB−S△AOB=S△OBM+S△OAM−S△AOB=×m×3+×1×(−m2+2m+3)−×1×3=−(m−)2+
∴当m=时，S取得最大值.


练习1-3.
【解析】(1)把B(3，0)，C(0，3)代入y=−x2+bx+c得，解得，
所以抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
(2)S有最大值。理由如下：
∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴M(1，4)，
设直线BM的解析式为y=kx+n，
把B(3，0)，M(1，4)代入得，
∴直线BM的解析式为y=−2x+6，
∵OD=m，
∴P(m，−2m+6)(1⩽m<3)，
∴S=⋅m⋅(−2m+6)=−m2+3m=−(m−)2+，
∵1⩽m<3，
∴当m=时，S有最大值，最大值为；
(3)存在。
∠PDC不可能为90°；
当∠DPC=90°时，则PD=OC=3，即−2m+6=3，解得m=，此时P点坐标为(，3)，
当∠PCD=90°时，则PC2+CD2=PD2，即m2+(−2m+3)2+32+m2=(−2m+6)2，
整理得m2+6m−9=0，解得m1=−3−3(舍去)，m2=−3+3，
当m=−3+3时，y=−2m+6=6−6+6=12−6，此时P点坐标为(−3+3，12−6)，
综上所述，当P点坐标为(，3)或(−3+3，12−6)时，△PCD为直角三角形。

练习1-4.
【解析】(1)把点A(m，0)、点B(4，n)代入y=x−1中，得m=1，n=3.
∴A(1，0)，B(4，3)
∵y=−x2−bx+c过点A. 点B，所以
解得，
∴y=−x2+6x−5.
(2)如图2，∵△APM和△DPN为等腰直角三角形，
∴∠APM=∠DPN=45°，
∴∠MPN=90°，
∴△MPN为直角三角形。
令−x2+6x−5=0，解得
x=1或5，
∴D(5，0)，AD=4.
设AP=m，则DP=4−m，
∴PM=m，PN=(4−m)，
∴S△MPN=×PM×PN=×m×(4−m)
=−(m−2)2+1.
∴当m=2，即AP=2时，△MPN的面积最大，此时OP=3，
∴P(3，0).



练习1-5.
【解析】(1)根据题意得A(−4，0)，C(0，2)，

∵抛物线y=x2+bx+c经过A. C两点，
∴，
∴b=，c=2，∴y=x2x+2；
(2)①如图1，令y=0，
∴x2x+2=0，
∴x1=−4，x2=1，
∴B(1，0)，
过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，
∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴S1:S2=DE:BE=DM:BN，
设D(a，a2a+2)，
∴M(a，a+2)，
∵B(1.0)，
∴N(1，)，
∴S1:S2M:BN=(a2−2a):=−(a+2)2+
∴当a=−2时，S1:S2的最大值是；
②∵A(−4，0)，B(1，0)，C(0，2)，
∴AC=2，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，
取AB的中点P，
∴P(−，0)，
∴PA=PC=PB=，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan(2∠BAC)=，
过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
情况一：如图2，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=，
即RC:DR=，
令D(a，−a2−a+2)，
∴DR=−a，RC=−a2−a，
∴(−a2−a):(−a)=1:2，
∴a1=0(舍去)，a2=−2，
∴xD=−2，
情况二：∴∠FDC=2∠BAC，
∴tan∠FDC=，
设FC=4k，
∴DF=3k，DC=5k，
∵tan∠DGC=3k:FG=1:2，
∴FG=6k，
∴CG=2k，DG=3k
∴RC=k，RG=k，
DR=DG−RG=k，
∴DR:RC=(k):(k)=(−a):(−a2−a)，
∴a1=0(舍去)，a2=，
综上所述：点D的横坐标为−2或.

练习1-6.
【解析】（1）∵OB=OC，∴点B（3，0），
则抛物线的表达式为：y=a（x+1）（x-3）=a（x2-2x-3）=ax2-2ax-3a，
故-3a=3，解得：a=-1，
故抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3…①；
（3）如图，设直线CP交x轴于点E，
直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，
又∵S△PCB：S△PCA=EB×（yC-yP）：AE×（yC-yP）=BE：AE，
则BE：AE，=3：5或5：3，
则AE=或，
即：点E的坐标为（，0）或（，0），
将点E、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+3，
解得：k=-6或-2，
故直线CP的表达式为：y=-2x+3或y=-6x+3…②
联立①②并解得：x=4或8（不合题意值已舍去），
故点P的坐标为（4，-5）或（8，-45）．

类型二：四边形面积
练习2-1.
【解析】(1)∵抛物线的对称轴是直线x=3，
∴，解得a=−，
∴抛物线的解析式为：y=−x2+x+4.
当y=0时，−x2+x+4=0，解得x1=−2，x2=8，
∴点A的坐标为(−2，0)，点B的坐标为(8，0).
答：抛物线的解析式为：y=−x2+x+4;点A的坐标为(−2，0)，点B的坐标为(8，0).
(2)当x=0时，y=−x2+x+4=4，
∴点C的坐标为(0，4).
设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将B(8，0)，C(0，4)代入y=kx+b得

，解得，
∴直线BC的解析式为y=−x+4.
假设存在点P，使四边形PBOC的面积最大，
设点P的坐标为(x，−x2+x+4)，如图所示，过点P作PD∥y轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为(x，−x+4)，
则PD=−x2+x+4−(−x+4)=−x2+2x，
∴S四边形PBOC=S△BOC+S△PBC=×8×4+PD⋅OB=16+×8(−x2+2x)=−x2+8x+16=−(x−4)2+32
∴当x=4时，四边形PBOC的面积最大，最大值是32
∵0 ∴存在点P(4，6)，使得四边形PBOC的面积最大。
答：存在点P，使四边形PBOC的面积最大;点P的坐标为(4，6)，四边形PBOC面积的最大值为32.

(3)设点M的坐标为(m，−m2+m+4)则点N的坐标为(m，−m+4)，
∴MN=|−m2+m+4−(−m+4)|=|−m2+2m|，
又∵MN=3，
∴|−m2+2m|=3，
当0 ∴点M的坐标为(2，6)或(6，4)；
当m<0或m>8时，−m2+2m+3=0，解得m3=4−2，m4=4+2，
∴点M的坐标为(4−2，−1)或(4+2，−−1).
答：点M的坐标为(2，6)、(6，4)、(4−2，−1)或(4+2，−−1).





练习2-2.
【解析】(1)∵A(−1，0)，C(0，2)在抛物线y=−x2+mx+n上，
∴解得∴，
∴抛物线解析式为y=−x2+x−2.
(2)令y=0，则−x2+x−2=0，解得x=4或−1，
∴点B坐标(4，0)，
设直线BC为y=kx+b，则，解得，
∴直线BC解析式为y=−x+2，
设出点E的横坐标为a
∴EF=Ey−Fy=−a2+2a(0⩽a⩽4)，
∴S四边形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD×OC+EF×CM+EF×BN=××2+×(−a2+2a)×4=−a2+4a+=−(a−2)2+.
∴a=2时，四边形CDBF面积最大，此时点E坐标(2，1).
∴此时点E是BC中点，
∴当点E运动到BC中点时，四边形CDBF面积最大，最大面积为，此时点E坐标(2，1).


练习2-3.【解析】(1)设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A(−1，1)，B(3，3)代入得，解得，
所以直线AB的解析式为y=x+，
当x=0时，y=x+=，
所以E点坐标为(0，)；
(2)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A(−1，1)，B(3，3)，O(0，0)代入得，解得，
所以抛物线解析式为y=x2−x；
(3)如图1，作NG∥y轴交OB于G，如图，直线OB的解析式为y=x，
设N(m，m2−m)(0 S△AOB=S△AOE+S△BOE=×1×+××3=3，
S△BON=S△ONG+S△BNG=⋅3⋅(−m2+m)=−m2+94，
所以S四边形ABNO=S△BON+S△AOB=−m2++3=−(m−)2+
当m=32时，四边形ABNO面积的最大值，最大值为，此时N点坐标为(，)；
(4)设直线NE的解析式为y=px+q，直线EN交x轴于H，直线PA交OB于Q，如图2，
把E(0，)，N(，)代入得，解得，
所以直线NE的解析式为y=−x+，
当y=0时，−x+=0，解得x=2，则H(2，0)，
∵A(−1，1)，B(3，3)，
∴∠AOE=45°，∠BOE=45°，
∴∠AOB=90°，
∵∠PAO=∠NEO，
∴Rt△AOQ∽Rt△EOH，
∴OA:OE=OQ:OH，即:=OQ:2，解得OQ=，
∴Q(，)，
∴直线AQ的解析式为y=x+，
解方程组得，
∴P点坐标为(，)
练习2-4.
【解析】（1）如图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，
由对称性得：D（3，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），
把A（0，3）代入得：3=3a，
a=1，
∴抛物线的解析式；y=x2-4x+3；
（2）如图2，∵△AOE的面积是定值，所以当△OEP面积最大时，四边形AOPE面积最大，
设P（m，m2-4m+3），
∵OE平分∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOE=45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，
∴AE=OA=3，
∴E（3，3），
易得OE的解析式为：y=x，
过P作PG∥y轴，交OE于点G，
∴G（m，m），
∴PG=m-（m2-4m+3）=-m2+5m-3，
∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE，
=×3×3+PG•AE=+×3×（-m2+5m-3），
=-m2+m=-（m-）2+，
∵-<0，
∴当m=时，S有最大值是；
（3）分四种情况：
①当P在对称轴的左边，且在x轴下方时，如图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，
∵△OPF是等腰直角三角形，且OP=PF，
易得△OMP≌△PNF，
∴OM=PN，
∵P（m，m2-4m+3），
则-m2+4m-3=2-m，
解得：m=（舍）或，
∴P的坐标为（，）；
②当P在对称轴的左边，且在x轴上方时，如图3，
同理得：2-m=m2-4m+3，
解得：m1=（舍）或m2=，
P的坐标为（，）
③当P在对称轴的右边，且在x轴下方时，
如图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，
同理得△ONP≌△PMF，
∴PN=FM，
则-m2+4m-3=m-2，
解得：x=或（舍）；
P的坐标为（，）；
④当P在对称轴的右边，且在x轴上方时，
同理得m2-4m+3=m-2，
解得：m=或（舍）
P的坐标为：（，）；
综上所述，点P的坐标是：（，）或（，）或（，）或（，）．
(3)若点P在对称轴左侧，P(,)
若点P在对称轴右侧，P(,)
综上：点P坐标为(,)或(,)

类型三：其它面积最值问题
练习3-1.
【解析】(1)向上平移抛物线b1，使平移后的抛物线经过点A，
设平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+b，
∵点A的坐标为(1，2)，
∴2=1+b，
解得：b=1，
∴平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+1；
∵点B的坐标为(3，1)，
∴32+1≠1，
∴平移后的抛物线的函数关系式：y=x2+1；
故答案为：y=x2+1.
(2)设∵抛物线b2经过A，B两点，
∴，解得：，
∴抛物线b2的函数关系式为：y=x2−x+;
(3)∵y=x2−x+=(x−)2+，
∴点C的坐标为(，)，
过点C作CG⊥y轴，BF⊥y轴，AE⊥y轴，
∴AE=1，BF=3，CG=，EF=2−1=1，FG=1−=，EG=2−=，
∴S△ABC=S梯形ABFE+S梯形BCGF−S梯形ACGE=(AE+BF)⋅EF+(CG+BF)⋅GF−(AE+CG)⋅EG=，
若K在A点上方，坐标为(0，y)
S△ABK=S△BNK−S△AMK−S梯形ABNM=BN⋅NK−AM⋅MK−AM+BN)⋅MN=×3×(y−1)−×1×(y−2)−×(1+3)×1=
∵S△ABK=S△ABC，
∴=，解得：y=，
则点K(0，)；
同理：若K在A的下方时，则点K(0，)；
∴点K的坐标为(0，)或(0，).



练习3-2.
【解析】方法一：(1)把点A(−2，0)、B(4，0)分别代入y=ax2+bx−3(a≠0)，得
，解得，
所以该抛物线的解析式为：y=x2−x−3;
(2)设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t.
∴PB=6−3t.
由题意得，点C的坐标为(0，−3).
在Rt△BOC中，BC==5.
如图1，过点Q作QH⊥AB于点H.
∴QH∥CO，
∴△BHQ∽△BOC，
∴HQ/OC=BQ/BC，即，
∴HQ=t.
∴S△PBQ=PB⋅HQ=(6−3t)⋅t=−t2+95t=−(t−1)2+.
当△PBQ存在时，0 ∴当t=1时，
S△PBQ最大=.
答：运动1秒使△PBQ的面积最大，最大面积是；
(3)设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0).
把B(4，0)，C(0，−3)代入，得
，解得，
∴直线BC的解析式为y=x−3.
∵点K在抛物线上。
∴设点K的坐标为(m，m2−m−3).
如图2，过点K作KE∥y轴，交BC于点E. 则点E的坐标为(m，m−3).
∴EK=m−3−(m2−m−3)=−m2+m.
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK:S△PBQ=5:2，S△PBQ=.
∴S△CBK=.
S△CBK=S△CEK+S△BEK=EK⋅m+⋅EK⋅(4−m)=×4⋅EK=2(−m2+m)=−m2+3m，
即：−m2+3m=.
解得m1=1，m2=3.

∴K1(1，)，K2(3，).
方法二：
(1)略。
(2)设运动时间为t秒，则AP=3t，BQ=t，PB=6−3t，
∴点C的坐标为(0，−3)，
∵B(4，0)，∴lBC:y=x−3，
过点Q作QH⊥AB于点H，
∴tan∠HBQ=，∴sin∠HBQ=，
∵BQ=t，∴HQ=t，
∴S△PBQ=PB⋅HQ=(6−3t)×=−t2+t，
∴当t=1时，S△PBQ最大=.
(3)过点K作KE⊥x轴交BC于点E，
∵S△CBK:S△PBQ=5:2，S△PBQ=，
∴S△CBK=，
设E(m，m−3)，K(m，m2−m−3)，
S△CBK=(EY−KY)(BX−CX)=×4×(m−3−m2+m+3)=−m2+3m，
∴−m2+3m=，
∴m1=1，m2=3，
∴K1(1，−)，K2(3，−).

练习3-3.
【解析】(1)∵OA=2，OB=8，OC=6，
∴根据函数图象得A(−2，0)，B(8，0)，C(0，6)，
根据题意得，解得，
∴抛物线的解析式为y=−x2+x+6；
(2)设运动时间为t秒，则AM=3t，BN=t.
∴MB=10−3t.
由题意得，点C的坐标为(0，6).
在Rt△BOC中，BC=10.
如图，过点N作NH⊥AB于点H.
∴NH∥CO，
∴△BHN∽△BOC，
∴HN/OC=BN/BC，即，
∴HN=t.
∴S△MBN=MB⋅HN=(10−3t)⋅t=−t2+3t=−(t−)2+，
当△MBN存在时，0 ∴当t=时，
S△MBN最大=.
答：运动秒使△MBN的面积最大，最大面积是；

(3)设直线BC的解析式为y=kx+c(k≠0).
把B(8，0)，C(0，6)代入，得，解得，
∴直线BC的解析式为y=−x+6.
∵点P在抛物线上。
∴设点P的坐标为(m，−m2+m+6)，
如图，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，则E点的坐标为(m，−34m+6).

∴EP=−m2+m+6−(−m+6)=−m2+3m，
当△MBN的面积最大时，S△PBC=9 S△MBN=，
∴S△PBC=S△CEP+S△BEP=EP⋅m+⋅EP⋅(8−m)=×8⋅EP=4×(−m2+3m)=−m2+12m，即−m2+12m==.解得m1=3，m2=5，
∴P(3，)或(5，).
练习3-4.