2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题6.1二次函数综合之“将军饮马”学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题6.1二次函数综合之“将军饮马”学案，共27页。学案主要包含了经典例题1，经典例题2，经典例题3等内容，欢迎下载使用。

本专题包括两线段之和最小（三角形周长最小）、三线段之和最小（四边形周长最下）
几何最值问题——“将军饮马”
基础知识：1.线段公理
两点之间所有连
线中，线段最短。简单地说，两点之间线段最短。两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离。

①A和B两点之间，线段AB最短.

②如图，两点A、B在直线l异侧，在直线上求作一点P，使PA+PB最小．

③AB=a，BC=b（a＞b），则当点C在D点时，ACmin=AB-AC=a-b，当点C在点E时，ACmax=AB+AC=a+b.

圆外一点A到圆O的最大距离与最小距离，连接圆外一点与圆心，与圆的交点为点D，那么线段AD的长为最小距离；延长AB交圆O于点E，那么线段AE的长为最大距离。
2.垂线公理
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，简称为垂线段最短。直线外任意一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到这条直线的距离。如图，线段AB外一点C与线段上各点的连线中，垂线段CD最短.

3.三角形三边之间的关系
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边





4.将军饮马问题
①两定一动模型（线段之和最小）
如图，两点A、B在直线l同侧，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小.

方法：过点B作直线l的对称点B'，连接AB'与直线l的交点为点P.

②两动一定模型
如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A、B，使△PAB的周长最小.

方法：过点P作直线OM的对称点P1，作直线ON的对称点P2，连接P1、P2与直线OM的交点为点A，与直线ON的交点为点B.
③两动两定模型
如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM、ON上作点A、B，使四边形PAQB的周长最小.

方法：过点P作直线OM的对称点P'，过点Q作直线ON的对称点Q'，连接P'、Q'与直线OM的交点为点A，与直线ON的交点为点B
④最大值模型
如图，A、B两点在直线l同侧，在直线l上求作点P，使最大.
方法：连接BA并延长，与直线l的交点为点P.

如图，A、B两点在直线l异侧，在直线l上求作一点P，使最大.

方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点为点P.
造桥选址模型
已知l1∥l2，l1，l2之间的距离为d，在l1，l2在上分别找M、N两点，使得MN⊥l1，且AM+MN+NB最小.

方法1：将点A向下平移d个单位长度得到A'，连接A'B与直线l2的交点为点N，过点N作l1的垂线，与直线l1的交点为点M.
A、D为定点，B、C为直线l1，l2上的动点，BC⊥l1，使得AB+BC+CD最小.

方法2：BC 为定值，只需求AB＋CD最小即可，平移AB至CE，则变成求CE＋CD最小，转化为将军饮马中的两定一动问题.


类型一：两线段之和
【经典例题1】如图，抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PA+PC有最小值，△PAC的周长有最小值，最小值分别是多少？若存在，求出P点的坐标并求出；若不存在，请说明理由.

步骤一：作点C（或点A）关于对称轴的对称点C'，连接点A与点C'，直线AC'与对称轴的交点即为点P；
步骤二：写出各点坐标，A(1，0)，C(0，3)，C'(-2，3)，利用待定系数法求出直线AC'表达式y＝－x＋1，
①求交点坐标，代入轴所在的横坐标x=-1即可；P(-1，2)
②求线段之和最小则利用两点间坐标公式求“另一点与对称点”的长度即可；
两点之间的距离A（x1，y1），B（x1，y1）
所以AC'==
③求△PAC的周长最小值，即AC'+AC=+
备注：动点P所在直线即为轴。



【变式—动点在其它直线上】已知抛物线y＝ax2＋bx＋2经过A(－1，0)，B(2，0)，C三点，直线y＝mx＋交抛物线于A、Q两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N.
①如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN＝2NF，求出此时点P的坐标；
②如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，当直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小时，求出点G的坐标．
【解析】

【解析】(1)∵抛物线y=ax2+bx+2经过A(−1，0)，B(2，0)，
∴将点A和点B的坐标代入得：，解得a=−1，b=1，
∴抛物线的解析式为y=−x2+x+2.
(2)直线y=mx+交抛物线与A. Q两点，把A(−1，0)代入解析式得：m=，
∴直线AQ的解析式为y=x+.
设点P的横坐标为n，则P(n，−n2+n+2)，N(n，n+)，F(n，0)，
∴PN=−n2+n+2−(n+)=−n2+n+，NF=n+.
∵PN=2NF，即−n2+n+=2×(n+)，解得：n=−1或.
当n=−1时，点P与点A重合，不符合题意舍去。
∴点P的坐标为(，).
(3)∵y=−x2+x+2，=−(x−)2+，
∴M(，).
如图所示，连结AM交直线DE与点G，连结CG、CM此时，△CMG的周长最小。
设直线AM的函数解析式为y=kx+b，且过A(−1，0)，M(，).
根据题意得：，解得.
∴直线AM的函数解析式为y=x+.
∵D为AC的中点，
∴D(−，1).
设直线AC的解析式为y=kx+2，将点A的坐标代入得：−k+2=0，解得k=2，
∴AC的解析式为y=2x+2.
设直线DE的解析式为y=−x+c，将点D的坐标代入得：+c=1，解得c=，
∴直线DE的解析式为y=−x+.
将y=−x+与y=x+联立，解得：x=−，y=.
∴在直线DE上存在一点G，使△CMG的周长最小，此时G(−，).



【经典例题变式—两次对称】已知，如图1，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a（a≠0）图象的顶点为C与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称．

（1）求A、B两点坐标及直线l的解析式；
（2）求二次函数解析式；
（3）如图2，过点B作直线BD∥AC交直线l于D点，M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点，连接CN，MM、MD，求CN+NM+MD的最小值．
【解析】（1）y＝ax2+2ax﹣3a，令y＝0，则x＝﹣1或3，
即点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0），
点A坐标代入y＝kx+得：0＝﹣3k+，解得：k=
即直线l的表达式为：①，
同理可得直线AC的表达式为：
直线BD的表达式为：②，
联立①②并解得：x＝3，在点D的坐标为（3，2）；
（2）设点C的坐标为（﹣1，m），点C、B关于过点A的直线l：y＝kx+对称得AC2＝AB2，
即：（﹣3+1）2+m2＝16，解得：m=2±（舍去负值），点C（1，2），
将点C的坐标代入二次函数并解得：a=-
故二次函数解析式为：
（3）连接BC，则CN+MN的最小值为MB（即：M、N、B三点共线），
作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E，则MB+MD的最小值为BQ（即：B、M、Q三点共线），
则CN+MN+MD的最小值＝MB+MD的最小值＝BQ，

∵DQ⊥AC，AC∥BD，∴∠QDB＝90°，
作DF⊥x轴交于点F，
DF＝ADsin∠DAF=4×=2
∵B、C关于直线l对称，即直线l是∠EAF的平分线，
∴ED＝FD＝2，
则QD＝4，BD＝4，
∴BQ=
即CN+NM+MD的最小值为8．


练习1-1.(2019资阳)如图①，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(3，2)，且与直线y＝－x＋交于B，C两点，点B的坐标为(4，m)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD＋PA的最小值；

图①





练习1-2（烟台中考）如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C，D．
(1)求直线和抛物线的表达式；
(2)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．







类型二：三角形周长最小
【经典例题2】如图，直线y=x-3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为(1，0)，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y=x-3上的一个动点.
(1)求抛物线的解析式；(2)求△BDP的周长；

【解析】（1）直线y=x-3，令x=0，则y=-3，令y=0
则x=3，故点A，C的坐标为(3，0)，( 0，-3 )
则抛物线的表达式为
y=a(x-3)(x-1)=a(x2-4x+3)
则3a=-3，解得：a=-1
故抛物线的表达式为：y=-x2+4x-3①
（2）过点B作直线y=x-3的对称点B'
连接BD交直线y=x-3于点P
直线B'B函数对称轴与点G，连接AB'
则此时△BDP周长=BD+PB+PD=BD+B'B 为最小值
D(2，1)，则点G(2，-1)，即：BG=EG，即点G是BB'的中点，过点B'(3，-2)
△BPD周长最小值=BD+B'B=






练习2-1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；





练习2-2.已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于点A(﹣3，0)，B(1，0)交于点C，抛物线的顶点为点A．
（1）抛物线的表达式及顶点D的坐标．
（2）若点F是线段AD上一个动点，
①如图1，当FC+FO的值最小时，求点F的坐标；
②如图2，以点A，F，O为顶点的三角形能否与△ABC相似？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．












类型三：三线段之和、四边形周长最小
【经典例题3】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C(0，5)．
(1)求抛物线的解析式；y＝-x2+4x＋5
(2)若点E为抛物线的顶点，点F(3，a)是该抛物线上的一点，在x轴、y轴上分别找点M、N使四边形EFMN的周长最小，求出点M、N的坐标．

求得：顶点E(2，9)，F(3，8)
步骤一：分别作点E、F关于x轴、y轴的对称点E'，F'，连接点E'与点F'，直线E'F'与x轴、y轴的交点即为点M、N；
步骤二：写出各点坐标，E'(-2，9)，F'(3，-8)，利用待定系数法求出直线E'F'表达式
，
①求交点坐标，分别代入x=0，y=0即可；M(，0)，N(0，)
②求线段之和最小则利用两点间坐标公式求“另一点与对称点”的长度即可；
所以E'F'==
③求四边形EFMN的周长最小值，即E'F'+EF=+


【变式】(2019深圳)如图抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，点C(0，3)，且OB＝OC.
(1)求抛物线的解析式及其对称轴；
(2)点D、E为直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值；



【解析】抛物线的表达式为：y=-x2+2x+3（2）ACDE的周长=AC+DE+CD+AE，其中AC=、DE=1是常数，
故CD+AE最小时，周长最小，
取点C关于函数对称点C（2，3），则CD=C′D，
取点A′（-1，1），则A′D=AE，
故：CD+AE=A′D+DC′，则当A′、D、C′三点共线时，CD+AE=A′D+DC′最小，周长也最小，

四边形ACDE的周长的最小值=AC+DE+CD+AE=+1+A′D+DC′=
10+1+A′C′=+1+；

练习3-1如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(−1，0)，B两点，与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴交抛物线于另一点D，作DE⊥x轴，垂足为点E，双曲线y=(x>0)经过点D，连接MD，BD.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点N，F分别是x轴，y轴上的两点，当以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小时，求出点N，F的坐标；




练习3-2如图，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）.
(1)求抛物线的解析式;
(2)过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。



练习3-3如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．



参考答案
类型一：两线段之和
练习1-1.
【解析】y=
（2）D（2，）
如图所示：PD+PA的最小值为.


练习1-2
【解析】（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得
，解得：，
∴抛物线解析式为：y=x2+2x-，
∵过点B的直线y=kx+，
∴代入（1，0），得：k=﹣，
∴BD解析式为y=﹣x+；
（2）由已知直线EF解析式为：y=﹣x﹣，
在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M

过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为（a，﹣a-），
∴=，即=，
解得：a=﹣2，
则N点坐标为（﹣2，﹣2），
求得直线ND′的解析式为y=x+1，
当x=﹣时，y=﹣，
∴M点坐标为（﹣，﹣），
此时，DM+MN的值最小为==2．


类型二：三角形周长最小
练习2-1.【解析】(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)，
即y=ax2−2ax−3a，
∴−2a=2，解得a=−1，
∴抛物线解析式为y=−x2+2x+3；
当x=0时，y=−x2+2x+3=3，则C(0，3)，
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A(−1，0)，C(0，3)代入得，解得，
∴直线AC的解析式为y=3x+3；
(2)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴顶点D的坐标为(1，4)，
作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′(−3，0)，
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，
而BD的值不变，
∴此时△BDM的周长最小，
易得直线DB′的解析式为y=x+3，
当x=0时，y=x+3=3，
∴点M的坐标为(0，3)；

练习2-2.【解析】(1)抛物线的表达式为：y=a(x+3)(x−1)=a(x2+2x−3)，
故−3a=3，
解得：a=−1，
故抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3，
函数的对称轴为：x=−1，故顶点D的坐标为：(−1，4)；
(2)①点D的坐标为：(−1，4)，点A(−3，0)，点C(0，3)，
作点O关于直线AD的对称轴R，连接CR交AD于点F，则点F为所求点，

FC+FO=FC+RF=CR为最小，
连接AR，设直线OR交AD于点H，
由点A. D的坐标得，直线AD的表达式为：y=2x+6①，
则tan∠DAO=2=tanα，
设∠HOA=∠β，则tanβ=，则cosβ=，sinβ=，
OH=AO⋅cosβ=，OR=2OH=，
yR=ORsinβ=，同理xR=−，故点R(−，)，
由点R、C的坐标得，直线RC的表达式为：y=x+3…②，
联立①②并解得：x=−，y=，
则点F(−，)；
②在Rt△ACD中，tan∠CAD=DC/AC==，
在Rt△OBC中，tan∠OCB=OB/OC=，
∴∠CAD=∠OCB，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45∘，
∴∠FAO=∠ACB，
若以A，F，O为顶点的三角形与△ABC相似，则可分两种情况考虑：
当∠AOF=∠ABC时，△AOF∽△CBA，
∴OF∥BC，
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B. C的坐标代入上式并解得：
直线BC的解析式为y=−3x+3，
∴直线OF的解析式为y=−3x，
直线AD的解析式为y=2x+6，
联立直线OF、AD的表达式并解得：x=−，故点F(−，)；
当∠AOF=∠CAB=45∘时，△AOF∽△CAB，
∵∠CAB=45∘，
∴OF⊥AC，
∴直线OF的解析式为y=−x，
将上式与y=2x+6联立并解得：x=−2，
故点F(−2，2)；
综合以上可得F点的坐标为(−，)或(−2，2).

类型三：三线段之和、四边形周长最小
练习3-1【解析】解；（1）C（0，3）
∵CD⊥y，
∴D点纵坐标是3，
∵D在y＝上，
∴D（2，3），
将点A（﹣1，0）和D（2，3）代入y＝ax2+bx+3，
∴a＝﹣1，b＝2，
∴y＝﹣x2+2x+3；
（2）M（1，4），B（3，0），
作M关于y轴的对称点M'，作D关于x轴的对称点D'，连接M'D'与x轴、y轴分别交于点N、F，
则以M，D，N，F为顶点的四边形周长最小即为M'D'+MD的长；
∴M'（﹣1，4），D'（2，﹣3），
∴M'D'直线的解析式为y＝﹣x+，
∴N（，0），F（0，）；

练习3-2
【解析】(1)设抛物线的解析式为：y=a(x−1)2+4，
∵点B的坐标为(3，0).
∴4a+4=0，
∴a=−1，
∴此抛物线的解析式为：y=−(x−1)2+4=−x2+2x+3；
(2)存在。
抛物线的对称轴方程为：x=1，
∵点E的横坐标为2，
∴y=−4+4+3=3，
∴点E(2，3)，
∴设直线AE的解析式为：y=kx+b，
∴，∴，
∴直线AE的解析式为：y=x+1，
∴点F(0，1)，
∵D(0，3)，
∴D与E关于x=1对称，
作F关于x轴的对称点F′(0，−1)，
连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，
四边形DFHG的周长即为最小，
设直线EF′的解析式为：y=mx+n，
∴，
解得：，
∴直线EF′的解析式为：y=2x−1，
∴当y=0时，2x−1=0，得x=，
即H(，0)，
当x=1时，y=1，
∴G(1，1)；
∴DF=2，FH=F′H=，DG=，
∴使D. G，H、F四点所围成的四边形周长最小值为：DF+FH+GH+DG=2+++=2+2；
(3)存在。
∵BD==3，
设M(c，0)，
∵MN∥BD，
∴MN/BD=AM/AB，
即，
∴MN=，DM=，
要使△DNM∽△BMD，
需DM/BD=MN/DM，即DM2=BD⋅MN，
可得：9+c2=3×，
解得：c=或c=3(舍去).
当x=时，y=−(−1)2+4=.
∴存在，点T的坐标为(，).
练习3-3如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．

【解析】(1)∵直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，
∴A(−1，0)，C(0，5)，
∵二次函数y=ax2+4x+c的图象过A，C两点，
∴，解得，
∴二次函数的表达式为y=−x2+4x+5；

(2)由题意可得二次函数的顶点坐标为H(2，9)，点M的坐标为M(4，5)，
作点H(2，9)关于y轴的对称点H1，则点H1的坐标为H1(−2，9)，
作点M(4，5)关于x轴的对称点HM1，则点M1的坐标为M1(4，−5)，
连结H1M1分别交x轴于点F，y轴于点E，
所以H1M1+HM的长度是四边形HEFM的最小周长，则点F. E即为所求，
设直线H1M1解析式为y=k1x+b1，
直线H1M1过点M1(4，−5)，H1(−2，9)，
根据题意得方程组，解得，
∴y=−x+，
∴点F，E的坐标分别为(，0)(0，).