2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题9二次函数综合之等腰直角三角形和等边三角形的判定学案

这是一份2022届中考数学专题复习训练——二次函数 专题9二次函数综合之等腰直角三角形和等边三角形的判定学案，共20页。学案主要包含了经典例题1，经典例题4—两个动点等内容，欢迎下载使用。
等边三角形的判定
【经典例题1】如图所示，已知抛物线的顶点为坐标原点O，矩形ABCD的顶点A，D在抛物线上，且AD平行x轴，交y轴于点F，AB的中点E在x轴上，B点的坐标为（2，1），点P（a，b）在抛物线上运动．（点P异于点O）
(1)求此抛物线的解析式．
(2)过点P作CB所在直线的垂线，垂足为点R，
①求证：PF=PR；
②是否存在点P，使得△PFR为等边三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
③延长PF交抛物线于另一点Q，过Q作BC所在直线的垂线，垂足为S，试判断
△RSF的形状．

【解析】(1)∵抛物线的顶点为坐标原点，
∴A、D关于抛物线的对称轴对称；
∵E是AB的中点，
∴O是矩形ABCD对角线的交点，又B(2，1)
∴A(2，−1)、D(−2，−1)；
由于抛物线的顶点为(0，0)，可设其解析式为：y=ax2，则有：
4a=−1，a=−
∴抛物线的解析式为：y=−x2.
(2)①证明：由抛物线的解析式知：P(a，−a2)，而R(a，1)、F(0，−1)，
则：PF=，PR=1−(−a2)=a2+1.
∴PF=PR.
②由①得：RF=；
若△PFR为等边三角形，则RF=PF=PR，得：
=a2+1，即：a4−a2−3=0，得：
a2=−4(舍去)，a2=12；
∴a=±2，−a2=−3；
∴存在符合条件的P点，坐标为(2，−3)、(−2，−3).
③同①可证得：QF=QS；
在等腰△SQF中，∠1=(180°−∠SQF)；
同理，在等腰△RPF中，∠2=(180°−∠RPF)；
∵QS⊥BC、PR⊥BC，
∴QS∥PR，∠SQP+∠RPF=180°
∴∠1+∠2=(360°−∠SQF−∠RPF)=90°
∴∠SFR=180°−∠1−∠2=90°，
即△SFR是直角三角形。


练习1-1如图所示，已知二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的图象过点A（2，0）和B
（4，3），l为过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，P（m，n）是该二次函数图象上的任意一点，过P作PH⊥l，H为垂足．
(1)求二次函数y=ax2+bx﹣1（a≠0）的解析式；
(2)请直接写出使y＜0的对应的x的取值范围；
(3)对应当m=0，m=2和m=4时，分别计算|PO|2和|PH|2的值．由此观察其规律，并猜想一个结论，证明对于任意实数m，此结论成立；
(4)试问是否存在实数m可使△POH为正三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

【解析】(1)∵二次函数y=ax2+bx−1(a≠0)的图象过点A(2，0)和B(4，3)，
∴，解得，∴二次函数的解析式为y=x2−1；
(2)令y=x2−1=0，
解得x=−2或x=2，
由图象可知当−2