中考数学课时复习（含答案）：21 函数与一次函数

这是一份中考数学课时复习（含答案）：21 函数与一次函数，共49页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
21函数与一次函数

一、选择题
1. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是（　　）

　 A． B． C． D．
考点： 动点问题的函数图象．
分析： ①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．
解答： 解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；
②点P在BC上时，3＜x≤5，
∵∠APB+∠BAP=90°，
∠PAD+∠BAP=90°，
∴∠APB=∠PAD，
又∵∠B=∠DEA=90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴=，
即=，
∴y=，
纵观各选项，只有B选项图形符合．
故选B．

点评： 本题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．
　
2.在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+m与y=（m≠0）的图象可能是（　　）
　
A．

B．

C．

D．


考点：
反比例函数的图象；一次函数的图象．
分析：
先根据一次函数的性质判断出m取值，再根据反比例函数的性质判断出m的取值，二者一致的即为正确答案．
解答：
解：A、由函数y=mx+m的图象可知m＞0，由函数y=的图象可知m＞0，故本选项正确；
B、由函数y=mx+m的图象可知m＜0，由函数y=的图象可知m＞0，相矛盾，故本选项错误；
C、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而减小，则m＜0，而该直线与y轴交于正半轴，则m＞0，相矛盾，故本选项错误；
D、由函数y=mx+m的图象y随x的增大而增大，则m＞0，而该直线与y轴交于负半轴，则m＜0，相矛盾，故本选项错误；
故选：A．
点评：
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
　
3. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y=cx+与反比例函数y=在同一坐标系内的大致图象是（　　）

　
A．

B．

C．

D．


考点：
二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析：
先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．
解答：
解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴一次函数y=cx+的图象过第二、三、四象限，反比例函数y=分布在第二、四象限．
故选B．
点评：
本题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．
　
4. 已知P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，则y1　＜　y2（填“＞”或“＜”或“=”）．

考点：
一次函数图象上点的坐标特征．
分析：
直接把P1（1，y1），P2（2，y2）代入正比例函数y=x，求出y1，y2）的值，再比较出其大小即可．
解答：
解：∵P1（1，y1），P2（2，y2）是正比例函数y=x的图象上的两点，
∴y1=，y2=×2=，
∵＜，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
点评：
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
　
5.如图，边长分别为1和2的两个等边三角形，开始它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移直至移出大三角形外停止．设小三角形移动的距离为x，两个三角形重叠面积为y，则y关于x的函数图象是（　　）

　
A．

B．

C．

D．


考点：
动点问题的函数图象．
分析：
根据题目提供的条件可以求出函数的解析式，根据解析式判断函数的图象的形状．
解答：
解：①t≤1时，两个三角形重叠面积为小三角形的面积，
∴y=×1×=，
②当1＜x≤2时，重叠三角形的边长为2﹣x，高为，
y=（2﹣x）×=x﹣x+，
③当x≥2时两个三角形重叠面积为小三角形的面积为0，
故选：B．
点评：
本题主要考查了本题考查了动点问题的函数图象，此类题目的图象往往是几个函数的组合体．
　
6．一次函数y=﹣2x+1的图象不经过下列哪个象限（　　）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 一次函数图象与系数的关系．
分析： 先根据一次函数的解析式判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．
解答： 解：∵解析式y=﹣2x+1中，k=﹣2＜0，b=1＞0，
∴图象过一、二、四象限，
∴图象不经过第三象限．
故选C．
点评： 本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，函数图象经过二、四象限，当b＞0时，函数图象与y轴相交于正半轴．

7．一次函数y=2x+4的图象与y轴交点的坐标是（　　）
　
A．
（0，﹣4）
B．
（0，4）
C．
（2，0）
D．
（﹣2，0）

考点：
一次函数图象上点的坐标特征．
分析：
在解析式中令x=0，即可求得与y轴的交点的纵坐标．
解答：
解：令x=0，得y=2×0+4=4，
则函数与y轴的交点坐标是（0，4）．
故选B．
点评：
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，是一个基础题．

8.汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米/时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）的函数关系的大致图象是（　　）
　A．B．C．D．
分析：汽车以60千米/时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，所以前1小时路程随时间增大而增大，后来以100千米/时的速度匀速行驶，路程增加变快．据此即可选择．
解：由题意知，前1小时路程随时间增大而增大，1小时后路程增加变快．故选：C．
点评：本题主要考查了函数的图象．本题的关键是分析汽车行驶的过程．
9.已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过（　　）
　 A．第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
分析：首先根据k+b=﹣5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进而求解即可．
解：∵k+b=﹣5，kb=6，∴k＜0，b＜0，
∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．故选A．
点评： 本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．

10.如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m，3），则不等式2x≥ax+4的解集为（ ）

　
A．
x≥
B．
x≤3
C．
x≤
D．
x≥3

考点：
一次函数与一元一次不等式
分析：
将点A（m，3）代入y=2x得到A的坐标，再根据图形得到不等式的解集．
解答：
解：将点A（m，3）代入y=2x得，2m=3，
解得，m=，
∴点A的坐标为（，3），
∴由图可知，不等式2x≥ax+4的解集为x≥．
故选A．
点评：
本题考查了一次函数与一元一次不等式，要注意数形结合，直接从图中得到结论．

11.已知点M（1，a）和点N（2，b）是一次函数y=﹣2x+1图象上的两点，则a与b的大小关系是（ ）
　
A．
a＞b
B．
a=b
C．
a＜b
D．
以上都不对

考点：
一次函数图象上点的坐标特征
分析：
根据一次函数的增减性，k＜0，y随x的增大而减小解答．
解答：
解：∵k=﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵1＜2，
∴a＞b．
故选A．
点评：
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数的增减性求解更简便．

12．关于x的函数y=k（x+1）和y=（k≠0）在同一坐标系中的图象大致是（　　）
　
A．

B．

C．

D．


考点：
反比例函数的图象；一次函数的图象
分析：
根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．
解答：
解：若k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过一二三象限，所给各选项没有此种图形；
若k＜0时，反比例函数经过二四象限；一次函数经过二三四象限，D答案符合；故选D．
点评：
考查反比例函数和一次函数图象的性质；若反比例函数的比例系数大于0，图象过一三象限；若小于0则过二四象限；若一次函数的比例系数大于0，常数项大于0，图象过一二三象限；若一次函数的比例系数小于0，常数项小于0，图象过二三四象限．
　
13.图象中所反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张强离家的距离．根据图象提供的信息，以下四个说法错误的是（　　）

　
A．
体育场离张强家2.5千米
　
B．
张强在体育场锻炼了15分钟
　
C．
体育场离早餐店4千米
　
D．
张强从早餐店回家的平均速度是3千米/小时

考点：
函数的图象
分析：
结合图象得出张强从家直接到体育场，故第一段函数图象所对应的y轴的最高点即为体育场离张强家的距离；进而得出锻炼时间以及整个过程所用时间．由图中可以看出，体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店2.5﹣1.5千米；平均速度=总路程÷总时间．
解答：
解：A、由函数图象可知，体育场离张强家2.5千米，故此选项正确；
B由图象可得出张强在体育场锻炼45﹣15=30（分钟），故此选项正确；
C、体育场离张强家2.5千米，体育场离早餐店2.5﹣1.5=1（千米），故此选项错误；
D、∵张强从早餐店回家所用时间为100﹣65=35分钟，距离为1.5km，
∴张强从早餐店回家的平均速度1.5÷=（千米/时），故此选项正确．
故选：C．
点评：
此题主要考查了函数图象与实际问题，根据已知图象得出正确信息是解题关键．
　
点评：
本题考查了动点问题的函数图象：通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．也考查了等腰直角三角形的性质．

14.函数y=中的自变量x的取值范围是（　　）
　
A．
x≥0
B．
x≠﹣1
C．
x＞0
D．
x≥0且x≠﹣1

考点：
函数自变量的取值范围．
分析：
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
解答：
解：根据题意得：x≥0且x+1≠0，
解得x≥0，
故选：A．
点评：
本题考查了自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
二.填空题
1．函数y=1+中自变量x的取值范围是　　．

考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
解答： 解：由题意得，x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
点评： 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
　
2．写出一个图象经过一，三象限的正比例函数y=kx（k≠0）的解析式（关系式）　 　．
考点： 正比例函数的性质．
专题： 开放型．
分析： 根据正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，可得k＞0，写一个符合条件的数即可．
解答： 解：∵正比例函数y=kx的图象经过一，三象限，
∴k＞0，
取k=2可得函数关系式y=2x．
故答案为：y=2x．
点评： 此题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
　
3．过点（﹣1，7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线平行．则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是　（1，4），（3，1）　．
考点：
两条直线相交或平行问题
分析：
依据与直线平行设出直线AB的解析式y=﹣x+b；代入点（﹣1，7）即可求得b，然后求出与x轴的交点横坐标，列举才符合条件的x的取值，依次代入即可．
解答：
解：∵过点（﹣1，7）的一条直线与直线平行，设直线AB为y=﹣x+b；
把（﹣1，7）代入y=﹣x+b；得7=+b，
解得：b=，
∴直线AB的解析式为y=﹣x+，
令y=0，得：0=﹣x+，
解得：x=，
∴0＜x＜的整数为：1、2、3；
把x等于1、2、3分别代入解析式得4、、1；
∴在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是（1，4），（3，1）．
故答案为（1，4），（3，1）．
点评：
本题考查了待定系数法求解析式以及直线上点的情况，列举出符合条件的x的值是本题的关键．

4.一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 2200 米．


考点：
一次函数的应用
分析：
设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由行程问题的数量关系建立方程组求出其解即可．
解答：
解：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意，得
，
解得：，
∴这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200米．
故答案为：2200．
点评：
本题考查了行程问题的数量关系的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时由函数图象的数量关系建立方程组是关键．

5.已知直线y=2x﹣b经过点（1，﹣1），求关于x的不等式2x﹣b≥0的解集．
考点：
一次函数与一元一次不等式
分析：
把点（1，﹣1）代入直线y=2x﹣b得到b的值，再解不等式．
解答：
解：把点（1，﹣1）代入直线y=2x﹣b得，
﹣1=2﹣b，
解得，b=3．
函数解析式为y=2x﹣3．
解2x﹣3≥0得，x≥．
点评：
本题考查了一次函数与一元一次不等式，要知道，点的坐标符合函数解析式．

6.函数的自变量x的取值范围为　x≠1　．
考点：
函数自变量的取值范围；分式有意义的条件
专题：
计算题．
分析：
根据分式的意义，分母不能为0，据此求解．
解答：
解：根据题意，得x﹣1≠0，
解得x≠1．
故答案为x≠1．
点评：
函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

7.如图，直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为（　　）

　
A．
﹣1
B．
﹣5
C．
﹣4
D．
﹣3

考点：
一次函数与一元一次不等式．
分析：
满足不等式﹣x+m＞nx+4n＞0就是直线y=﹣x+m位于直线y=nx+4n的上方且位于x轴的上方的图象，据此求得自变量的取值范围即可．
解答：
解：∵直线y=﹣x+m与y=nx+4n（n≠0）的交点的横坐标为﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的解集为x＜﹣2，
∴关于x的不等式﹣x+m＞nx+4n＞0的整数解为﹣3，
故选D．
点评：
本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握．

8．一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，则的值是　2或﹣7　．
考点：
一次函数的性质
分析：
由于k的符号不能确定，故应分k＞0和k＜0两种进行解答．
解答：
解：当k＞0时，此函数是增函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=3；当x=4时，y=6，
∴，解得，
∴=2；
当k＜0时，此函数是减函数，
∵当1≤x≤4时，3≤y≤6，
∴当x=1时，y=6；当x=4时，y=3，
∴，解得，
∴=﹣7．
故答案为：2或﹣7．
点评：
本题考查的是一次函数的性质，在解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
9．小明从家跑步到学校，接着马上步行回家. 如图是小明离家的路程y（米）与时间t（分）的函数图象，则小明回家的速度是每分钟步行 ▲ 米．



【答案】80.
【解析】


10. 小明放学后步行回家，他离家的路程s（米）与步行时间t（分钟）的函数图象如图所示，则他步行回家的平均速度是　80　米/分钟．

（第1题图）
考点：
函数的图象．
分析：
他步行回家的平均速度=总路程÷总时间，据此解答即可．
解答：
解：由图知，他离家的路程为1600米，步行时间为20分钟，
则他步行回家的平均速度是：1600÷20=80（米/分钟），
故答案为：80．
点评：
本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
11. 直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围城的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于　4　．
考点：
两条直线相交或平行问题．
分析：
根据解析式求得与坐标轴的交点，从而求得三角形的边长，然后依据三角形的面积公式即可求得．
解答：
解：如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，
∵△ABC的面积为4，
∴OA•OB+=4，
∴+=4，
解得：b1﹣b2=4．
故答案为4．

点评：
本题考查了一次函数与坐标轴的交点以及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．
　
12. 将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为　y=3x+2　．
考点：
一次函数图象与几何变换
分析：
根据“上加下减”的平移规律解答即可．
解答：
解：将一次函数y=3x﹣1的图象沿y轴向上平移3个单位后，得到的图象对应的函数关系式为y=3x﹣1+3，即y=3x+2．
故答案为y=3x+2．
点评：
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规律是：左加右减，上加下减．
三.解答题
1. 2013年某企业按餐厨垃圾处理费25元/吨、建筑垃圾处理费16元/吨的收费标准，共支付餐厨和建筑垃圾处理费5200元．从2014年元月起，收费标准上调为：餐厨垃圾处理费100元/吨，建筑垃圾处理费30元/吨．若该企业2014年处理的这两种垃圾数量与2013年相比没有变化，就要多支付垃圾处理费8800元．
（1）该企业2013年处理的餐厨垃圾和建筑垃圾各多少吨？
（2）该企业计划2014年将上述两种垃圾处理总量减少到240吨，且建筑垃圾处理量不超过餐厨垃圾处理量的3倍，则2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共多少元？
考点： 一次函数的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
分析： （1）设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据等量关系式：餐厨垃圾处理费25元/吨×餐厨垃圾吨数+建筑垃圾处理费16元/吨×建筑垃圾吨数=总费用，列方程．
（2）设该企业2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，先求出x的范围，由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，代入求解．
解答： 解：（1）设该企业2013年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，根据题意，得
，
解得．
答：该企业2013年处理的餐厨垃圾80吨，建筑垃圾200吨；
（2）设该企业2014年处理的餐厨垃圾x吨，建筑垃圾y吨，需要支付这两种垃圾处理费共a元，根据题意得，
，
解得x≥60．
a=100x+30y=100x+30（240﹣x）=70x+7200，
由于a的值随x的增大而增大，所以当x=60时，a值最小，
最小值=70×60+7200=11400（元）．
答：2014年该企业最少需要支付这两种垃圾处理费共11400元．
点评： 本题主要考查了二元一次方程组及一元一次不等式的应用，找准等量关系正确的列出方程是解决本题的关键；
　
2. 某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型．甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t（分）后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的函数关系如图，试根据图象解决下列问题：
（1）填空：乙的速度v2=　40　米/分；
（2）写出d1与t的函数关系式；
（3）若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰？

考点：
一次函数的应用
分析：
（1）根据路程与时间的关系，可得答案；
（2）根据甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根据路程与时间的关系，可得a的值，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据两车的距离，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
解答：
解：（1）乙的速度v2=120÷3=40（米/分），
故答案为：40；
（2）v1=1.5v2=1.5×40=60（米/分），
60÷60=1（分钟），a=1，
d1=；
（3）d2=40t，
当0≤t≤1时，d2﹣d1＞10，
即﹣60t+60﹣40t＞10，
解得0；
当0时，两遥控车的信号不会产生相互干扰；
当1≤t≤3时，d1﹣d2＞10，
即40t﹣（60t﹣60）＞10，
当1≤时，两遥控车的信号不会产生相互干扰
综上所述：当0或1≤t时，两遥控车的信号不会产生相互干扰．
点评：
本题考查了一次函数的应用，（1）利用了路程速度时间三者的关系，（2）分段函数分别利用待定系数法求解，（3）当0≤t≤1时，d2﹣d1＞10；当1＜t≤3时，d1﹣d2＞10，分类讨论是解题关键．
　
3. 如图，已知A（﹣4，），B（﹣1，2）是一次函数y=kx+b与反比例函数y=（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D．
（1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？
（2）求一次函数解析式及m的值；
（3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
（1）根据一次函数图象在上方的部分是不等式的解，观察图象，可得答案；
（2）根据待定系数法，可得函数解析式；
（3）根据三角形面积相等，可得答案．
解答：
解：（1）由图象得一次函数图象在上的部分，﹣4＜x＜﹣1，
当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数大于反比例函数的值；
（2）设一次函数的解析式为y=kx+b，
y=kx+b的图象过点（﹣4，），（﹣1，2），则
，
解得
一次函数的解析式为y=x+，
反比例函数y=图象过点（﹣1，2），
m=﹣1×2=﹣2；
（3）连接PC、PD，如图，
设P（x，x+）
由△PCA和△PDB面积相等得
（x+4）=|﹣1|×（2﹣x﹣），
x=﹣，y=x+=，
∴P点坐标是（﹣，）．

点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数与不等式的关系，待定系数法求解析式．
　
4. 为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠．
（1）以x（元）表示商品价格，y（元）表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式；
（2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？
考点：
一次函数的应用
分析：
（1）根据两种购物方案让利方式分别列式整理即可；
（2）分别把x=5880，代入（1）中的函数求得数值，比较得出答案即可．
解答：
解：（1）方案一：y=0.95x；
方案二：y=0.9x+300；
（2）当x=5880时，
方案一：y=0.95x=5586，
方案二：y=0.9x+300=5592，
5586＜5592
所以选择方案一更省钱．
点评：
此题考查一次函数的运用，根据数量关系列出函数解析式，进一步利用函数解析式解决问题．
　
5.如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，直线BD与反比例函数y=的图象交于点B、E．
（1）求反比例函数及直线BD的解析式；
（2）求点E的坐标．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题．
分析：
（1）根据正方形的边长，正方形关于y轴对称，可得点A、B、D的坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据两个函数解析式，可的方程组，根据解方程组，可得答案．
解答：
解：（1）边长为2的正方形ABCD关于y轴对称，边在AD在x轴上，点B在第四象限，
∴A（1，0），D（﹣1，0），B（1，﹣2）．
∵反比例函数y=的图象过点B，
∴，m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
设一次函数解析式为y=kx+b，
∵y=kx+b的图象过B、D点，
∴，解得．
直线BD的解析式y=﹣x﹣1；
（2）∵直线BD与反比例函数y=的图象交于点E，
∴，解得
∵B（1，﹣2），
∴E（﹣2，1）．
点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，利用方程组求交点坐标．
　
6．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．
解答： 解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），
∴，解得，
∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，
反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），
∴，解得m=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（2），
解得，或，
∴B（，﹣4）
由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．
　
7．“黄金1号”玉米种子的价格为5元/kg，如果一次购买2kg以上的种子，超过2kg部分的种子的价格打8折．
（Ⅰ）根据题意，填写下表：
购买种子的数量/kg 1.5 2 3.5 4 …
付款金额/元 7.5 　10　 16 　18　 …
（Ⅱ）设购买种子数量为xkg，付款金额为y元，求y关于x的函数解析式；
（Ⅲ）若小张一次购买该种子花费了30元，求他购买种子的数量．
考点： 一次函数的应用；一元一次方程的应用．
分析： （1）根据单价乘以数量，可得答案；
（2）根据单价乘以数量，可得价格，可得相应的函数解析式；
（3）根据函数值，可得相应的自变量的值．
解答： 解：（Ⅰ）10，8；
（Ⅱ）根据题意得，
当0≤x≤2时，种子的价格为5元/千克，
∴y=5x，
当x＞2时，其中有2千克的种子按5元/千克计价，超过部分按4元/千克计价，
∴y=5×2+4（x﹣2）=4x+2，
y关于x的函数解析式为y=；
（Ⅲ）∵30＞2，
∴一次性购买种子超过2千克，
∴4x+2=30．
解得x=7，
答：他购买种子的数量是7千克．
点评： 本题考查了一次函数的应用，分类讨论是解题关键．
　
8．在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A（2，0），点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．
（Ⅰ）若点M的坐标为（1，﹣1），
①当点F的坐标为（1，1）时，如图，求点P的坐标；
②当点F为直线l上的动点时，记点P（x，y），求y关于x的函数解析式．
（Ⅱ）若点M（1，m），点F（1，t），其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．

考点： 一次函数综合题．
分析： （Ⅰ）①利用待定系数法求得直线OF与EA的直线方程，然后联立方程组，求得该方程组的解即为点P的坐标；
②由已知可设点F的坐标是（1，t）．求得直线OF、EA的解析式分别是y=tx、直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．则tx=（2+t）x﹣2（2+t），整理后即可得到y关于x的函数关系式y=x2﹣2x；
（Ⅱ）同（Ⅰ），易求P（2﹣，2t﹣）．则由PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），则OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，所以1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，化简得到：t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0，通过解该方程可以求得m与t的关系式．
解答： 解：（Ⅰ）①∵点O（0，0），F（1，1），
∴直线OF的解析式为y=x．
设直线EA的解析式为：y=kx+b（k≠0）、
∵点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，
∴E（1，﹣3）．
又A（2，0），点E在直线EA上，
∴，
解得 ，
∴直线EA的解析式为：y=3x﹣6．
∵点P是直线OF与直线EA的交点，则，
解得 ，
∴点P的坐标是（3，3）．
②由已知可设点F的坐标是（1，t）．
∴直线OF的解析式为y=tx．
设直线EA的解析式为y=cx+dy（c、d是常数，且c≠0）．
由点E和点F关于点M（1，﹣1）对称，得点E（1，﹣2﹣t）．
又点A、E在直线EA上，
∴，
解得 ，
∴直线EA的解析式为：y=（2+t）x﹣2（2+t）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（2+t）x﹣2（2+t），即t=x﹣2．
则有 y=tx=（x﹣2）x=x2﹣2x；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，直线OF的解析式为y=tx．
直线EA的解析式为y=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m）．
∵点P为直线OF与直线EA的交点，
∴tx=（t﹣2m）x﹣2（t﹣2m），
化简，得 x=2﹣．
有 y=tx=2t﹣．
∴点P的坐标为（2﹣，2t﹣）．
∵PQ⊥l于点Q，得点Q（1，2t﹣），
∴OQ2=1+t2（2﹣）2，PQ2=（1﹣）2，
∵OQ=PQ，
∴1+t2（2﹣）2=（1﹣）2，
化简，得 t（t﹣2m）（t2﹣2mt﹣1）=0．
又t≠0，
∴t﹣2m=0或t2﹣2mt﹣1=0，
解得 m=或m=．
则m=或m=即为所求．

点评： 本题考查了一次函数的综合题型．涉及到了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与直线的交点问题．此题难度不大，掌握好两直线间的交点的求法和待定系数法求一次函数解析式就能解答本题．
　
9．如图1所示，在A，B两地之间有汽车站C站，客车由A地驶往C站，货车由B地驶往A地．两车同时出发，匀速行驶．图2是客车、货车离C站飞路程y1，y2（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数关系图象．

（1）填空：A，B两地相距　420　千米；
（2）求两小时后，货车离C站的路程y2与行驶时间x之间的函数关系式；
（3）客、货两车何时相遇？
考点：
一次函数的应用．
分析：
（1）由题意可知：B、C之间的距离为60千米，A、C之间的距离为360千米，所以A，B两地相距360+60=420千米；
（2）根据货车两小时到达C站，求得货车的速度，进一步求得到达A站的时间，进一步设y2与行驶时间x之间的函数关系式可以设x小时到达C站，列出关系式，代入点求得函数解析式即可；
（3）两函数的图象相交，说明两辆车相遇，求得y1的函数解析式，与（2）中的函数解析式联立方程，解决问题．
解答：
解：（1）填空：A，B两地相距420千米；
（2）由图可知货车的速度为60÷2=30千米/小时，
货车到达A地一共需要2+360÷30=14小时，
设y2=kx+b，代入点（2，0）、（14，360）得
，
解得，
所以y2=30x﹣60；
（3）设y1=mx+n，代入点（6，0）、（0，360）得
解得，
所以y1=﹣60x+360
由y1=y2得30x﹣60=﹣60x+360
解得x=
答：客、货两车经过小时相遇．
点评：
本题考查了一次函数的应用及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意结合图象说出其图象表示的实际意义，这样便于理解题意及正确的解题．
　
10．如图，直线y=﹣x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

考点：
一次函数综合题．
专题：
压轴题．
分析：
（1）分别令y=0，x=0求解即可得到点A、B的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出点Q到AP的距离，然后利用三角形的面积列式整理即可得解；
（3）根据相似三角形对应角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况，利用∠OAB的余弦列式计算即可得解．
解答：
解：（1）令y=0，则﹣x+8=0，
解得x=6，
x=0时，y=y=8，
∴OA=6，OB=8，
∴点A（6，0），B（0，8）；
（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB===10，
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AP=2t，
AQ=AB﹣BQ=10﹣t，
∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB=（10﹣t）×=（10﹣t），
∴△AQP的面积S=×2t×（10﹣t）=﹣（t2﹣10t）=﹣（t﹣5）2+20，
∵﹣＜0，0＜t≤3，
∴当t=3时，△AQP的面积最大，S最大=﹣（3﹣5）2+20=；
（3）若∠APQ=90°，则cos∠OAB=，
∴=，
解得t=，
若∠AQP=90°，则cos∠OAB=，
∴=，
解得t=，
∵0＜t≤3，
∴t的值为，
此时，OP=6﹣2×=，
PQ=AP•tan∠OAB=（2×）×=，
∴点Q的坐标为（，），
综上所述，t=秒时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，此时点Q的坐标为（，）．
点评：
本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求法，三角形的面积，二次函数的最值问题，相似三角形对应角相等的性质，锐角三角函数，（2）要注意根据t的取值范围求三角形的面积的最大值，（3）难点在于要分情况讨论．
　
11．已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCD是顶点坐标分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，﹣5），点P是直线AC上的一动点．
（1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；
（2）当点P沿直线AC移动时，过点D、P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R＞0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径长为，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．

考点： 圆的综合题；待定系数法求一次函数解析式；垂线段最短；勾股定理；切线长定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 综合题；存在型；分类讨论．
分析： （1）只需先求出AC中点P的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP的解析式．
（2）由于△DOM与△ABC相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM的长，即可求出点M的坐标．
（3）易证S△PED=S△PFD．从而有S四边形DEPF=2S△PED=DE．由∠DEP=90°得DE2=DP2﹣PE2=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP⊥AC时，DP最短，此时DE也最短，对应的四边形DEPF的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP⊥AC时DP的值，就可求出四边形DEPF面积的最小值．
解答： 解：（1）过点P作PH∥OA，交OC于点H，如图1所示．
∵PH∥OA，
∴△CHP∽△COA．
∴==．
∵点P是AC中点，
∴CP=CA．
∴HP=OA，CH=CO．
∵A（3，0）、C（0，4），
∴OA=3，OC=4．
∴HP=，CH=2．
∴OH=2．
∵PH∥OA，∠COA=90°，
∴∠CHP=∠COA=90°．
∴点P的坐标为（，2）．
设直线DP的解析式为y=kx+b，
∵D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，
∴
∴
∴直线DP的解析式为y=x﹣5．

（2）①若△DOM∽△ABC，图2（1）所示，
∵△DOM∽△ABC，
∴=．
∵点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），
∴BC=3，AB=4，OD=5．
∴=．
∴OM=．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）
②若△DOM∽△CBA，如图2（2）所示，
∵△DOM∽△CBA，
∴=．
∵BC=3，AB=4，OD=5，
∴=．
∴OM=．
∵点M在x轴的正半轴上，
∴点M的坐标为（，0）．
综上所述：若△DOM与△CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．
（3）∵OA=3，OC=4，∠AOC=90°，
∴AC=5．
∴PE=PF=AC=．
∵DE、DF都与⊙P相切，
∴DE=DF，∠DEP=∠DFP=90°．
∴S△PED=S△PFD．
∴S四边形DEPF=2S△PED
=2×PE•DE
=PE•DE
=DE．
∵∠DEP=90°，
∴DE2=DP2﹣PE2．
=DP2﹣．
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：
当DP⊥AC时，DP最短，
此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．
∵DP⊥AC，
∴∠DPC=90°．
∴∠AOC=∠DPC．
∵∠OCA=∠PCD，∠AOC=∠DPC，
∴△AOC∽△DPC．
∴=．
∵AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，
∴=．
∴DP=．
∴DE2=DP2﹣
=（）2﹣
=．
∴DE=，
∴S四边形DEPF=DE
=．
∴四边形DEPF面积的最小值为．



点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“△DOM与△ABC相似”与“△DOM∽△ABC“之间的区别．
　
12.已知反比例函数y=的图象经过点M（2，1）
（1）求该函数的表达式；
（2）当2＜x＜4时，求y的取值范围（直接写出结果）．
分析：（1）利用待定系数法把（2，1）代入反比例函数y=中可得k的值，进而得到解析式；
（2）根据y=可得x=，再根据条件2＜x＜4可得2＜＜4，再解不等式即可．
解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点M（2，1），∴k=2×1=2，
∴该函数的表达式为y=；
（2）∵y=，∴x=，∵2＜x＜4，∴2＜＜4，解得：＜y＜1．
点评：此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的性质，关键是正确确定函数解析式．

13．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

考点：
反比例函数与一次函数的交点问题
专题：
计算题．
分析：
（1）先根据反比例函数图象上点的坐标特征得到6m=6，3n=6，解得m=1，n=2，这样得到A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），然后利用待定系数求一次函数的解析式；
（2）观察函数图象得到在第一象限内，当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象都在一次函数图象上方；
（3）先确定一次函数图象与坐标轴的交点坐标，然后利用S△AOB=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD进行计算．
解答：
解：（1）分别把A（m，6），B（3，n）代入得6m=6，3n=6，
解得m=1，n=2，
所以A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），
分别把A（1，6），B（3，2）代入y=kx+b得，
解得，
所以一次函数解析式为y=﹣2x+8；
（2）当0＜x＜1或x＞3时，；
（3）如图，当x=0时，y=﹣2x+8=8，则C点坐标为（0，8），
当y=0时，﹣2x+8=0，解得x=4，则D点坐标为（4，0），
所以S△AOB=S△COD﹣S△COA﹣S△BOD
=×4×8﹣×8×1﹣×4×2
=8．

点评：
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
14．某校运动会需购买A、B两种奖品.若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元.
（1） 求A、B两种奖品单价各是多少元？
（2） 学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍.设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值.
考点：
二元一次方程组的应用；一次函数的应用．
分析：
（1） 设A、B两种奖品单价分别为元、元，由两个方程构成方程组，求出其解即可．
（2） 找出W与m之间的函数关系式（一次函数），由不等式组确定自变量m的取值范围，并由一次函数性质确定最少费用W的值.
解答：
解：（1）设A、B两种奖品单价分别为元、元，由题意，得
，
解得：.
答：A、B两种奖品单价分别为10元、15元．
（2） 由题意，得



由，解得：.
由一次函数可知，随增大而减小
当时，W最小，最小为（元）
答：当购买A种奖品75件，B种奖品25件时，费用W最小，最小为1125元.
点评：
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，不等式组的解法，一次函数的应用，解答时根据条件建立建立反映全题等量关系、不等关系、函数关系式关键．
15．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数y=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．
（1）求k和b的值；
（2）求△OAB的面积．
分析：（1）根据待定系数法，可得答案；
（2）根据三角形的面积公式，可得答案．
解：（1）把A（2，5）分别代入y=和y=x+b，得，解得k=10b=3；
（2）作AC⊥x轴与点C，，
由（1）得直线AB的解析式为y=x+3，∴点B的坐标为（﹣3，0），OB=3，
点A的坐标是（2，5），∴AC=5，∴=5=．

点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了待定系数法，三角形的面积公式．

16．已知某市2013年企业用水量x（吨）与该月应交的水费y（元）之间的函数关系如图．
（1）当x≥50时，求y关于x的函数关系式；
（2）若某企业2013年10月份的水费为620元，求该企业2013年10月份的用水量；
（3）为贯彻省委“五水共治”发展战略，鼓励企业节约用水，该市自2014年1月开始对月用水量超过80吨的企业加收污水处理费，规定：若企业月用水量x超过80吨，则除按2013年收费标准收取水费外，超过80吨部分每吨另加收元，若某企业2014年3月份的水费和污水处理费共600元，求这个企业该月的用水量．
分析：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，代入（50，200）、（60，260）两点求得解析式即可；
（2）把y=620代入（1）求得答案即可；
（3）利用水费+污水处理费=600元，列出方程解决问题，
解答： 解：（1）设y关于x的函数关系式y=kx+b，
∵直线y=kx+b经过点（50，200），（60，260）∴解得
∴y关于x的函数关系式是y=6x﹣100；
（2）由图可知，当y=620时，x＞50∴6x﹣100=620，解得x=120．
答：该企业2013年10月份的用水量为120吨．
（3）由题意得6x﹣100+（x﹣80）=600，
化简得x2+40x﹣14000=0
解得：x1=100，x2=﹣140（不合题意，舍去）．
答：这个企业2014年3月份的用水量是100吨．
点评：此题考查一次函数的运用，一元二次方程和一元一次方程的运用，注意理解题意，结合图象，根据实际选择合理的方法解答．

17.已知两直线L1：y=k1x+b1，L2：y=k2x+b2，若L1⊥L2，则有k1•k2=﹣1．
（1）应用：已知y=2x+1与y=kx﹣1垂直，求k；
（2）直线经过A（2，3），且与y=x+3垂直，求解析式．
考点：
两条直线相交或平行问题
分析：
（1）根据L1⊥L2，则k1•k2=﹣1，可得出k的值即可；
（2）根据直线互相垂直，则k1•k2=﹣1，可得出过点A直线的k等于3，得出所求的解析式即可．
解答：
解：（1）∵L1⊥L2，则k1•k2=﹣1，
∴2k=﹣1，
∴k=﹣；
（2）∵过点A直线与y=x+3垂直，
∴设过点A直线的直线解析式为y=3x+b，
把A（2，3）代入得，b=﹣3，
∴解析式为y=3x﹣3．
点评：
本题考查了两直线相交或平行问题，是基础题，当两直线垂直时，两个k值的乘积为﹣1．
18. 已知抛物线y=x2﹣（k+2）x+和直线y=（k+1）x+（k+1）2．
（1）求证：无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1•x2•x3的最大值；
（3）如果抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA•GE=CG•AB，求抛物线的解析式．

（第2题图）
考点：
二次函数综合题
分析：
（1）由判别式△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+＞0，即可证得无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）由抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，可得x1•x2=，x3=﹣（k+1），继而可求得答案；
（3）由CA•GE=CG•AB，易得△CAG∽△CBE，继而可证得△OAD∽△OBE，则可得，又由抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，可得OA•OB=，OD=，OE=（k+1）2，继而求得点B的坐标为（0，k+1），代入解析式即可求得答案．
解答：
（1）证明：∵△=（k+2）2﹣4×1×=k2﹣k+2=（k﹣）2+，
∵（k﹣）2≥0，
∴△＞0，
∴无论k取何实数值，抛物线总与x轴有两个不同的交点；
（2）解：∵抛物线于x轴交于点A、B，直线与x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，
∴x1•x2=，
令0=（k+1）x+（k+1）2，
解得：x=﹣（k+1），
即x3=﹣（k+1），
∴x1•x2•x3=﹣（k+1）•=﹣（k+）2+，
∴x1•x2•x3的最大值为：；
（3）解：∵CA•GE=CG•AB，
∴，
∵∠ACG=∠BCE，
∴△CAG∽△CBE，
∴∠CAG=∠CBE，
∵∠AOD=∠BOE，
∴△OAD∽△OBE，
∴，
∵抛物线与x轴的交点A、B在原点的右边，直线与x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，
∴OA•OB=，OD=，OE=（k+1）2，
∴OA•OB=OD，
∴，
∴OB2=OE，
∴OB=k+1，
∴点B（k+1，0），
将点B代入抛物线y=x2﹣（k+2）x+得：（k+1）2﹣（k+2）（k+1）﹣=0，
解得：k=2，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣4x+3．
点评：
此题属于二次函数的综合题，综合性很强，难度较大，主要考查了一次函数与二次函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
19. 从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从甲地出发，到达乙地后立即原路返回甲地，途中休息了一段时间，假设小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进．已知小明骑车上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km，下坡的速度比在平路上的速度每小时多5km．设小明出发x h后，到达离甲地y km的地方，图中的折线OABCDE表示y与x之间的函数关系．
（1）小明骑车在平路上的速度为　　km/h；他途中休息了　　h；
（2）求线段AB、BC所表示的y与x之间的函数关系式；
（3）如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，那么该地点离甲地多远？
（第3题图）
考点：一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用
分析： （1）由速度=路程÷时间就可以求出小明在平路上的速度，就可以求出返回的时间，进而得出途中休息的时间；
（2）先由函数图象求出小明到达乙地的时间就可以求出B的坐标和C的坐标就可以由待定系数法求出解析式；
（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，根据距离甲地的距离相等建立方程求出其解即可．
解答：（1）小明骑车在平路上的速度为：4.5÷0.3=15，
∴小明骑车在上坡路的速度为：15﹣5=10，
小明骑车在上坡路的速度为：15+5=20．
∴小明返回的时间为：（6.5﹣4.5）÷2+0.3=0.4小时，
∴小明骑车到达乙地的时间为：0.3+2÷10=0.5．
∴小明途中休息的时间为：1﹣0.5﹣0.4=0.1小时．
故答案为：15，0.1
（2）小明骑车到达乙地的时间为0.5小时，∴B（0.5，6.5）．
小明下坡行驶的时间为：2÷20=0.1，∴C（0.6，4.5）．
设直线AB的解析式为y=k1x+b1，由题意，得，解得：，
∴y=10x+1.5（0.3≤x≤0.5）；
设直线BC的解析式为y=k2+b2，由题意，得，解得：，
∴y=﹣20x+16.5（0.5＜x≤0.6）
（3）小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h，由题意可以得出这个地点只能在破路上．设小明第一次经过该地点的时间为t，则第二次经过该地点的时间为（t+0.15）h，由题意，得
10t+1.5=﹣20（t+0.15）+16.5，解得：t=0.4，∴y=10×0.4+1.5=5.5，∴该地点离甲地5.5km．
点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次方程的运用，解答时求出一次函数的解析式是关键．
20. 某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热，并立即将材料分为A、B两组，采用不同工艺做降温对比实验，设降温开始后经过x min时，A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃，yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b，yB=（x﹣60）2+m（部分图象如图所示），当x=40时，两组材料的温度相同．
（1）分别求yA、yB关于x的函数关系式；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，B组材料的温度是多少？
（3）在0＜x＜40的什么时刻，两组材料温差最大？

（第4题图）
考点：
二次函数的应用
分析：
（1）首先求出yB函数关系式，进而得出交点坐标，即可得出yA函数关系式；
（2）首先将y=120代入求出x的值，进而代入yB求出答案；
（3）得出yA﹣yB的函数关系式，进而求出最值即可．
解答：
解：（1）由题意可得出：yB=（x﹣60）2+m经过（0，1000），
则1000=（0﹣60）2+m，
解得：m=100，
∴yB=（x﹣60）2+100，
当x=40时，yB=×（40﹣60）2+100，
解得：yB=200，
yA=kx+b，经过（0，1000），（40，200），则，
解得：，
∴yA=﹣20x+1000；
（2）当A组材料的温度降至120℃时，
120=﹣20x+1000，
解得：x=44，
当x=44，yB=（44﹣60）2+100=164（℃），
∴B组材料的温度是164℃；
（3）当0＜x＜40时，yA﹣yB=﹣20x+1000﹣（x﹣60）2﹣100=﹣x2+10x=﹣（x﹣20）2+100，
∴当x=20时，两组材料温差最大为100℃．
点评：
此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识，得出两种材料的函数关系式是解题关键．
21. 如图，平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣x+b（b为常数，b＞0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，半径为4的⊙O与x轴正半轴相交于点C，与y轴相交于点D、E，点D在点E上方．
（第5题图）
（1）若直线AB与有两个交点F、G．
①求∠CFE的度数；
②用含b的代数式表示FG2，并直接写出b的取值范围；
（2）设b≥5，在线段AB上是否存在点P，使∠CPE=45°？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
考点：
圆的综合题
分析：
（1）连接CD，EA，利用同一条弦所对的圆周角相等求行∠CFE=45°，
（2）作OM⊥AB点M，连接OF，利用两条直线垂直相交求出交点M的坐标，利用勾股定理求出FM2，再求出FG2，再根据式子写出b的范围，
（3）当b=5时，直线与圆相切，存在点P，使∠CPE=45°，再利用两条直线垂直相交求出交点P的坐标，
解答：
解：（1）连接CD，EA，

∵DE是直径，
∴∠DCE=90°，
∵CO⊥DE，且DO=EO，
∴∠ODC=OEC=45°，
∴∠CFE=∠ODC=45°，
（2）①如图，作OM⊥AB点M，连接OF，

∵OM⊥AB，直线的函数式为：y=﹣x+b，
∴OM所在的直线函数式为：y=x，
∴交点M（b，b）
∴OM2=（b）2+（b）2，
∵OF=4，
∴FM2=OF2﹣OM2=42﹣（b）2﹣（b）2，
∵FM=FG，
∴FG2=4FM2=4×[42﹣（b）2﹣（b）2]=64﹣b2=64×（1﹣b2），
∵直线AB与有两个交点F、G．
∴4≤b＜5，
（3）如图，

当b=5时，直线与圆相切，
∵DE是直径，
∴∠DCE=90°，
∵CO⊥DE，且DO=EO，
∴∠ODC=OEC=45°，
∴∠CFE=∠ODC=45°，
∴存在点P，使∠CPE=45°，
连接OP，
∵P是切点，
∴OP⊥AB，
∴OP所在的直线为：y=x，
又∵AB所在的直线为：y=﹣x+5，
∴P（，）．
点评：
本题主要考查了圆与一次函数的知识，解题的关键是作出辅助线，明确两条直线垂直时K的关系．
22. 某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？

（第6题图）
考点：
二次函数的应用；一次函数的应用．
分析：
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据收入等于指出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案；
（3）分类讨论40≤x≤58，或58≤x≤71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，根据解不等式，可得答案．
解答：
解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y=k1x+b1，由图象可得
，
解得．
∴y=2x+140．
当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y=k2x+b2，由图象得
，
解得，
∴y=﹣x+82，
综上所述：y=；
（2）设人数为a，当x=48时，y=﹣2×48+140=44，
∴（48﹣40）×44=106+82a，
解得a=3；
（3）设需要b天，该店还清所有债务，则：
b[（x﹣40）•y﹣82×2﹣106]≥68400，
∴b≥，
当40≤x≤58时，∴b≥=，
x=﹣时，﹣2x2+220x﹣5870的最大值为180，
∴b，即b≥380；
当58＜x≤71时，b=，
当x=﹣=61时，﹣x2+122x﹣3550的最大值为171，
∴b，即b≥400．
综合两种情形得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元．
点评：
本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，一次方程的应用，不等式的应用，分类讨论是解题关键．