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中考数学课时复习（含答案）：36 反比例函数
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这是一份中考数学课时复习（含答案）：36 反比例函数，共83页。试卷主要包含了点A，函数y=与y=﹣kx2+k等内容，欢迎下载使用。
36反比例函数
一.选择题
1．点A（﹣1，1）是反比例函数y=的图象上一点，则m的值为（ ）
A． ﹣1 B． ﹣2 C． 0 D． 1
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 把点A（﹣1，1）代入函数解析式，即可求得m的值．
解答： 解：把点A（﹣1，1）代入函数解析式得：1=，
解得：m+1=﹣1，
解得m=﹣2．
故选B
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
2．如图，直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在
第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC=1：2，则k的值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 先由直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，求出C（0，﹣2），B（2，0），那么S△BOC=OB•OC=×2×2=2，根据S△AOB：S△BOC=1：2，得出S△AOB=S△BOC=1，求出yA=1，再把y=1代入y=x﹣2，解得x的值，得到A点坐标，然后将A点坐标代入y=，即可求出k的值．
解答： 解：∵直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，
∴C（0，﹣2），B（2，0），
∴S△BOC=OB•OC=×2×2=2，
∵S△AOB：S△BOC=1：2，
∴S△AOB=S△BOC=1，
∴×2×yA=1，
∴yA=1，
把y=1代入y=x﹣2，
得1=x﹣2，解得x=3，
∴A（3，1）．
∵反比例函数y=的图象过点A，
∴k=3×1=3．
故选B．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求反比例函数解析式，求出A点坐标是解题的关键．
3. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．﹣12 B． ﹣27 C． ﹣32 D． ﹣36
考点： 菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．
解答： 解：∵C（﹣3，4），
∴OC==5，
∴CB=OC=5，
则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，
故B的坐标为：（﹣8，4），
将点B的坐标代入y=得，4=，
解得：k=﹣32．
故选C．
点评： 本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
4. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数y=的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）
A.2个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理．.
分析： 分类讨论：①当∠PAB=90°时，则P点的横坐标为﹣3，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点有1个；②当∠APB=90°，设P（x，），根据两点间的距离公式和勾股定理可得（x+3）2+（）2+（x﹣3）2+（）2=36，此时P点有4个，③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，此时P点有1个．
解答： 解：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入y=得y=﹣，所以此时P点有1个；
②当∠APB=90°，设P（x，），PA2=（x+3）2+（）2，PB2=（x﹣3）2+（）2，AB2=（3+3）2=36，
因为PA2+PB2=AB2，
所以（x+3）2+（）2+（x﹣3）2+（）2=36，
整理得x4﹣9x2+4=0，所以x2=，或x2=，
所以此时P点有4个，
③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入y=得y=，所以此时P点有1个；
综上所述，满足条件的P点有6个．
故选D．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
5．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣2或x＞2 B． x＜﹣2或0＜x＜2
C． ﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2 D． ﹣2＜x＜0或x＞2
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
解答： 解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为﹣2，
∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在y2=的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
故选D．
点评： 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y2时x的取值范围是解答此题的关键．
6．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．.
分析： 根据二次函数的图象的性质先确定出a、b、c的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质即可做出判断．
解答： 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴由于y轴的左侧；
∴a与b同号，
∴b＜0，
∵抛物线经过原点，所以c=0．
∵b＜0，c=0，
∴直线y=bx+c经过二、四象限和坐标原点．
∵b＜0，
∴反比例函数的图象，位于二、四象限．
故选：A．
点评： 本题主要考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的性质，掌握相关性质是解题的关键．
7．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象．菁优网版权所有
专题： 压轴题；数形结合．
分析： 本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
解答： 解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．
点评： 本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
8．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，连接B0．若S△OBC=1，tan∠BOC=，则k2的值是（ ）
A． ﹣3 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： 首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
解答： 解：∵直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
∵S△OBC=1，
∴BD=1，
∵tan∠BOC=，
∴=，
∴OD=3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，
∴k2=1×3=3．
故选D．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标，难度不大．
9.以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．10 B． 11 C． 12 D． 13
考点： 反比例函数系数k的几何意义．.
分析： 根据反比例函数系数k的几何意义，可得第一象限的小正方形的面积，再乘以4即可求解．
解答： 解：∵双曲线y=经过点D，
∴第一象限的小正方形的面积是3，
∴正方形ABCD的面积是3×4=12．
故选：C．
点评： 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
10.如图，直线y=﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO=3BO，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y= B． y=﹣ C． y= D． y=﹣
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： 先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO=3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．
解答： 解：∵直线y=﹣x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），即OA=3，
∵AO=3BO，
∴OB=1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在直线y=﹣x+3上，
∴点C（﹣1，4），
∴反比例函数的解析式为：y=﹣．
故选：B．
点评： 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．
11.如图，双曲线y=与直线y=﹣x交于A、B两点，且A（﹣2，m），则点B的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B． （1，﹣2） C． （，﹣1） D． （﹣1，）
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： 根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式，根据解方程组，可得答案．
解答： 解：当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）=1，即A（﹣2，1）．
将A点坐标代入y=，得k=﹣2×1=﹣2，
反比例函数的解析式为y=，
联立双曲线、直线，得，
解得，，
B（2，﹣1）．
故选：A．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求双曲线函数的解析式，又利用解方程组求图象的交点．
12．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y=的图象经过点B，则k的值是（ ）
A． 1 B． 2 C． D．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．.
分析： 首先过点A作BC⊥OA于点C，根据AO=2，△ABO是等边三角形，得出B点坐标，进而求出反比例函数解析式．
解答： 解：过点A作BC⊥OA于点C，
∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OC=1，BC=，
∴点B的坐标是（1，），
把（1，）代入y=，
得k=．
故选C．
点评： 此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出B点坐标是解题关键．
13. 下列四个函数图象中，当时，随的增大而减小的是【 】
A. B.C. D.
【答案】B．
【考点】函数图象的分析．
【分析】由图象知，所给四个函数图象中，当时，随的增大而减小的是选项B. 故选B．
14.下列各点中，在函数y=﹣图象上的是（ ）
A． （﹣2，4） B． （2，4） C． （﹣2，﹣4） D． （8，1）
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上．
解答： 解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣8，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣8的点在函数图象上，
四个选项中只有A选项符合．
故选A．
点评： 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
15．反比例函数y=﹣的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A． y1＜y2＜0 B． y1＜0＜y2 C． y1＞y2＞0 D． y1＞0＞y2
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 先根据反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0可判断出此函数图象在二、四象限，再根据x1＜0＜x2，可判断出A、B两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出y1与y2的大小关系．
解答： 解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A（x1，y1）在第二象限；点B（x2，y2）在第四象限，
∴y1＞0＞y2，
故选D．
点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据k＜0判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，则k的值为（ ）
A． 4 B． ﹣2 C． D． ﹣
考点： 翻折变换（折叠问题）；待定系数法求反比例函数解析式．.
分析： 设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，由折叠的性质易得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，用锐角三角函数的定义得CD，CE，得点C的坐标，易得k．
解答： 解：设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，
∵将△ABO沿直线AB翻折，
∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，
∴CD=y=AC•sin60°=2×=，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD=30°，
∵BC=BO=AO•tan30°=2×=，
CE=x=BC•cos30°==1，
∵点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，
∴k=x•y=﹣1×=﹣，
故选D．
点评： 本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1=在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的解析式为y2=k2x+b，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A． ﹣5＜x＜1 B． 0＜x＜1或x＜﹣5 C． ﹣6＜x＜1 D． 0＜x＜1或x＜﹣6
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： 由△AOB是等腰三角形，先求的点B的坐标，然后利用待定系数法可求得双曲线和直线的解析式，然后将将y1=与y2=联立，求得双曲线和直线的交点的横坐标，然后根据图象即可确定出x的取值范围．
解答： 解：如图所示
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠3+∠2=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴点B的坐标（1，3）．
将B（1，3）代入反比例函数的解析式得：3=，
∴k=3．
∴y1=
将A（﹣3，1），B（1，3）代入直线AB的解析式得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y2=
将y1=与y2=联立得；，
解得：，
当y1＞y2时，双曲线位于直线线的上方，
∴x的取值范围是：x＜﹣6或0＜x＜1．
故选：D．
点评： 本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求得双曲线和直线的交点的横坐标是解题的关键，同时本题还考查了函数与不等式的关系：从函数的角度看，y1＞y2就是双曲线y1=位于直线y2=上方部分所有点的横坐标的集合；从不等式的角度来看y1＞y2就是求不等式＞的解集．
18．已知反比例函数y=的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
A． （3，﹣2） B． （﹣2，﹣3） C． （1，﹣6） D． （﹣6，1）
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．
解答： 解：把（2，3）代入反比例解析式得：k=6，
∴反比例解析式为y=，
则（﹣2，﹣3）在这个函数图象上，
故选D．
点评： 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（ ）
A． 逐渐变小 B． 逐渐变大 C． 时大时小 D． 保持不变
考点： 相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 如图，作辅助线；首先证明△BOM∽△OAN，得到；设B（﹣m，），A（n，），得到BM=，AN=，OM=m，ON=n，进而得到mn=，mn=，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=为定值，即可解决问题．
解答： 解：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴；
∵∠AOB=90°，
∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BOM=∠OAN，
∵∠BMO=∠ANO=90°，
∴△BOM∽△OAN，
∴；
设B（﹣m，），A（n，），
则BM=，AN=，OM=m，ON=n，
∴mn=，mn=；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=①；
∵△BOM∽△OAN，
∴===②，
由①②知tan∠OAB=为定值，
∴∠OAB的大小不变，
故选D．
点评： 该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
20. 如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，=．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 7
考点： 反比例函数综合题．.
分析： 设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2=，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
解答： 解：设OA=3a，则OB=4a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
则根据题意得：，
解得：，
则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．
根据题意得：，
解得：
则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．
∵以CD为边的正方形的面积为，
∴2（﹣）2=，
则a2=，
∴k=×=7．
故选D．
点评： 本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得C和D的坐标是解决本题的关键．
21. 若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（ ）
A． ﹣12 B． 12 C． ﹣3 D． 3
A【解析】把（2，-6）代入y=得，-6=，所以k=-12.
点评：①由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.②反比例函数图象上点的纵横坐标的积都等于k。
2. 如图，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（－3，4），顶 点C在x轴的负半轴上，函数y＝(x＜0)的图像经过顶点B，则k的值为
A．－12 B．－27 C．－32 D．－36
【思路分析】由点A的坐标，可得菱形的边长为5，可求得点B的坐标。代入反比例函数关系式可求得k
【答案】C
【点评】本题考查在菱形的性质及反比例函数的解析式
22．如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的应用；反比例函数的图象．.
分析： 根据储存室的体积=底面积×高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论．
解答： 解：由储存室的体积公式知：104=Sd，
故储存室的底面积S（m2）与其深度d（m）之间的函数关系式为S=（d＞0）为反比例函数．
故选：A．
点评： 本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定双曲线的具体位置，难度不大．
23.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为(m,3)，反比例函数的图像与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是( )
A．6 B．－6 C．12 D．－12
二.填空题
1．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y=（k＞0）的图象上．则 y1 ＜ y3 ＜ y2 （填y1，y2，y3）．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析： 先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
解答： 解：∵反比例函数y=（k＞0）中k＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣1＜0，﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1）位于第三象限，
∴y1＜0，
∴B（1，y2）和C（2，y3）位于第一象限，
∴y2＞0，y3＞0，
∵1＜2，
∴y2＞y3，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：y1，y3，y2．
点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2. 若点P（－1，2）在反比例函数的图像上，则 。
3. 已知一个正比例函数的图像与一个反比例函数的图像的一个交点坐标为（1,3），则另一个交点坐标是
1、
4.如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为 10 ．
考点： 反比例函数系数k的几何意义．.
分析： 设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数y=的图象过A，B两点，所以ab=4，cd=4，进而得到S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2，
S矩形MCDO=3×2=6，根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO，即可解答．
解答： 解：如图，
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），
∵反比例函数y=的图象过A，B两点，
∴ab=4，cd=4，
∴S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2，
∵点M（﹣3，2），
∴S矩形MCDO=3×2=6，
∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10，
故答案为：10．
点评： 本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2是解题的关键，注意k的几何意义的应用．
5、在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（，）。如图，若曲线与此正方形的边有交点，则的取值范围是
▲
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析：根据题意得出C点的坐标（a﹣1，a﹣1），然后分别把A、C的坐标代入求得a的值，即可求得a的取值范围．
解答：解：∵A点的坐标为（a，a）．
根据题意C（a﹣1，a﹣1），
当A在双曲线时，则a﹣1=，
解得a=+1，
当C在双曲线时，则a=，
解得a=，
∴a的取值范围是≤a．
故答案为≤a．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标适合解析式是解题的关键．
6.如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M（1，﹣1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t= ．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称．.
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征由点A坐标为（1，﹣1）得到k=﹣1，即反比例函数解析式为y=﹣，且ON=MN=1，则可判断△OMN为等腰直角三角形，知∠MON=45°，再利用PQ⊥OM可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PN=PN′，NN′⊥PQ，所以∠NPQ=∠N′PQ=45°，于是得到N′P⊥x轴，则点n′的坐标可表示为（t，﹣），于是利用Pn=Pn′得t﹣1=|﹣|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．
解答： 解：如图，∵点A坐标为（1，﹣1），
∴k=﹣1×1=﹣1，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
∵ON=MN=1，
∴△OMN为等腰直角三角形，
∴∠MON=45°，
∵直线l⊥OM，
∴∠OPQ=45°，
∵点N和点N′关于直线l对称，
∴PN=PN′，NN′⊥PQ，
∴∠N′PQ=∠OPQ=45°，∠N′PN=90°，
∴N′P⊥x轴，
∴点N′的坐标为（t，﹣），
∵PN=PN′，
∴t﹣1=|﹣|=，
整理得t2﹣t﹣1=0，解得t1=，t2=（不符合题意，舍去），
∴t的值为．
故答案为：．
点评： 本题考查了反比例函数的综合题，涉及知识点有反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质和用求根公式法解一元二次方程等．利用对称的性质得到关于t的方程是解题的关键．
7.如图，若双曲线y=（k＞0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为 ．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．.
分析： 过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=2x，则BD=x，分别表示出点C、点D的坐标，代入函数解析式求出k，继而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值．
解答： 解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
设OC=2x，则BD=x，
在Rt△OCE中，∠COE=60°，
则OE=x，CE=x，
则点C坐标为（x，x），
在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，
则BF=x，DF=x，
则点D的坐标为（3﹣x，x），
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x2，
将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x﹣x2，
则x2=x﹣x2，
解得：x1=，x2=0（舍去），
故k=x2=．
故答案为：．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的值相同建立方程，有一定难度．
8．如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数y=的图象交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是 9
考点： 平行四边形的性质；反比例函数系数k的几何意义．
分析： 先求出反比例函数和直线BC的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点D的坐标，得出D为BC的中点，△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，即可求出四边形AOCD的面积．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），
∴点B的坐标为：（5，4），
把点A（2，4）代入反比例函数y=得：k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把点B（5，4），C（3，0）代入得：，
解得：k=2，b=﹣6，∴直线BC的解析式为：y=2x﹣6，
解方程组 得：
，或 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：（4，2），
即D为BC的中点，
∴△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，
∴四边形AOCD的面积=平行四边形ABCO的面积﹣△ABD的面积=3×4﹣×3×4=9；
故答案为：9
点评： 本题考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形和三角形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9．如图，函数y=﹣x的图象是二、四象限的角平分线，将y=﹣x的图象以点O为中心旋转90°与函数y=的图象交于点A，再将y=﹣x的图象向右平移至点A，与x轴交于点B，则点B的坐标为 （2，0） ．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．.
分析： 根据旋转，可得AO的解析式，根据解方程组，可得A点坐标，根据平移，可得AB的解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．
解答： 解：AO的解析式为y=x，
联立AO与y=，得
，
解得．
A点坐标为（1，1）
AB的解析式为y=﹣x+2，
当y=0时，﹣x+2=0．
解得x=2
B（2，0）．
故答案为：（2，0）．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了直线的旋转，直线的平移，自变量与函数值得对应关系．
10.反比例函数y=的图象有一支位于第一象限，则常数a的取值范围是 a ．
考点： 反比例函数的性质．.
分析： 根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可得2a﹣1＞0，再解不等式即可．
解答： 解：∵反比例函数y=的图象有一支位于第一象限，
∴2a﹣1＞0，
解得：a＞．
故答案为：a．
点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
11．如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y= （x＜0）的图象上，则k= ﹣4 ．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
分析： 过点B作BD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式；
解答： 解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0），
∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，
∴OD= OB=2，BD=OB•sin60°=4× =2 ，
∴B（﹣2，2 ），
∴k=﹣2×2 =﹣4 ；
故答案为﹣4 ．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识，难度适中．
12．把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为 s= ．
考点： 根据实际问题列反比例函数关系式．菁优网
分析： 利用长方体的体积=圆柱体的体积，进而得出等式求出即可．
解答： 解：由题意可得：sh=3×2×1，
则s=．
故答案为：s=．
点评： 此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，得出长方体体积是解题关键．
13.如图，矩形OABC的顶点A，C的
坐标分别是(4，0)(0，2)，反比例函数的图像过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则⊿ODE的面积为_____________。
考点： 反比例函数、矩形的数形结合
分析： 由矩形的性质求出点P的坐标，然后代入反比例函数的解析式中就可以求出k的值，再利用坐标之间的关系求出CE及BE的长度，即可进一步求出面积。
解答： 因为C（0,2）A（4,0）由矩形的性质可得P（2,1），把P点坐标代入反比例函数解析式可得k=2,所以反比例函数解析式为D点的横坐标为4，所以纵坐标为AD=点E的纵坐标为2，所以CE=1，则BE=3，所以
=8-1--1=
点评： 本题堪称数形结合的典范，既运用到矩形的性质，又综合应用了反比例函数的知识，在求坐标的过程中计算面积，以数求形，以形点数。
14. 点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，若y1＜y2，则a的范围是 ﹣1＜a＜1 ．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析： 根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
解答： 解：∵k＞0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＜y2，
∴a﹣1＞a+1，
解得：无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＜y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故答案为：﹣1＜a＜1．
点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k＞0时，在图象的每一支上，y随x的增大而减小．
三.解答题
1．如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，从而确定反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出a，b的值，从而确定一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象即可得出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A（1，4），
∴4=，即m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=．
∵反比例函数y=的图象过点B（n，﹣2），
∴﹣2=，
解得：n=﹣2
∴B（﹣2，﹣2）．
∵一次函数y=ax+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），
∴，
解得 ．
∴一次函数的解析式为：y=2x+2；
（2）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图象比较函数值的大小．解题的关键是：确定交点的坐标．
2．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
考点： 反比例函数的应用；一次函数的应用．
分析： （1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；
（2）利用y=4分别得出x的值，进而得出答案．
解答： 解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，
将（4，8）代入得：8=4k，
解得：k=2，
故直线解析式为：y=2x，
当4≤x≤10时，设直反比例函数解析式为：y=，
将（4，8）代入得：8=，
解得：a=32，
故反比例函数解析式为：y=；
（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，
当y=4，则4=，解得：x=8，
∵8﹣2=6（小时），
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．
点评： 此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
3．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．
（1）求k1、k2、b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题
分析： （1）先把A点坐标代入y=可求得k1=8，则可得到反比例函数解析式，再把B（﹣4，m）代入反比例函数求得m，得到B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；
（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），可求S△AOB=×6×2+×6×1=9；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结果．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），
∴k1=8，B（﹣4，﹣2），
解，解得；
（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为C（0，6），
∴S△AOB=S△COB+S△AOC=×6×4+×6×1=15；
（3）∵比例函数y=的图象位于一、三象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，y1＜y2，
∴M，N在不同的象限，
∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4.如图，直线y=mx+n与双曲线y=相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）由题意，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；
（2）得出点C和点D的坐标，根据三角形面积公式计算即可．
解答： 解：（1）把x=﹣1，y=2；x=2，y=b代入y=，
解得：k=﹣2，b=﹣1；
把x=﹣1，y=2；x=2，y=﹣1代入y=mx+n，
解得：m=﹣1，n=1；
（2）直线y=﹣x+1与y轴交点C的坐标为（0，1），所以点D的坐标为（0，﹣1），
点B的坐标为（2，﹣1），所以△ABD的面积=
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数图象的性质．
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值；
（3）若MA⊥AB，求t的值．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）把点A坐标代入y=（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t﹣3），则MN=﹣t+3，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值；
（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果．
解答： 解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=（x＞0）得：
k=1×8=8，y=，
∴k=8；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：，
解得：k=，b=﹣3，
∴直线AB的解析式为：y=x﹣3；
设M（t，），N（t，t﹣3），
则MN=﹣t+3，
∴△BMN的面积S=（﹣t+3）t=﹣t2+t+4=﹣（t﹣3）2+，
∴△BMN的面积S是t的二次函数，
∵﹣＜0，
∴S有最大值，
当t=3时，△BMN的面积的最大值为
（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y=﹣2x+c，
把点A（8，1）代入得：c=17，
∴直线AM的解析式为：y=﹣2x+17，
解方程组 得： 或 （舍去），
∴M的坐标为（，16），
∴t=．
点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、二次函数的最值问题、垂线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要确定一次函数的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组才能得出结果．
6. 知识迁移
我们知道，函数y=a（x﹣m）2+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y=ax2的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y=+n（k≠0，m＞0，n＞0）的图象是由反比例函数y=的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）．
理解应用
函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1） ．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y=的图象画出函数y=﹣2的图象，并根据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1=；若在x=t（t≥4）时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2=，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？
考点： 反比例函数综合题．
分析： 理解应用：根据“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案：
灵活应用：根据平移规律作出图象；
实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”（4，1），然后带入y2，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．
解答： 解：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1）．
故答案是：1，1，（1，1）
灵活应用：将y=的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数y=﹣2的图象，其对称中心是（2，﹣2）．图象如图所示：
由y=﹣1，得﹣2=﹣1，
解得x=﹣2．
由图可知，当﹣2≤x＜2时，y≥﹣1
实际应用：
解：当x=t时，y1=，
则由y1==，解得：t=4，
即当t=4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，
∴点（4，1）在函数y2=的图象上，
则1=，解得：a=﹣4，
∴y2=，
当y2==，解得：x=12
即当x=12时，是他第二次复习的“最佳时机点”
点评： 本题主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题，熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．
7．如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y= （x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D．
（1）求m的值和直线AB的函数关系式
（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到D时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；
②如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，是否存在某时刻t，使得点Q′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求Q′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．
考点： 反比例函数综合题．
分析： （1）由于点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y= 的图象上，根据反比例函数的意义求出m，n，再由待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面积公式可求出解析式；
②通过三角形相似，用t的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t值．
解答： 解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y= 的图象上，
∴m=8×1=8，
∴y= ，
∴8= ，即n=1，
设AB的解析式为y=kx+b，
解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=的图象上，
∴m=8×1=8，
∴y=，
∴8=，即n=1，
设AB的解析式为y=kx+b，
把（8，1）、B（1，8）代入上式得：
，
解得：．
∴直线AB的解析式为y=﹣x+9；
（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，
当P在OD上运动时，
S===t2（0＜t≤4），
当P在DB上运动时，
S==t×8=4t（4＜t≤4.5）；
②存在，
作PE⊥y轴，O′F⊥x轴于F，交PE于E，
则∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t，
由题意知：∠PO′Q=∠POQ=90°﹣∠PO′E，
∠EPO′=90′﹣∠PO′E
∴△PEO′∽△O′FQ，
∴==，
设QF=b，O′F=a，
则PE=OF=t+b，OE=2t﹣a，
∴，
解得：a=，b=，
∴O′（t，t），
当Q′在反比例函数的图象上时，
，
解得：t=±，
∵反比例函数的图形在第一象限，
∴t＞0，
∴t=．
当t=个长度单位时，Q′恰好落在反比例函数的图象上．
本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键．
8．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）先把A、B点坐标代入y=求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）根据图象可以直接写出答案；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S△AOB=S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．
解答： 解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴m=1，n=2，
即A（1，6），B（3，2）．
又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，
∴．
解得，
则该一次函数的解析式为：y=﹣2x+3；
（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞2；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AE=6，BC=2，
∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．
9.如图，已知点A、P在反比例函数y=（k＜0）的图象上，点B、Q在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴，且S△OAB=4，若P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为（m，n）．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求的值．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）先由点B在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，将y=﹣1代入y=x﹣3，求出x=2，即B（2，﹣1）．由AB⊥x轴可设点A的坐标为（2，t），利用S△OAB=4列出方程（﹣1﹣t）×2=4，求出t=﹣5，得到点A的坐标为（2，﹣5）；将点A的坐标代入y=，即可求出k的值；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q（﹣m，n），由点P（m，n）在反比例函数y=﹣的图象上，点Q在直线y=x﹣3的图象上，得出mn=﹣10，m+n=﹣3，再将变形为，代入数据计算即可．
解答： 解：（1）∵点B在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，
∴当y=﹣1时，x﹣3=﹣1，解得x=2，
∴B（2，﹣1）．
设点A的坐标为（2，t），则t＜﹣1，AB=﹣1﹣t．
∵S△OAB=4，
∴（﹣1﹣t）×2=4，
解得t=﹣5，
∴点A的坐标为（2，﹣5）．
∵点A在反比例函数y=（k＜0）的图象上，
∴﹣5=，解得k=﹣10；
（2）∵P、Q两点关于y轴对称，点P的坐标为（m，n），
∴Q（﹣m，n），
∵点P在反比例函数y=﹣的图象上，点Q在直线y=x﹣3的图象上，
∴n=﹣，n=﹣m﹣3，
∴mn=﹣10，m+n=﹣3，
∴====﹣．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，关于y轴对称的点的坐标特征，代数式求值，求出点A的坐标是解决第（1）小题的关键，根据条件得到mn=﹣10，m+n=﹣3是解决第（2）小题的关键．
10.已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+．
（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；
（2）若AB=，求k的值；
（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=）
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）将l1与y=组成方程组，即可得到C点坐标，从而求出△OAB的面积；
（2）根据题意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），根据根与系数的关系得到2k2+5k+2=0，从而求出k的值；
（3）设P（x，），则M（﹣+，），根据PM=PF，求出点P的坐标．
解答： 解：（1）当k=1时，l1：y=﹣x+2，
联立得，，化简得x2﹣2x+1=0，
解得：x1=﹣1，x2=+1，
设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2）．
S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=•2•（x2﹣x1）=2；
（2）根据题意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），
∵△=[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，
∴x1、x2 是方程的两根，
∴ ①，
∴AB==，
=，
=，
将①代入得，AB==（k＜0），
∴=，
整理得：2k2+5k+2=0，
解得：k=2，或 k=﹣；
（3）F（，），如图：
设P（x，），则M（﹣+，），
则PM=x+﹣==，
∵PF==，
∴PM=PF．
∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，
当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2，
由（1）知P（﹣1，+1），
∴当P（﹣1，+1）时，PM+PN最小值是2．
点评： 本题考查了反比例函数综合题，涉及函数图象的交点与方程组的解的关系、三角形的面积、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、两点间的距离公式的等知识，综合性较强．
11.如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将▱ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段AA′的长及点E的坐标．
考点： 平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．.
专题： 计算题．
分析： （1）由A与B的坐标求出AB的长，根据四边形ABCD为平行四边形，求出DC的长，进而确定出C坐标，设反比例解析式为y=，把C坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）根据平移的性质得到B与B′横坐标相同，代入反比例解析式求出B′纵坐标得到平移的距离，即为AA′的长，求出D′纵坐标，即为E纵坐标，代入反比例解析式求出E横坐标，即可确定出E坐标．
解答： 解：（1）∵▱ABCD中，A（2，0），B（6，0），D（0，3），
∴AB=CD=4，DC∥AB，
∴C（4，3），
设反比例解析式为y=，把C坐标代入得：k=12，
则反比例解析式为y=；
（2）∵B（6，0），
∴把x=6代入反比例解析式得：y=2，即B′（6，2），
∴平行四边形ABCD向上平移2个单位，即AA′=2，
∴D′（0，5），
把y=5代入反比例解析式得：x=，即E（，5）．
点评： 此题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
12．如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与矩形ABCD的边相交于E、F两点，且BE=2AE，E（﹣1，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接EF，求△BEF的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）将E（﹣1，2）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）由矩形的性质及已知条件可得B（﹣3，2），再将x=﹣3代入y=﹣，求出y的值，得到CF=，那么BF=2﹣=，然后根据△BEF的面积=BE•BF，将数值代入计算即可．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=（k＜0）的图象过点E（﹣1，2），
∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（2）∵E（﹣1，2），
∴AE=1，OA=2，
∴BE=2AE=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3，
∴B（﹣3，2）．
将x=﹣3代入y=﹣，得y=，
∴CF=，
∴BF=2﹣=，
∴△BEF的面积=BE•BF=×2×=．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，三角形的面积，正确求出BF的值是解决第（2）小题的关键．
13．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）根据一次函数的性质，结合函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解析式，可分两种情况进行讨论：①x≥﹣3时，显然y=x+3；②当x＜﹣3时，利用待定系数法求解；
（2）①先把点C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=．由点D是线段AC上一动点（不包括端点），可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1，那么P（，m+3），PD=﹣m，再根据三角形的面积公式得出△PAD的面积为S=（﹣m）×（m+3）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，然后利用二次函数的性质即可求解；
②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么不是平行四边形．
解答： 解：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；
②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；
由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：
①x≥﹣3时，显然y=x+3；
②当x＜﹣3时，设其解析式为y=kx+b．
在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，
则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．
把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，
得，解得，
∴y=﹣x﹣3．
综上所述，新函数的解析式为y=；
（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，
∴a=1+3=4．
∵点C（1，4）在双曲线y=上，
∴k=1×4=4，y=．
∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），
∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．
∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，
∴P（，m+3），
∴PD=﹣m，
∴△PAD的面积为
S=（﹣m）×（m+3）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，
∵a=﹣＜0，
∴当m=﹣时，S有最大值，为，
又∵﹣3＜﹣＜1，
∴△PAD的面积的最大值为；
②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP与AC不能互相平分，
∴四边形PAEC不能为平行四边形．
点评： 本题是反比例函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数最值的求法，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
14．定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如max{﹣3，2}=2．
（1）max{，3}= 3 ；
（2）已知y1=和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{，k2x+b}=，结合图象，直接写出x的取值范围；
（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
专题： 新定义．
分析： （1）根据3＞和已知求出即可；
（2）根据题意得出≥k2x+b，结合图象求出即可；
（3）分为两种情况：当2x+1≥x﹣2时，当2x+1＜x﹣2时，结合已知求出即可．
解答： 解：（1）max{，3}=3．
故答案为：3；
（2）∵max{，k2x+b}=，
∴≥k2x+b，
∴从图象可知：x的取值范围为﹣3≤x＜0或x≥2；
（3）当2x+1≥x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=2x+1，
当2x+1＜x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=x﹣2．
点评： 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，能读懂题意是解此题的关键．
15．如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．
（2）点E在线段CD上，S△ABE=10，求点E的坐标．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： （1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
（2）设E（x，0），表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD面积﹣三角形ADE面积﹣三角形BCE面积，求出即可．
解答： 解：（1）由题意得：，
解得：，
∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y=，
将A（1，6）代入得：k=6，
则反比例解析式为y=；
（2）设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE
=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC
=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1
=﹣x
=10，
解得：x=3，
则E（3，0）．
点评： 此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16．如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣3，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B（1，m），C（3，n）在该函数的图象上，试比较m与n的大小．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析： （1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据反比例函数的性质先判定图象在一、三象限，y随x的增大而减小，根据1＜3＜0，可以确定B（1，m）、C（3，n）两个点在第一象限，从而判定m，n的大小关系．
解答： 解：（1）因为反比例函数y=的图象经过点A（﹣3，﹣2），
把x=﹣3，y=﹣2代入解析式可得：k=6，
所以解析式为：y=；
（2）∵k=6＞0，
∴图象在一、四三象限，y随x的增大而减小，
又∵1＜3＜0，
∴B（1，m）、C（3，n）两个点在第一象限，
∴m＜n．
点评： 本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17．如图，点M（﹣3，m）是一次函数y=x+1与反比例函数y=（k≠0）的图象的一个交点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP=a（a≠2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，△ABC′与△ABC关于直线AB对称．
①当a=4时，求△ABC′的面积；
②当a的值为 3 时，△AMC与△AMC′的面积相等．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）由一次函数解析式可得点M的坐标为（﹣3，﹣2），然后把点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值，可得反比例函数表达式；
（2）①连接CC′交AB于点D．由轴对称的性质，可知AB垂直平分OC′，当a=4时，利用函数解析式可分别求出点A、B、C、D的坐标，于是可得AB和CD的长度，即可求得△ABC的面积；
②由题意得点C的坐标为（，），则C′（，），点C、C′到直线y=x+1的距离分别为：、．根据△AMC与△AMC′的面积相等列出方程并解答．
解答： 解：（1）把M（﹣3，m）代入y=x+1，则m=﹣2．
将（﹣3，﹣2）代入y=，得k=6，则反比例函数解析式是：y=；
（2）①连接CC′交AB于点D．则AB垂直平分CC′．
当a=4时，A（4，5），B（4，1.5），则AB=3.5．
∵点Q为OP的中点，
∴Q（2，0），
∴C（2，3），则D（4，3），
∴CD=2，
∴S△ABC=AB•CD=×3.5×2=3.5，则S△ABC′=3.5；
②∵△AMC与△AMC′的面积相等，
∴=，
解得a=3．
故答案是：3．
点评： 本题综合考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征以及轴对称的性质．难度较大，解题时需要注意数形结合．
18.如图，一次函数y=﹣x+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象的交点为A（﹣2，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，列出关于系数m的方程，通过解方程来求m的值；
（2）由一次函数解析式可以求得点B的坐标，然后根据三角形的面积公式来求点P的坐标．
解答： 解：（1）由题意得：A（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，则=3，
解得m=﹣6．
故该反比例函数的解析式为y=﹣；
（2）设点P的坐标是（a，b）．
∵一次函数y=﹣x+2的图象与x轴交于点B，
∴当y=0时，﹣x+2=0，
解得x=4．
∴点B的坐标是（4，0），即OB=4．
∴BC=6．
∵△PBC的面积等于18，
∴×BC×|b|=18，、
解得：|b|=6，
∴b1=6，b2=﹣6，
∴点P的坐标是（﹣1，6），（1，﹣6）．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用函数图象上点的坐标特征求得相关点的坐标，然后由坐标与图形的性质得到相关线段的长度是解题的关键．
19.如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）把点D的坐标代入y2=利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得C的坐标，然后根据S△COD=S△AOC+S△AOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得．
解答： 解：∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，
∴k2=2×（﹣3）=﹣6，
∴y2=﹣；
作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，
∴，
解得k1=﹣，b=﹣，、
∴y1=﹣x﹣；
（2）由，解得，，
∴C（﹣4，），
∴S△COD=S△AOC+S△AOD=×+×2×3=；
（3）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2
点评： 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得A点的坐标是解题的关键．
20.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．.
分析： （1）把A（1，4）代入y=即可求出结果；
（2）先把B（4，n）代入y=得到B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b求得一次函数的解析式为；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，求出直线AB′与x轴的交点即为P点的坐标．
解答： 解：（1）把A（1，4）代入y=得：m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=；
（2）把B（4，n）代入y=得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得，
∴，
∴一次函数的解析式为：y=﹣x+5；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，
则AB′的长度就是PA+PB的最小值，
由作图知，B′（4，﹣1），
∴直线AB′的解析式为：y=﹣x+，
当y=0时，x=，
∴P（，0）．
点评： 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，最小距离问题，这里体现了数形结合的思想，正确的理解距离和最小问题是解题的关键．
21．如图，已知点是一次函数图象与反比例函数图象的一个交点.
（1）求一次函数的解析式；
（2）在轴的右侧，当时，直接写出的取值班范围．
【答案】解：（1）∵点在反比例函数图象上，
∴，解得.∴.
∵点在一次函数图象图象上，
∴，解得.
∴一次函数的解析式为.
（2）在轴的右侧，当时， 的取值班范围为．
【考点】反比例函数和一次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系；数形结合思想的应用．
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，先由点在反比例函数图象上，求出点的坐标；再由点在一次函数图象图象上，求出，从而得到一次函数的解析式．
（2）在轴的右侧，当时，一次函数图象的图象在反比例函数的图象之上，由图象可知，此时．
22.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可．
解答： （1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，
∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2
∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA=3，OC=2，
∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，
∴点E坐标为：（，1），
设经过点E的反比例函数解析式为：y=，
把点E（，1）代入得：k=，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y=．
点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果．
23.一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）把A（﹣1，4）代入反比例函数y=可得m的值，即确定反比例函数的解析式；再把B（2，n）代入反比例函数的解析式得到n的值；然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先由BC⊥y轴，垂足为C以及B点坐标确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，进一步求出点E的坐标，然后计算得出△AED的面积S．
解答： 解：（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数y=得，m=﹣1×4=﹣4，
所以反比例函数的解析式为y=﹣；
把B（2，n）代入y=﹣得，2n=﹣4，
解得n=﹣2，
所以B点坐标为（2，﹣2），
把A（﹣1，4）和B（2，﹣2）代入一次函数y=kx+b得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为y=﹣2x+2；
（2）∵BC⊥y轴，垂足为C，B（2，﹣2），
∴C点坐标为（0，﹣2）．
设直线AC的解析式为y=px+q，
∵A（﹣1，4），C（0，﹣2），
∴，
解，
∴直线AC的解析式为y=﹣6x﹣2，
当y=0时，﹣6x﹣2=0，解答x=﹣，
∴E点坐标为（﹣，0），
∵直线AB的解析式为y=﹣2x+2，
∴直线AB与x轴交点D的坐标为（1，0），
∴DE=1﹣（﹣）=，
∴△AED的面积S=××4=．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，正确求出函数的解析式是解题的关键．
24.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可；
（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．
解答： 解：（1）∵A（﹣2，1），
∴将A坐标代入反比例函数解析式y2=中，得m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣；
将B坐标代入y=﹣，得n=﹣2，
∴B坐标（1，﹣2），
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得，
解得a=﹣1，b=﹣1，
∴一次函数解析式为y1=﹣x﹣1；
（2）设直线AB与y轴交于点C，
令x=0，得y=﹣1，
∴点C坐标（0，﹣1），
∵S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×2+×2×1=2；
（3）由图象可得，当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围x＞1．
点评： 本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25.如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．.
分析： （1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．
解答： 解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x1=1，x2=3，
∴点B坐标（3，1）；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m=﹣2，n=5，
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，
令y=0，得x=，
∴点P坐标（，0），
S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.5．
点评： 本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
26．如图是函数y=与函数y=在第一象限内的图象，点P是y=的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=的图象于点D．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求四边形ODPC的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；
（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．
解答： （1）证明：∵点P在函数y=上，
∴设P点坐标为（，m）．
∵点D在函数y=上，BP∥x轴，
∴设点D坐标为（，m），
由题意，得
BD=，BP==2BD，
∴D是BP的中点．
（2）解：S四边形OAPB=•m=6，
设C点坐标为（x，），D点坐标为（，y），
S△OBD=•y•=，
S△OAC=•x•=，
S四边形OCPD=S四边形PBOA﹣S△OBD﹣S△OAC=6﹣﹣=3．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法．
27、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，B、O在x轴负半轴上，AO=，tan∠AOB=，一次函数y=k1x+b的图象过A、B两点，反比例函数y=的图象过OA的中点D．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）平移一次函数y=k1x+b的图象，当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时，求b的取值范围．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）连接AC，交OB于E，由菱形的性质得出BE=OE=OB，OB⊥AC，由三角函数tan∠AOB==，得出OE=2AE，设AE=x，则OE=2x，根据勾股定理得出OA=x=，解方程求出AE=1，OE=2，得出OB=2OE=4，得出A、B的坐标，由待定系数法即可求出一次函数的解析式；再求出点D的坐标，代入反比例函数y=，求出k2的值即可；
（3）由题意得出方程组 无解，消去y化成一元二次方程，由判别式△＜0，即可求出b的取值范围．
解答： 解：（1）连接AC，交OB于E，如图所示：
∵四边形ABCO是菱形，
∴BE=OE=OB，OB⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∴tan∠AOB==，
∴OE=2AE，
设AE=x，则OE=2x，
根据勾股定理得：OA=x=，
∴x=1，
∴AE=1，OE=2，
∴OB=2OE=4，
∴A（﹣2，1），B（﹣4，0），
把点A（﹣2，1），B（﹣4，0）代入一次函数y=k1x+b得：，
解得：k1=，b=2，
∴一次函数的解析式为：y=x+2；
∵D是OA的中点，A（﹣2，1），
∴D（﹣1，），
把点D（﹣1，）代入反比例函数y=得：k2=﹣，
∴反比例函数的解析式为：y=﹣；
（2）根据题意得：一次函数的解析式为：y=x+b，
∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=﹣的图象无交点，
∴方程组 无解，
即x+b=﹣无解，
整理得：x2+2bx+1=0，
∴△=（2b）2﹣4×1×1＜0，b2＜1，
解得：﹣1＜b＜1，
∴当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时，b的取值范围是﹣1＜b＜1．
点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了菱形的性质、坐标与图形性质、用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、勾股定理、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过作辅助线求出点的坐标和解方程组才能得出结果．
28、如图，直线与反比例函数的图象交于点A（1，），B是反比例函数图象上一点，直线OB与轴的夹角为，.
（1）求的值；
（2）求点B的坐标；
（3）设点P（，0），使△PAB的面积为2，求的值.
【答案】解：（1）∵直线与反比例函数的图象交于点A（1，），
∴，解得.
∴
（2）如答图1，过点B作BC⊥轴于点C，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴可设点B的坐标为，即.
∵，即，∴，解得.
又∵，∴. ∴点B的坐标为.
（3）如答图2，设所在直线AB与轴交于点D，
∵A（1，2），B ，
∴.
∵P（，0），，且，
∴， 得.
【考点】反比例函数和一次函数综合题；曲线图上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；转换思想和方程思想的应用
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由直线与反比例函数的图象交于点A（1，）列出方程组求解即可
（2）作辅助线：过点B作BC⊥轴于点C，构成直角三角形，根据锐角三角函数定义列式求解即可.
（3）设所在直线AB与轴交于点D，根据列方程求解即可.
~29. 平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：「」，即「」=+，（其中的“+”是四则运算中的加法）
（1）求点,的勾股值「」、「」
（2）点在反比例函数的图像上，且「」=4，求点的坐标；
（3）求满足条件「」=3的所有点围成的图形的面积
30．如图，已知一次函数y=x+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（2，3）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）请根据图象直接写出不等式x+b＞的解集．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）把A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
解答： 解：（1）把点A的坐标（2，3）代入一次函数的解析式中，可得：3=2+b，解得：b=1，
所以一次函数的解析式为：y=x+1；
把点A的坐标（2，3）代入反比例函数的解析式中，可得：k=6，
所以反比例函数的解析式为：y=；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，
可得：，
解得：x1=2，x2=﹣3，
所以点B的坐标为（﹣3，﹣2）；
（3）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴使一次函数值大于反比例函数值的x的范围是：﹣3＜x＜0或x＞2．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数的图形等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．
二.
31．如图，已知点A（4，0），B（0，4），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程组求出k、b的值即可；
（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G坐标代入反比例函数求出k即可；
（3）设F（t，﹣t+4），得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式为y=，用待定系数法求出t、m，即可得出反比例函数解析式．
解答： 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（4，0），B（0，4），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+4；
（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，
∴EF=2，DF=4，
∵点D与点A重合，
∴D（4，0），
∴F（2，2），
∴G（3，），
∵反比例函数y=经过点G，
∴k=3，
∴反比例函数的解析式为：y=；
（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：
∵点F在直线AB上，
∴设F（t，﹣t+4），
又∵ED=2，
∴D（t+2，﹣t+2），
∵点G为边FD的中点．
∴G（t+1，﹣t+3），
若过点G的反比例函数的图象也经过点F，
设解析式为y=，
则，
整理得：（﹣t+3）（t+1）=（﹣t+4）t，
解得：t=，
∴m=，
∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y=．
点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、坐标与图形特征、解直角三角形、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，用待定系数法确定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的关键．
]
32．已知反比例函数y=（m为常数，且m≠5）．
（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）若其图象与一次函数y=﹣x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）由反比例函数y=的性质：当k＜0时，在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，进而可得：m﹣5＜0，从而求出m的取值范围；
（2）先将交点的纵坐标y=3代入一次函数y=﹣x+1中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数y=中，即可求出m的值．
解答： 解：（1）∵在反比例函数y=图象的每个分支上，y随x的增大而增大，
∴m﹣5＜0，
解得：m＜5；
（2）将y=3代入y=﹣x+1中，得：x=﹣2，
∴反比例函数y=图象与一次函数y=﹣x+1图象的交点坐标为：（﹣2，3）．
将（﹣2，3）代入y=得：
3=
解得：m=﹣1．
点评： 本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
36反比例函数
一.选择题
1．点A（﹣1，1）是反比例函数y=的图象上一点，则m的值为（ ）
A． ﹣1 B． ﹣2 C． 0 D． 1
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 把点A（﹣1，1）代入函数解析式，即可求得m的值．
解答： 解：把点A（﹣1，1）代入函数解析式得：1=，
解得：m+1=﹣1，
解得m=﹣2．
故选B
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上．
2．如图，直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在
第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC=1：2，则k的值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 先由直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，求出C（0，﹣2），B（2，0），那么S△BOC=OB•OC=×2×2=2，根据S△AOB：S△BOC=1：2，得出S△AOB=S△BOC=1，求出yA=1，再把y=1代入y=x﹣2，解得x的值，得到A点坐标，然后将A点坐标代入y=，即可求出k的值．
解答： 解：∵直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，
∴C（0，﹣2），B（2，0），
∴S△BOC=OB•OC=×2×2=2，
∵S△AOB：S△BOC=1：2，
∴S△AOB=S△BOC=1，
∴×2×yA=1，
∴yA=1，
把y=1代入y=x﹣2，
得1=x﹣2，解得x=3，
∴A（3，1）．
∵反比例函数y=的图象过点A，
∴k=3×1=3．
故选B．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求反比例函数解析式，求出A点坐标是解题的关键．
3. 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=（x＜0）的图象经过顶点B，则k的值为（ ）
A．﹣12 B． ﹣27 C． ﹣32 D． ﹣36
考点： 菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出k的值即可．
解答： 解：∵C（﹣3，4），
∴OC==5，
∴CB=OC=5，
则点B的横坐标为﹣3﹣5=﹣8，
故B的坐标为：（﹣8，4），
将点B的坐标代入y=得，4=，
解得：k=﹣32．
故选C．
点评： 本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标．
4. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（3，0），点P在反比例函数y=的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（ ）
A.2个 B． 4个 C． 5个 D． 6个
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；圆周角定理．.
分析： 分类讨论：①当∠PAB=90°时，则P点的横坐标为﹣3，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得P点有1个；②当∠APB=90°，设P（x，），根据两点间的距离公式和勾股定理可得（x+3）2+（）2+（x﹣3）2+（）2=36，此时P点有4个，③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，此时P点有1个．
解答： 解：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为﹣3，把x=﹣3代入y=得y=﹣，所以此时P点有1个；
②当∠APB=90°，设P（x，），PA2=（x+3）2+（）2，PB2=（x﹣3）2+（）2，AB2=（3+3）2=36，
因为PA2+PB2=AB2，
所以（x+3）2+（）2+（x﹣3）2+（）2=36，
整理得x4﹣9x2+4=0，所以x2=，或x2=，
所以此时P点有4个，
③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入y=得y=，所以此时P点有1个；
综上所述，满足条件的P点有6个．
故选D．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．
5．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A． x＜﹣2或x＞2 B． x＜﹣2或0＜x＜2
C． ﹣2＜x＜0或0＜x＜﹣2 D． ﹣2＜x＜0或x＞2
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．
解答： 解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵点A的横坐标为2，
∴点B的横坐标为﹣2，
∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在y2=的上方，
∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．
故选D．
点评： 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y2时x的取值范围是解答此题的关键．
6．如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数y=在同一坐标系中的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．.
分析： 根据二次函数的图象的性质先确定出a、b、c的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质即可做出判断．
解答： 解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴由于y轴的左侧；
∴a与b同号，
∴b＜0，
∵抛物线经过原点，所以c=0．
∵b＜0，c=0，
∴直线y=bx+c经过二、四象限和坐标原点．
∵b＜0，
∴反比例函数的图象，位于二、四象限．
故选：A．
点评： 本题主要考查的是二次函数、一次函数和反比例函数的性质，掌握相关性质是解题的关键．
7．函数y=与y=﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；反比例函数的图象．菁优网版权所有
专题： 压轴题；数形结合．
分析： 本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致．
解答： 解：由解析式y=﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x=0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．
点评： 本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：（1）先根据图象的特点判断k取值是否矛盾；（2）根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求．
8．如图，在平面直角坐标系系中，直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，连接B0．若S△OBC=1，tan∠BOC=，则k2的值是（ ）
A． ﹣3 B． 1 C． 2 D． 3
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： 首先根据直线求得点C的坐标，然后根据△BOC的面积求得BD的长，然后利用正切函数的定义求得OD的长，从而求得点B的坐标，求得结论．
解答： 解：∵直线y=k1x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，
∴点C的坐标为（0，2），
∴OC=2，
∵S△OBC=1，
∴BD=1，
∵tan∠BOC=，
∴=，
∴OD=3，
∴点B的坐标为（1，3），
∵反比例函数y=在第一象限内的图象交于点B，
∴k2=1×3=3．
故选D．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点坐标，解题的关键是仔细审题，能够求得点B的坐标，难度不大．
9.以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，双曲线y=经过点D，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．10 B． 11 C． 12 D． 13
考点： 反比例函数系数k的几何意义．.
分析： 根据反比例函数系数k的几何意义，可得第一象限的小正方形的面积，再乘以4即可求解．
解答： 解：∵双曲线y=经过点D，
∴第一象限的小正方形的面积是3，
∴正方形ABCD的面积是3×4=12．
故选：C．
点评： 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
10.如图，直线y=﹣x+3与y轴交于点A，与反比例函数y=（k≠0）的图象交于点C，过点C作CB⊥x轴于点B，AO=3BO，则反比例函数的解析式为（ ）
A．y= B． y=﹣ C． y= D． y=﹣
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： 先求出点A的坐标，然后表示出AO、BO的长度，根据AO=3BO，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出反比例函数解析式．
解答： 解：∵直线y=﹣x+3与y轴交于点A，
∴A（0，3），即OA=3，
∵AO=3BO，
∴OB=1，
∴点C的横坐标为﹣1，
∵点C在直线y=﹣x+3上，
∴点C（﹣1，4），
∴反比例函数的解析式为：y=﹣．
故选：B．
点评： 本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，根据题意确定点C的横坐标并求出纵坐标是解题的关键．
11.如图，双曲线y=与直线y=﹣x交于A、B两点，且A（﹣2，m），则点B的坐标是（ ）
A．（2，﹣1） B． （1，﹣2） C． （，﹣1） D． （﹣1，）
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： 根据自变量的值，可得相应的函数值，根据待定系数法，可得反比例函数的解析式，根据解方程组，可得答案．
解答： 解：当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）=1，即A（﹣2，1）．
将A点坐标代入y=，得k=﹣2×1=﹣2，
反比例函数的解析式为y=，
联立双曲线、直线，得，
解得，，
B（2，﹣1）．
故选：A．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求双曲线函数的解析式，又利用解方程组求图象的交点．
12．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限．若反比例函数y=的图象经过点B，则k的值是（ ）
A． 1 B． 2 C． D．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．.
分析： 首先过点A作BC⊥OA于点C，根据AO=2，△ABO是等边三角形，得出B点坐标，进而求出反比例函数解析式．
解答： 解：过点A作BC⊥OA于点C，
∵点A的坐标是（2，0），
∴AO=2，
∵△ABO是等边三角形，
∴OC=1，BC=，
∴点B的坐标是（1，），
把（1，）代入y=，
得k=．
故选C．
点评： 此题主要考查了反比例函数的综合应用、等边三角形的性质以及图象上点的坐标特点等知识，根据已知表示出B点坐标是解题关键．
13. 下列四个函数图象中，当时，随的增大而减小的是【 】
A. B.C. D.
【答案】B．
【考点】函数图象的分析．
【分析】由图象知，所给四个函数图象中，当时，随的增大而减小的是选项B. 故选B．
14.下列各点中，在函数y=﹣图象上的是（ ）
A． （﹣2，4） B． （2，4） C． （﹣2，﹣4） D． （8，1）
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是﹣8的，就在此函数图象上．
解答： 解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣8，
∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为﹣8的点在函数图象上，
四个选项中只有A选项符合．
故选A．
点评： 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
15．反比例函数y=﹣的图象上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（ ）
A． y1＜y2＜0 B． y1＜0＜y2 C． y1＞y2＞0 D． y1＞0＞y2
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 先根据反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0可判断出此函数图象在二、四象限，再根据x1＜0＜x2，可判断出A、B两点所在的象限，根据各象限内点的坐标特点即可判断出y1与y2的大小关系．
解答： 解：∵反比例函数y=﹣中k=﹣2＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵x1＜0＜x2，
∴A（x1，y1）在第二象限；点B（x2，y2）在第四象限，
∴y1＞0＞y2，
故选D．
点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及各象限内点的坐标特点，先根据k＜0判断出该函数图象所在象限是解答此题的关键．
16．如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A（﹣2，0），与x轴夹角为30°，将△ABO沿直线AB翻折，点O的对应点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，则k的值为（ ）
A． 4 B． ﹣2 C． D． ﹣
考点： 翻折变换（折叠问题）；待定系数法求反比例函数解析式．.
分析： 设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，由折叠的性质易得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，用锐角三角函数的定义得CD，CE，得点C的坐标，易得k．
解答： 解：设点C的坐标为（x，y），过点C作CD⊥x轴，作CE⊥y轴，
∵将△ABO沿直线AB翻折，
∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=2，∠ACB=AOB=90°，
∴CD=y=AC•sin60°=2×=，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠BCE=∠ACD=30°，
∵BC=BO=AO•tan30°=2×=，
CE=x=BC•cos30°==1，
∵点C恰好落在双曲线y=（k≠0）上，
∴k=x•y=﹣1×=﹣，
故选D．
点评： 本题主要考查了翻折的性质，锐角三角函数，反比例函数的解析式，理解翻折的性质，求点C的坐标是解答此题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，1），以点O为顶点作等腰直角三角形AOB，双曲线y1=在第一象限内的图象经过点B．设直线AB的解析式为y2=k2x+b，当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A． ﹣5＜x＜1 B． 0＜x＜1或x＜﹣5 C． ﹣6＜x＜1 D． 0＜x＜1或x＜﹣6
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： 由△AOB是等腰三角形，先求的点B的坐标，然后利用待定系数法可求得双曲线和直线的解析式，然后将将y1=与y2=联立，求得双曲线和直线的交点的横坐标，然后根据图象即可确定出x的取值范围．
解答： 解：如图所示
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴OA=OB，∠3+∠2=90°．
又∵∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠2．
∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴点B的坐标（1，3）．
将B（1，3）代入反比例函数的解析式得：3=，
∴k=3．
∴y1=
将A（﹣3，1），B（1，3）代入直线AB的解析式得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y2=
将y1=与y2=联立得；，
解得：，
当y1＞y2时，双曲线位于直线线的上方，
∴x的取值范围是：x＜﹣6或0＜x＜1．
故选：D．
点评： 本题主要考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求得双曲线和直线的交点的横坐标是解题的关键，同时本题还考查了函数与不等式的关系：从函数的角度看，y1＞y2就是双曲线y1=位于直线y2=上方部分所有点的横坐标的集合；从不等式的角度来看y1＞y2就是求不等式＞的解集．
18．已知反比例函数y=的图象经过点（3，2），那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（ ）
A． （3，﹣2） B． （﹣2，﹣3） C． （1，﹣6） D． （﹣6，1）
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．
专题： 计算题．
分析： 把已知点坐标代入反比例解析式求出k的值，即可做出判断．
解答： 解：把（2，3）代入反比例解析式得：k=6，
∴反比例解析式为y=，
则（﹣2，﹣3）在这个函数图象上，
故选D．
点评： 此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19．如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA的两边分别与函数y=﹣、y=的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为（ ）
A． 逐渐变小 B． 逐渐变大 C． 时大时小 D． 保持不变
考点： 相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： 如图，作辅助线；首先证明△BOM∽△OAN，得到；设B（﹣m，），A（n，），得到BM=，AN=，OM=m，ON=n，进而得到mn=，mn=，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知tan∠OAB=为定值，即可解决问题．
解答： 解：如图，分别过点A、B作AN⊥x轴、BM⊥x轴；
∵∠AOB=90°，
∴∠BOM+∠AON=∠AON+∠OAN=90°，
∴∠BOM=∠OAN，
∵∠BMO=∠ANO=90°，
∴△BOM∽△OAN，
∴；
设B（﹣m，），A（n，），
则BM=，AN=，OM=m，ON=n，
∴mn=，mn=；
∵∠AOB=90°，
∴tan∠OAB=①；
∵△BOM∽△OAN，
∴===②，
由①②知tan∠OAB=为定值，
∴∠OAB的大小不变，
故选D．
点评： 该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
20. 如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，=．∠AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C．当以CD为边的正方形的面积为时，k的值是（ ）
A． 2 B． 3 C． 5 D． 7
考点： 反比例函数综合题．.
分析： 设OA=3a，则OB=4a，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式，直线CD的解析式是y=x，OA的中垂线的解析式是x=，解方程组即可求得C和D的坐标，根据以CD为边的正方形的面积为，即CD2=，据此即可列方程求得a2的值，则k即可求解．
解答： 解：设OA=3a，则OB=4a，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
则根据题意得：，
解得：，
则直线AB的解析式是y=﹣x+4a，
直线CD是∠AOB的平分线，则OD的解析式是y=x．
根据题意得：，
解得：
则D的坐标是（，），
OA的中垂线的解析式是x=，则C的坐标是（，），则k=．
∵以CD为边的正方形的面积为，
∴2（﹣）2=，
则a2=，
∴k=×=7．
故选D．
点评： 本题考查了待定系数法求函数解析式，正确求得C和D的坐标是解决本题的关键．
21. 若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（ ）
A． ﹣12 B． 12 C． ﹣3 D． 3
A【解析】把（2，-6）代入y=得，-6=，所以k=-12.
点评：①由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式.②反比例函数图象上点的纵横坐标的积都等于k。
2. 如图，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（－3，4），顶 点C在x轴的负半轴上，函数y＝(x＜0)的图像经过顶点B，则k的值为
A．－12 B．－27 C．－32 D．－36
【思路分析】由点A的坐标，可得菱形的边长为5，可求得点B的坐标。代入反比例函数关系式可求得k
【答案】C
【点评】本题考查在菱形的性质及反比例函数的解析式
22．如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
考点： 反比例函数的应用；反比例函数的图象．.
分析： 根据储存室的体积=底面积×高即可列出反比例函数关系，从而判定正确的结论．
解答： 解：由储存室的体积公式知：104=Sd，
故储存室的底面积S（m2）与其深度d（m）之间的函数关系式为S=（d＞0）为反比例函数．
故选：A．
点评： 本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，解题的关键是根据自变量的取值范围确定双曲线的具体位置，难度不大．
23.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为(m,3)，反比例函数的图像与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是( )
A．6 B．－6 C．12 D．－12
二.填空题
1．已知点A（﹣1，y1），B（1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y=（k＞0）的图象上．则 y1 ＜ y3 ＜ y2 （填y1，y2，y3）．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析： 先根据反比例函数中k＞0判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
解答： 解：∵反比例函数y=（k＞0）中k＞0，
∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．
∵﹣1＜0，﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1）位于第三象限，
∴y1＜0，
∴B（1，y2）和C（2，y3）位于第一象限，
∴y2＞0，y3＞0，
∵1＜2，
∴y2＞y3，
∴y1＜y3＜y2．
故答案为：y1，y3，y2．
点评： 本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
2. 若点P（－1，2）在反比例函数的图像上，则 。
3. 已知一个正比例函数的图像与一个反比例函数的图像的一个交点坐标为（1,3），则另一个交点坐标是
1、
4.如图，在平面直角坐标系中，过点M（﹣3，2）分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y=的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为 10 ．
考点： 反比例函数系数k的几何意义．.
分析： 设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），根据反比例函数y=的图象过A，B两点，所以ab=4，cd=4，进而得到S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2，
S矩形MCDO=3×2=6，根据四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO，即可解答．
解答： 解：如图，
设点A的坐标为（a，b），点B的坐标为（c，d），
∵反比例函数y=的图象过A，B两点，
∴ab=4，cd=4，
∴S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2，
∵点M（﹣3，2），
∴S矩形MCDO=3×2=6，
∴四边形MAOB的面积=S△AOC+S△BOD+S矩形MCDO=2+2+6=10，
故答案为：10．
点评： 本题主要考查反比例函数的对称性和k的几何意义，根据条件得出S△AOC=|ab|=2，S△BOD=|cd|=2是解题的关键，注意k的几何意义的应用．
5、在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴，A点的坐标为（，）。如图，若曲线与此正方形的边有交点，则的取值范围是
▲
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析：根据题意得出C点的坐标（a﹣1，a﹣1），然后分别把A、C的坐标代入求得a的值，即可求得a的取值范围．
解答：解：∵A点的坐标为（a，a）．
根据题意C（a﹣1，a﹣1），
当A在双曲线时，则a﹣1=，
解得a=+1，
当C在双曲线时，则a=，
解得a=，
∴a的取值范围是≤a．
故答案为≤a．
点评：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点的坐标适合解析式是解题的关键．
6.如图，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点M（1，﹣1），过点M作MN⊥x轴，垂足为N，在x轴的正半轴上取一点P（t，0），过点P作直线OM的垂线l．若点N关于直线l的对称点在此反比例函数的图象上，则t= ．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-对称．.
分析： 根据反比例函数图象上点的坐标特征由点A坐标为（1，﹣1）得到k=﹣1，即反比例函数解析式为y=﹣，且ON=MN=1，则可判断△OMN为等腰直角三角形，知∠MON=45°，再利用PQ⊥OM可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PN=PN′，NN′⊥PQ，所以∠NPQ=∠N′PQ=45°，于是得到N′P⊥x轴，则点n′的坐标可表示为（t，﹣），于是利用Pn=Pn′得t﹣1=|﹣|=，然后解方程可得到满足条件的t的值．
解答： 解：如图，∵点A坐标为（1，﹣1），
∴k=﹣1×1=﹣1，
∴反比例函数解析式为y=﹣，
∵ON=MN=1，
∴△OMN为等腰直角三角形，
∴∠MON=45°，
∵直线l⊥OM，
∴∠OPQ=45°，
∵点N和点N′关于直线l对称，
∴PN=PN′，NN′⊥PQ，
∴∠N′PQ=∠OPQ=45°，∠N′PN=90°，
∴N′P⊥x轴，
∴点N′的坐标为（t，﹣），
∵PN=PN′，
∴t﹣1=|﹣|=，
整理得t2﹣t﹣1=0，解得t1=，t2=（不符合题意，舍去），
∴t的值为．
故答案为：．
点评： 本题考查了反比例函数的综合题，涉及知识点有反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质和用求根公式法解一元二次方程等．利用对称的性质得到关于t的方程是解题的关键．
7.如图，若双曲线y=（k＞0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为 ．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．.
分析： 过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，设OC=2x，则BD=x，分别表示出点C、点D的坐标，代入函数解析式求出k，继而可建立方程，解出x的值后即可得出k的值．
解答： 解：过点C作CE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，
设OC=2x，则BD=x，
在Rt△OCE中，∠COE=60°，
则OE=x，CE=x，
则点C坐标为（x，x），
在Rt△BDF中，BD=x，∠DBF=60°，
则BF=x，DF=x，
则点D的坐标为（3﹣x，x），
将点C的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x2，
将点D的坐标代入反比例函数解析式可得：k=x﹣x2，
则x2=x﹣x2，
解得：x1=，x2=0（舍去），
故k=x2=．
故答案为：．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题关键是利用k的值相同建立方程，有一定难度．
8．如图，以▱ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数y=的图象交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是 9
考点： 平行四边形的性质；反比例函数系数k的几何意义．
分析： 先求出反比例函数和直线BC的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点D的坐标，得出D为BC的中点，△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，即可求出四边形AOCD的面积．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），
∴点B的坐标为：（5，4），
把点A（2，4）代入反比例函数y=得：k=8，
∴反比例函数的解析式为：y=；
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把点B（5，4），C（3，0）代入得：，
解得：k=2，b=﹣6，∴直线BC的解析式为：y=2x﹣6，
解方程组 得：
，或 （不合题意，舍去），
∴点D的坐标为：（4，2），
即D为BC的中点，
∴△ABD的面积=平行四边形ABCD的面积，
∴四边形AOCD的面积=平行四边形ABCO的面积﹣△ABD的面积=3×4﹣×3×4=9；
故答案为：9
点评： 本题考查了平行四边形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式、平行四边形和三角形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
9．如图，函数y=﹣x的图象是二、四象限的角平分线，将y=﹣x的图象以点O为中心旋转90°与函数y=的图象交于点A，再将y=﹣x的图象向右平移至点A，与x轴交于点B，则点B的坐标为 （2，0） ．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与几何变换．.
分析： 根据旋转，可得AO的解析式，根据解方程组，可得A点坐标，根据平移，可得AB的解析式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．
解答： 解：AO的解析式为y=x，
联立AO与y=，得
，
解得．
A点坐标为（1，1）
AB的解析式为y=﹣x+2，
当y=0时，﹣x+2=0．
解得x=2
B（2，0）．
故答案为：（2，0）．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了直线的旋转，直线的平移，自变量与函数值得对应关系．
10.反比例函数y=的图象有一支位于第一象限，则常数a的取值范围是 a ．
考点： 反比例函数的性质．.
分析： 根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小可得2a﹣1＞0，再解不等式即可．
解答： 解：∵反比例函数y=的图象有一支位于第一象限，
∴2a﹣1＞0，
解得：a＞．
故答案为：a．
点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
11．如图，等边三角形AOB的顶点A的坐标为（﹣4，0），顶点B在反比例函数y= （x＜0）的图象上，则k= ﹣4 ．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．
分析： 过点B作BD⊥x轴于点D，因为△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0）所∠AOB=60°，根据锐角三角函数的定义求出BD及OD的长，可得出B点坐标，进而得出反比例函数的解析式；
解答： 解：过点B作BD⊥x轴于点D，
∵△AOB是等边三角形，点A的坐标为（﹣4，0），
∴∠AOB=60°，OB=OA=AB=4，
∴OD= OB=2，BD=OB•sin60°=4× =2 ，
∴B（﹣2，2 ），
∴k=﹣2×2 =﹣4 ；
故答案为﹣4 ．
点评： 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点、等边三角形的性质、解直角三角函数等知识，难度适中．
12．把一个长、宽、高分别为3cm，2cm，1cm的长方体铜块铸成一个圆柱体铜块，则该圆柱体铜块的底面积s（cm2）与高h（cm）之间的函数关系式为 s= ．
考点： 根据实际问题列反比例函数关系式．菁优网
分析： 利用长方体的体积=圆柱体的体积，进而得出等式求出即可．
解答： 解：由题意可得：sh=3×2×1，
则s=．
故答案为：s=．
点评： 此题主要考查了根据实际问题列反比例函数解析式，得出长方体体积是解题关键．
13.如图，矩形OABC的顶点A，C的
坐标分别是(4，0)(0，2)，反比例函数的图像过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则⊿ODE的面积为_____________。
考点： 反比例函数、矩形的数形结合
分析： 由矩形的性质求出点P的坐标，然后代入反比例函数的解析式中就可以求出k的值，再利用坐标之间的关系求出CE及BE的长度，即可进一步求出面积。
解答： 因为C（0,2）A（4,0）由矩形的性质可得P（2,1），把P点坐标代入反比例函数解析式可得k=2,所以反比例函数解析式为D点的横坐标为4，所以纵坐标为AD=点E的纵坐标为2，所以CE=1，则BE=3，所以
=8-1--1=
点评： 本题堪称数形结合的典范，既运用到矩形的性质，又综合应用了反比例函数的知识，在求坐标的过程中计算面积，以数求形，以形点数。
14. 点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在反比例函数y=（k＞0）的图象上，若y1＜y2，则a的范围是 ﹣1＜a＜1 ．
考点： 反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析： 根据反比例函数的性质分两种情况进行讨论，①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上时，②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上时．
解答： 解：∵k＞0，
∴在图象的每一支上，y随x的增大而减小，
①当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的同一支上，
∵y1＜y2，
∴a﹣1＞a+1，
解得：无解；
②当点（a﹣1，y1）、（a+1，y2）在图象的两支上，
∵y1＜y2，
∴a﹣1＜0，a+1＞0，
解得：﹣1＜a＜1，
故答案为：﹣1＜a＜1．
点评： 此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握当k＞0时，在图象的每一支上，y随x的增大而减小．
三.解答题
1．如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，从而确定反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出a，b的值，从而确定一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象即可得出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A（1，4），
∴4=，即m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=．
∵反比例函数y=的图象过点B（n，﹣2），
∴﹣2=，
解得：n=﹣2
∴B（﹣2，﹣2）．
∵一次函数y=ax+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），
∴，
解得 ．
∴一次函数的解析式为：y=2x+2；
（2）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图象比较函数值的大小．解题的关键是：确定交点的坐标．
2．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．
（1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．
（2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？
考点： 反比例函数的应用；一次函数的应用．
分析： （1）分别利用正比例函数以及反比例函数解析式求法得出即可；
（2）利用y=4分别得出x的值，进而得出答案．
解答： 解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，
将（4，8）代入得：8=4k，
解得：k=2，
故直线解析式为：y=2x，
当4≤x≤10时，设直反比例函数解析式为：y=，
将（4，8）代入得：8=，
解得：a=32，
故反比例函数解析式为：y=；
（2）当y=4，则4=2x，解得：x=2，
当y=4，则4=，解得：x=8，
∵8﹣2=6（小时），
∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时．
点评： 此题主要考查了反比例函数的应用，根据题意得出函数解析式是解题关键．
3．如图，已知反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m）．
（1）求k1、k2、b的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是比例函数y=图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限，并简要说明理由．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题
分析： （1）先把A点坐标代入y=可求得k1=8，则可得到反比例函数解析式，再把B（﹣4，m）代入反比例函数求得m，得到B点坐标，然后利用待定系数法确定一次函数解析式即可求得结果；
（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为（0，6），可求S△AOB=×6×2+×6×1=9；
（3）根据反比例函数的性质即可得到结果．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=与一次函数y=k2x+b的图象交于点A（1，8）、B（﹣4，m），
∴k1=8，B（﹣4，﹣2），
解，解得；
（2）由（1）知一次函数y=k2x+b的图象与y轴的交点坐标为C（0，6），
∴S△AOB=S△COB+S△AOC=×6×4+×6×1=15；
（3）∵比例函数y=的图象位于一、三象限，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2，y1＜y2，
∴M，N在不同的象限，
∴M（x1，y1）在第三象限，N（x2，y2）在第一象限
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
4.如图，直线y=mx+n与双曲线y=相交于A（﹣1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C．
（1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）由题意，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m与n的值；
（2）得出点C和点D的坐标，根据三角形面积公式计算即可．
解答： 解：（1）把x=﹣1，y=2；x=2，y=b代入y=，
解得：k=﹣2，b=﹣1；
把x=﹣1，y=2；x=2，y=﹣1代入y=mx+n，
解得：m=﹣1，n=1；
（2）直线y=﹣x+1与y轴交点C的坐标为（0，1），所以点D的坐标为（0，﹣1），
点B的坐标为（2，﹣1），所以△ABD的面积=
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了反比例函数图象的性质．
5. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（8，1），B（0，﹣3），反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A，动直线x=t（0＜t＜8）与反比例函数的图象交于点M，与直线AB交于点N．
（1）求k的值；
（2）求△BMN面积的最大值；
（3）若MA⊥AB，求t的值．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）把点A坐标代入y=（x＞0），即可求出k的值；
（2）先求出直线AB的解析式，设M（t，），N（t，t﹣3），则MN=﹣t+3，由三角形的面积公式得出△BMN的面积是t的二次函数，即可得出面积的最大值；
（3）求出直线AM的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组求出M的坐标，即可得出结果．
解答： 解：（1）把点A（8，1）代入反比例函数y=（x＞0）得：
k=1×8=8，y=，
∴k=8；
（2）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
根据题意得：，
解得：k=，b=﹣3，
∴直线AB的解析式为：y=x﹣3；
设M（t，），N（t，t﹣3），
则MN=﹣t+3，
∴△BMN的面积S=（﹣t+3）t=﹣t2+t+4=﹣（t﹣3）2+，
∴△BMN的面积S是t的二次函数，
∵﹣＜0，
∴S有最大值，
当t=3时，△BMN的面积的最大值为
（3）∵MA⊥AB，
∴设直线MA的解析式为：y=﹣2x+c，
把点A（8，1）代入得：c=17，
∴直线AM的解析式为：y=﹣2x+17，
解方程组 得： 或 （舍去），
∴M的坐标为（，16），
∴t=．
点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式、二次函数的最值问题、垂线的性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要确定一次函数的解析式，由反比例函数解析式和直线AM的解析式组成方程组，解方程组才能得出结果．
6. 知识迁移
我们知道，函数y=a（x﹣m）2+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y=ax2的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y=+n（k≠0，m＞0，n＞0）的图象是由反比例函数y=的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）．
理解应用
函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1） ．
灵活应用
如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y=的图象画出函数y=﹣2的图象，并根据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？
实际应用
某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1=；若在x=t（t≥4）时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2=，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？
考点： 反比例函数综合题．
分析： 理解应用：根据“知识迁移”得到双曲线的图象平移变换的规律：上加下减．由此得到答案：
灵活应用：根据平移规律作出图象；
实际应用：先求出第一次复习的“最佳时机点”（4，1），然后带入y2，求出解析式，然后再求出第二次复习的“最佳时机点”．
解答： 解：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为 （1，1）．
故答案是：1，1，（1，1）
灵活应用：将y=的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数y=﹣2的图象，其对称中心是（2，﹣2）．图象如图所示：
由y=﹣1，得﹣2=﹣1，
解得x=﹣2．
由图可知，当﹣2≤x＜2时，y≥﹣1
实际应用：
解：当x=t时，y1=，
则由y1==，解得：t=4，
即当t=4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，
∴点（4，1）在函数y2=的图象上，
则1=，解得：a=﹣4，
∴y2=，
当y2==，解得：x=12
即当x=12时，是他第二次复习的“最佳时机点”
点评： 本题主要考查了图象的平移，反比例函数图象的画法和性质，及待定系数法求解析式以及反比例函数的实际应用问题，熟悉反比例函数的图象和性质是解决问题的关键．
7．如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y= （x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D．
（1）求m的值和直线AB的函数关系式
（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到D时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；
②如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，是否存在某时刻t，使得点Q′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求Q′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．
考点： 反比例函数综合题．
分析： （1）由于点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y= 的图象上，根据反比例函数的意义求出m，n，再由待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面积公式可求出解析式；
②通过三角形相似，用t的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t值．
解答： 解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y= 的图象上，
∴m=8×1=8，
∴y= ，
∴8= ，即n=1，
设AB的解析式为y=kx+b，
解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=的图象上，
∴m=8×1=8，
∴y=，
∴8=，即n=1，
设AB的解析式为y=kx+b，
把（8，1）、B（1，8）代入上式得：
，
解得：．
∴直线AB的解析式为y=﹣x+9；
（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，
当P在OD上运动时，
S===t2（0＜t≤4），
当P在DB上运动时，
S==t×8=4t（4＜t≤4.5）；
②存在，
作PE⊥y轴，O′F⊥x轴于F，交PE于E，
则∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t，
由题意知：∠PO′Q=∠POQ=90°﹣∠PO′E，
∠EPO′=90′﹣∠PO′E
∴△PEO′∽△O′FQ，
∴==，
设QF=b，O′F=a，
则PE=OF=t+b，OE=2t﹣a，
∴，
解得：a=，b=，
∴O′（t，t），
当Q′在反比例函数的图象上时，
，
解得：t=±，
∵反比例函数的图形在第一象限，
∴t＞0，
∴t=．
当t=个长度单位时，Q′恰好落在反比例函数的图象上．
本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键．
8．如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于A（m，6），B（3，n）两点．
（1）求一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使kx+b＜成立的x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）先把A、B点坐标代入y=求出m、n的值；然后将其分别代入一次函数解析式，列出关于系数k、b的方程组，通过解方程组求得它们的值即可；
（2）根据图象可以直接写出答案；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．S△AOB=S△AOD﹣S△BOD，由三角形的面积公式可以直接求得结果．
解答： 解：（1）∵点A（m，6），B（3，n）两点在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
∴m=1，n=2，
即A（1，6），B（3，2）．
又∵点A（m，6），B（3，n）两点在一次函数y=kx+b的图象上，
∴．
解得，
则该一次函数的解析式为：y=﹣2x+3；
（2）根据图象可知使kx+b＜成立的x的取值范围是0＜x＜1或x＞2；
（3）分别过点A、B作AE⊥x轴，BC⊥x轴，垂足分别是E、C点．直线AB交x轴于D点．
令﹣2x+8=0，得x=4，即D（4，0）．
∵A（1，6），B（3，2），
∴AE=6，BC=2，
∴S△AOB=S△AOD﹣S△BOD=×4×6﹣×4×2=8．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想．
9.如图，已知点A、P在反比例函数y=（k＜0）的图象上，点B、Q在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，AB⊥x轴，且S△OAB=4，若P、Q两点关于y轴对称，设点P的坐标为（m，n）．
（1）求点A的坐标和k的值；
（2）求的值．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）先由点B在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，将y=﹣1代入y=x﹣3，求出x=2，即B（2，﹣1）．由AB⊥x轴可设点A的坐标为（2，t），利用S△OAB=4列出方程（﹣1﹣t）×2=4，求出t=﹣5，得到点A的坐标为（2，﹣5）；将点A的坐标代入y=，即可求出k的值；
（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q（﹣m，n），由点P（m，n）在反比例函数y=﹣的图象上，点Q在直线y=x﹣3的图象上，得出mn=﹣10，m+n=﹣3，再将变形为，代入数据计算即可．
解答： 解：（1）∵点B在直线y=x﹣3的图象上，点B的纵坐标为﹣1，
∴当y=﹣1时，x﹣3=﹣1，解得x=2，
∴B（2，﹣1）．
设点A的坐标为（2，t），则t＜﹣1，AB=﹣1﹣t．
∵S△OAB=4，
∴（﹣1﹣t）×2=4，
解得t=﹣5，
∴点A的坐标为（2，﹣5）．
∵点A在反比例函数y=（k＜0）的图象上，
∴﹣5=，解得k=﹣10；
（2）∵P、Q两点关于y轴对称，点P的坐标为（m，n），
∴Q（﹣m，n），
∵点P在反比例函数y=﹣的图象上，点Q在直线y=x﹣3的图象上，
∴n=﹣，n=﹣m﹣3，
∴mn=﹣10，m+n=﹣3，
∴====﹣．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，关于y轴对称的点的坐标特征，代数式求值，求出点A的坐标是解决第（1）小题的关键，根据条件得到mn=﹣10，m+n=﹣3是解决第（2）小题的关键．
10.已知双曲线y=（x＞0），直线l1：y﹣=k（x﹣）（k＜0）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），直线l2：y=﹣x+．
（1）若k=﹣1，求△OAB的面积S；
（2）若AB=，求k的值；
（3）设N（0，2），P在双曲线上，M在直线l2上且PM∥x轴，求PM+PN最小值，并求PM+PN取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2）则A，B两点间的距离为AB=）
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）将l1与y=组成方程组，即可得到C点坐标，从而求出△OAB的面积；
（2）根据题意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），根据根与系数的关系得到2k2+5k+2=0，从而求出k的值；
（3）设P（x，），则M（﹣+，），根据PM=PF，求出点P的坐标．
解答： 解：（1）当k=1时，l1：y=﹣x+2，
联立得，，化简得x2﹣2x+1=0，
解得：x1=﹣1，x2=+1，
设直线l1与y轴交于点C，则C（0，2）．
S△OAB=S△AOC﹣S△BOC=•2•（x2﹣x1）=2；
（2）根据题意得： 整理得：kx2+（1﹣k）x﹣1=0（k＜0），
∵△=[（1﹣k）]2﹣4×k×（﹣1）=2（1+k2）＞0，
∴x1、x2 是方程的两根，
∴ ①，
∴AB==，
=，
=，
将①代入得，AB==（k＜0），
∴=，
整理得：2k2+5k+2=0，
解得：k=2，或 k=﹣；
（3）F（，），如图：
设P（x，），则M（﹣+，），
则PM=x+﹣==，
∵PF==，
∴PM=PF．
∴PM+PN=PF+PN≥NF=2，
当点P在NF上时等号成立，此时NF的方程为y=﹣x+2，
由（1）知P（﹣1，+1），
∴当P（﹣1，+1）时，PM+PN最小值是2．
点评： 本题考查了反比例函数综合题，涉及函数图象的交点与方程组的解的关系、三角形的面积、一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解法、两点间的距离公式的等知识，综合性较强．
11.如图，▱ABCD放置在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（6，0），D（0，3），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将▱ABCD向上平移，使点B恰好落在双曲线上，此时A，B，C，D的对应点分别为A′，B′，C′，D′，且C′D′与双曲线交于点E，求线段AA′的长及点E的坐标．
考点： 平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式．.
专题： 计算题．
分析： （1）由A与B的坐标求出AB的长，根据四边形ABCD为平行四边形，求出DC的长，进而确定出C坐标，设反比例解析式为y=，把C坐标代入求出k的值，即可确定出反比例解析式；
（2）根据平移的性质得到B与B′横坐标相同，代入反比例解析式求出B′纵坐标得到平移的距离，即为AA′的长，求出D′纵坐标，即为E纵坐标，代入反比例解析式求出E横坐标，即可确定出E坐标．
解答： 解：（1）∵▱ABCD中，A（2，0），B（6，0），D（0，3），
∴AB=CD=4，DC∥AB，
∴C（4，3），
设反比例解析式为y=，把C坐标代入得：k=12，
则反比例解析式为y=；
（2）∵B（6，0），
∴把x=6代入反比例解析式得：y=2，即B′（6，2），
∴平行四边形ABCD向上平移2个单位，即AA′=2，
∴D′（0，5），
把y=5代入反比例解析式得：x=，即E（，5）．
点评： 此题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
12．如图，反比例函数y=（k＜0）的图象与矩形ABCD的边相交于E、F两点，且BE=2AE，E（﹣1，2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接EF，求△BEF的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）将E（﹣1，2）代入y=，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）由矩形的性质及已知条件可得B（﹣3，2），再将x=﹣3代入y=﹣，求出y的值，得到CF=，那么BF=2﹣=，然后根据△BEF的面积=BE•BF，将数值代入计算即可．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=（k＜0）的图象过点E（﹣1，2），
∴k=﹣1×2=﹣2，
∴反比例函数的解析式为y=﹣；
（2）∵E（﹣1，2），
∴AE=1，OA=2，
∴BE=2AE=2，
∴AB=AE+BE=1+2=3，
∴B（﹣3，2）．
将x=﹣3代入y=﹣，得y=，
∴CF=，
∴BF=2﹣=，
∴△BEF的面积=BE•BF=×2×=．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，三角形的面积，正确求出BF的值是解决第（2）小题的关键．
13．如图1，已知直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线在x轴下方的部分沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（图中的“V形折线”）．
（1）类比研究函数图象的方法，请列举新函数的两条性质，并求新函数的解析式；
（2）如图2，双曲线y=与新函数的图象交于点C（1，a），点D是线段AC上一动点（不包括端点），过点D作x轴的平行线，与新函数图象交于另一点E，与双曲线交于点P．
①试求△PAD的面积的最大值；
②探索：在点D运动的过程中，四边形PAEC能否为平行四边形？若能，求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）根据一次函数的性质，结合函数图象可写出新函数的两条性质；求新函数的解析式，可分两种情况进行讨论：①x≥﹣3时，显然y=x+3；②当x＜﹣3时，利用待定系数法求解；
（2）①先把点C（1，a）代入y=x+3，求出C（1，4），再利用待定系数法求出反比例函数解析式为y=．由点D是线段AC上一动点（不包括端点），可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1，那么P（，m+3），PD=﹣m，再根据三角形的面积公式得出△PAD的面积为S=（﹣m）×（m+3）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，然后利用二次函数的性质即可求解；
②先利用中点坐标公式求出AC的中点D的坐标，再计算DP，DE的长度，如果DP=DE，那么根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形PAEC为平行四边形；如果DP≠DE，那么不是平行四边形．
解答： 解：（1）如图1，均是正整数新函数的两条性质：①函数的最小值为0；
②函数图象的对称轴为直线x=﹣3；
由题意得A点坐标为（﹣3，0）．分两种情况：
①x≥﹣3时，显然y=x+3；
②当x＜﹣3时，设其解析式为y=kx+b．
在直线y=x+3中，当x=﹣4时，y=﹣1，
则点（﹣4，﹣1）关于x轴的对称点为（﹣4，1）．
把（﹣4，1），（﹣3，0）代入y=kx+b，
得，解得，
∴y=﹣x﹣3．
综上所述，新函数的解析式为y=；
（2）如图2，①∵点C（1，a）在直线y=x+3上，
∴a=1+3=4．
∵点C（1，4）在双曲线y=上，
∴k=1×4=4，y=．
∵点D是线段AC上一动点（不包括端点），
∴可设点D的坐标为（m，m+3），且﹣3＜m＜1．
∵DP∥x轴，且点P在双曲线上，
∴P（，m+3），
∴PD=﹣m，
∴△PAD的面积为
S=（﹣m）×（m+3）=﹣m2﹣m+2=﹣（m+）2+，
∵a=﹣＜0，
∴当m=﹣时，S有最大值，为，
又∵﹣3＜﹣＜1，
∴△PAD的面积的最大值为；
②在点D运动的过程中，四边形PAEC不能为平行四边形．理由如下：
当点D为AC的中点时，其坐标为（﹣1，2），此时P点的坐标为（2，2），E点的坐标为（﹣5，2），
∵DP=3，DE=4，
∴EP与AC不能互相平分，
∴四边形PAEC不能为平行四边形．
点评： 本题是反比例函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，反比例函数、一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，二次函数最值的求法，平行四边形的判定等知识，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．
14．定义运算max{a，b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b}=b．如max{﹣3，2}=2．
（1）max{，3}= 3 ；
（2）已知y1=和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{，k2x+b}=，结合图象，直接写出x的取值范围；
（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
专题： 新定义．
分析： （1）根据3＞和已知求出即可；
（2）根据题意得出≥k2x+b，结合图象求出即可；
（3）分为两种情况：当2x+1≥x﹣2时，当2x+1＜x﹣2时，结合已知求出即可．
解答： 解：（1）max{，3}=3．
故答案为：3；
（2）∵max{，k2x+b}=，
∴≥k2x+b，
∴从图象可知：x的取值范围为﹣3≤x＜0或x≥2；
（3）当2x+1≥x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=2x+1，
当2x+1＜x﹣2时，max{2x+1，x﹣2}=x﹣2．
点评： 本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，能读懂题意是解此题的关键．
15．如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．
（1）求m、n的值并写出该反比例函数的解析式．
（2）点E在线段CD上，S△ABE=10，求点E的坐标．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．
分析： （1）根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；
（2）设E（x，0），表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD面积﹣三角形ADE面积﹣三角形BCE面积，求出即可．
解答： 解：（1）由题意得：，
解得：，
∴A（1，6），B（6，1），
设反比例函数解析式为y=，
将A（1，6）代入得：k=6，
则反比例解析式为y=；
（2）设E（x，0），则DE=x﹣1，CE=6﹣x，
∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，
∴∠ADE=∠BCE=90°，
连接AE，BE，
则S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE
=（BC+AD）•DC﹣DE•AD﹣CE•BC
=×（1+6）×5﹣（x﹣1）×6﹣（6﹣x）×1
=﹣x
=10，
解得：x=3，
则E（3，0）．
点评： 此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
16．如图，已知反比例函数y=的图象经过点A（﹣3，﹣2）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B（1，m），C（3，n）在该函数的图象上，试比较m与n的大小．
考点： 待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征．.
分析： （1）根据待定系数法即可求得；
（2）根据反比例函数的性质先判定图象在一、三象限，y随x的增大而减小，根据1＜3＜0，可以确定B（1，m）、C（3，n）两个点在第一象限，从而判定m，n的大小关系．
解答： 解：（1）因为反比例函数y=的图象经过点A（﹣3，﹣2），
把x=﹣3，y=﹣2代入解析式可得：k=6，
所以解析式为：y=；
（2）∵k=6＞0，
∴图象在一、四三象限，y随x的增大而减小，
又∵1＜3＜0，
∴B（1，m）、C（3，n）两个点在第一象限，
∴m＜n．
点评： 本题考查了待定系数法求解析式，反比例函数的性质等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
17．如图，点M（﹣3，m）是一次函数y=x+1与反比例函数y=（k≠0）的图象的一个交点．
（1）求反比例函数表达式；
（2）点P是x轴正半轴上的一个动点，设OP=a（a≠2），过点P作垂直于x轴的直线，分别交一次函数，反比例函数的图象于点A，B，过OP的中点Q作x轴的垂线，交反比例函数的图象于点C，△ABC′与△ABC关于直线AB对称．
①当a=4时，求△ABC′的面积；
②当a的值为 3 时，△AMC与△AMC′的面积相等．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）由一次函数解析式可得点M的坐标为（﹣3，﹣2），然后把点M的坐标代入反比例函数解析式，求得k的值，可得反比例函数表达式；
（2）①连接CC′交AB于点D．由轴对称的性质，可知AB垂直平分OC′，当a=4时，利用函数解析式可分别求出点A、B、C、D的坐标，于是可得AB和CD的长度，即可求得△ABC的面积；
②由题意得点C的坐标为（，），则C′（，），点C、C′到直线y=x+1的距离分别为：、．根据△AMC与△AMC′的面积相等列出方程并解答．
解答： 解：（1）把M（﹣3，m）代入y=x+1，则m=﹣2．
将（﹣3，﹣2）代入y=，得k=6，则反比例函数解析式是：y=；
（2）①连接CC′交AB于点D．则AB垂直平分CC′．
当a=4时，A（4，5），B（4，1.5），则AB=3.5．
∵点Q为OP的中点，
∴Q（2，0），
∴C（2，3），则D（4，3），
∴CD=2，
∴S△ABC=AB•CD=×3.5×2=3.5，则S△ABC′=3.5；
②∵△AMC与△AMC′的面积相等，
∴=，
解得a=3．
故答案是：3．
点评： 本题综合考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征以及轴对称的性质．难度较大，解题时需要注意数形结合．
18.如图，一次函数y=﹣x+2的图象与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象的交点为A（﹣2，3）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）把点A的坐标代入反比例函数解析式，列出关于系数m的方程，通过解方程来求m的值；
（2）由一次函数解析式可以求得点B的坐标，然后根据三角形的面积公式来求点P的坐标．
解答： 解：（1）由题意得：A（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，则=3，
解得m=﹣6．
故该反比例函数的解析式为y=﹣；
（2）设点P的坐标是（a，b）．
∵一次函数y=﹣x+2的图象与x轴交于点B，
∴当y=0时，﹣x+2=0，
解得x=4．
∴点B的坐标是（4，0），即OB=4．
∴BC=6．
∵△PBC的面积等于18，
∴×BC×|b|=18，、
解得：|b|=6，
∴b1=6，b2=﹣6，
∴点P的坐标是（﹣1，6），（1，﹣6）．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题．利用函数图象上点的坐标特征求得相关点的坐标，然后由坐标与图形的性质得到相关线段的长度是解题的关键．
19.如图，已知一次函数y1=k1x+b的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，与反比例函数y2=的图象分别交于C、D两点，点D（2，﹣3），点B是线段AD的中点．
（1）求一次函数y1=k1x+b与反比例函数y2=的解析式；
（2）求△COD的面积；
（3）直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）把点D的坐标代入y2=利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作DE⊥x轴于E，根据题意求得A的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；
（2）联立方程求得C的坐标，然后根据S△COD=S△AOC+S△AOD即可求得△COD的面积；
（3）根据图象即可求得．
解答： 解：∵点D（2，﹣3）在反比例函数y2=的图象上，
∴k2=2×（﹣3）=﹣6，
∴y2=﹣；
作DE⊥x轴于E，
∵D（2，﹣3），点B是线段AD的中点，
∴A（﹣2，0），
∵A（﹣2，0），D（2，﹣3）在y1=k1x+b的图象上，
∴，
解得k1=﹣，b=﹣，、
∴y1=﹣x﹣；
（2）由，解得，，
∴C（﹣4，），
∴S△COD=S△AOC+S△AOD=×+×2×3=；
（3）当x＜﹣4或0＜x＜2时，y1＞y2
点评： 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，方程组的解以及三角形的面积等，求得A点的坐标是解题的关键．
20.如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式；
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．.
分析： （1）把A（1，4）代入y=即可求出结果；
（2）先把B（4，n）代入y=得到B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b求得一次函数的解析式为；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，求出直线AB′与x轴的交点即为P点的坐标．
解答： 解：（1）把A（1，4）代入y=得：m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=；
（2）把B（4，n）代入y=得：n=1，
∴B（4，1），
把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得，
∴，
∴一次函数的解析式为：y=﹣x+5；
（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，
则AB′的长度就是PA+PB的最小值，
由作图知，B′（4，﹣1），
∴直线AB′的解析式为：y=﹣x+，
当y=0时，x=，
∴P（，0）．
点评： 本题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，最小距离问题，这里体现了数形结合的思想，正确的理解距离和最小问题是解题的关键．
21．如图，已知点是一次函数图象与反比例函数图象的一个交点.
（1）求一次函数的解析式；
（2）在轴的右侧，当时，直接写出的取值班范围．
【答案】解：（1）∵点在反比例函数图象上，
∴，解得.∴.
∵点在一次函数图象图象上，
∴，解得.
∴一次函数的解析式为.
（2）在轴的右侧，当时， 的取值班范围为．
【考点】反比例函数和一次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系；数形结合思想的应用．
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，先由点在反比例函数图象上，求出点的坐标；再由点在一次函数图象图象上，求出，从而得到一次函数的解析式．
（2）在轴的右侧，当时，一次函数图象的图象在反比例函数的图象之上，由图象可知，此时．
22.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB，
（1）求证：四边形AEBD是菱形；
（2）如果OA=3，OC=2，求出经过点E的反比例函数解析式．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）先证明四边形AEBD是平行四边形，再由矩形的性质得出DA=DB，即可证出四边形AEBD是菱形；
（2）连接DE，交AB于F，由菱形的性质得出AB与DE互相垂直平分，求出EF、AF，得出点E的坐标；设经过点E的反比例函数解析式为：y=，把点E坐标代入求出k的值即可．
解答： （1）证明：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形，
∵四边形OABC是矩形，
∴DA=AC，DB=OB，AC=OB，AB=OC=2
∴DA=DB，
∴四边形AEBD是菱形；
（2）解：连接DE，交AB于F，如图所示：
∵四边形AEBD是菱形，
∴AB与DE互相垂直平分，
∵OA=3，OC=2，
∴EF=DF=OA=，AF=AB=1，3+=，
∴点E坐标为：（，1），
设经过点E的反比例函数解析式为：y=，
把点E（，1）代入得：k=，
∴经过点E的反比例函数解析式为：y=．
点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的性质、坐标与图形特征以及反比例函数解析式的求法；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要作辅助线求出点E的坐标才能得出结果．
23.一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（﹣1，4），B（2，n）两点，直线AB交x轴于点D．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）过点B作BC⊥y轴，垂足为C，连接AC交x轴于点E，求△AED的面积S．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）把A（﹣1，4）代入反比例函数y=可得m的值，即确定反比例函数的解析式；再把B（2，n）代入反比例函数的解析式得到n的值；然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）先由BC⊥y轴，垂足为C以及B点坐标确定C点坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，进一步求出点E的坐标，然后计算得出△AED的面积S．
解答： 解：（1）把A（﹣1，4）代入反比例函数y=得，m=﹣1×4=﹣4，
所以反比例函数的解析式为y=﹣；
把B（2，n）代入y=﹣得，2n=﹣4，
解得n=﹣2，
所以B点坐标为（2，﹣2），
把A（﹣1，4）和B（2，﹣2）代入一次函数y=kx+b得，
，
解得，
所以一次函数的解析式为y=﹣2x+2；
（2）∵BC⊥y轴，垂足为C，B（2，﹣2），
∴C点坐标为（0，﹣2）．
设直线AC的解析式为y=px+q，
∵A（﹣1，4），C（0，﹣2），
∴，
解，
∴直线AC的解析式为y=﹣6x﹣2，
当y=0时，﹣6x﹣2=0，解答x=﹣，
∴E点坐标为（﹣，0），
∵直线AB的解析式为y=﹣2x+2，
∴直线AB与x轴交点D的坐标为（1，0），
∴DE=1﹣（﹣）=，
∴△AED的面积S=××4=．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，三角形的面积，正确求出函数的解析式是解题的关键．
24.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y1=ax+b（a，b为常数，且a≠0）与反比例函数y2=（m为常数，且m≠0）的图象交于点A（﹣2，1）、B（1，n）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）连结OA、OB，求△AOB的面积；
（3）直接写出当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）将A坐标代入反比例函数解析式中求出m的值，即可确定出反比例函数解析式；将B坐标代入反比例解析式中求出n的值，确定出B坐标，将A与B坐标代入一次函数解析式中求出a与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）设直线AB与y轴交于点C，求得点C坐标，S△AOB=S△AOC+S△COB，计算即可；
（3）由图象直接可得自变量x的取值范围．
解答： 解：（1）∵A（﹣2，1），
∴将A坐标代入反比例函数解析式y2=中，得m=﹣2，
∴反比例函数解析式为y=﹣；
将B坐标代入y=﹣，得n=﹣2，
∴B坐标（1，﹣2），
将A与B坐标代入一次函数解析式中，得，
解得a=﹣1，b=﹣1，
∴一次函数解析式为y1=﹣x﹣1；
（2）设直线AB与y轴交于点C，
令x=0，得y=﹣1，
∴点C坐标（0，﹣1），
∵S△AOB=S△AOC+S△COB=×1×2+×2×1=2；
（3）由图象可得，当y1＜y2＜0时，自变量x的取值范围x＞1．
点评： 本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，三角形面积的求法，坐标与图形性质，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
25.如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标及△PAB的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题．.
分析： （1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数y=，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，求出直线AD的解析式，令y=0，即可得出点P坐标．
解答： 解：（1）把点A（1，a）代入一次函数y=﹣x+4，
得a=﹣1+4，
解得a=3，
∴A（1，3），
点A（1，3）代入反比例函数y=，
得k=3，
∴反比例函数的表达式y=，
两个函数解析式联立列方程组得，
解得x1=1，x2=3，
∴点B坐标（3，1）；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接AD，交x轴于点P，此时PA+PB的值最小，
∴D（3，﹣1），
设直线AD的解析式为y=mx+n，
把A，D两点代入得，，
解得m=﹣2，n=5，
∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5，
令y=0，得x=，
∴点P坐标（，0），
S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.5．
点评： 本题考查了一次函数和反比例函数相交的有关问题；通常先求得反比例函数解析式；较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和．
26．如图是函数y=与函数y=在第一象限内的图象，点P是y=的图象上一动点，PA⊥x轴于点A，交y=的图象于点C，PB⊥y轴于点B，交y=的图象于点D．
（1）求证：D是BP的中点；
（2）求四边形ODPC的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得P、D点坐标，根据线段中点的定义，可得答案；
（2）根据图象割补法，可得面积的和差，可得答案．
解答： （1）证明：∵点P在函数y=上，
∴设P点坐标为（，m）．
∵点D在函数y=上，BP∥x轴，
∴设点D坐标为（，m），
由题意，得
BD=，BP==2BD，
∴D是BP的中点．
（2）解：S四边形OAPB=•m=6，
设C点坐标为（x，），D点坐标为（，y），
S△OBD=•y•=，
S△OAC=•x•=，
S四边形OCPD=S四边形PBOA﹣S△OBD﹣S△OAC=6﹣﹣=3．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了函数图象上的点满足函数解析式，线段中点的定义，图形割补法是求图形面积的重要方法．
27、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，B、O在x轴负半轴上，AO=，tan∠AOB=，一次函数y=k1x+b的图象过A、B两点，反比例函数y=的图象过OA的中点D．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）平移一次函数y=k1x+b的图象，当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时，求b的取值范围．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）连接AC，交OB于E，由菱形的性质得出BE=OE=OB，OB⊥AC，由三角函数tan∠AOB==，得出OE=2AE，设AE=x，则OE=2x，根据勾股定理得出OA=x=，解方程求出AE=1，OE=2，得出OB=2OE=4，得出A、B的坐标，由待定系数法即可求出一次函数的解析式；再求出点D的坐标，代入反比例函数y=，求出k2的值即可；
（3）由题意得出方程组 无解，消去y化成一元二次方程，由判别式△＜0，即可求出b的取值范围．
解答： 解：（1）连接AC，交OB于E，如图所示：
∵四边形ABCO是菱形，
∴BE=OE=OB，OB⊥AC，
∴∠AEO=90°，
∴tan∠AOB==，
∴OE=2AE，
设AE=x，则OE=2x，
根据勾股定理得：OA=x=，
∴x=1，
∴AE=1，OE=2，
∴OB=2OE=4，
∴A（﹣2，1），B（﹣4，0），
把点A（﹣2，1），B（﹣4，0）代入一次函数y=k1x+b得：，
解得：k1=，b=2，
∴一次函数的解析式为：y=x+2；
∵D是OA的中点，A（﹣2，1），
∴D（﹣1，），
把点D（﹣1，）代入反比例函数y=得：k2=﹣，
∴反比例函数的解析式为：y=﹣；
（2）根据题意得：一次函数的解析式为：y=x+b，
∵一次函数y=x+b的图象与反比例函数y=﹣的图象无交点，
∴方程组 无解，
即x+b=﹣无解，
整理得：x2+2bx+1=0，
∴△=（2b）2﹣4×1×1＜0，b2＜1，
解得：﹣1＜b＜1，
∴当一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象无交点时，b的取值范围是﹣1＜b＜1．
点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了菱形的性质、坐标与图形性质、用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、勾股定理、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，需要通过作辅助线求出点的坐标和解方程组才能得出结果．
28、如图，直线与反比例函数的图象交于点A（1，），B是反比例函数图象上一点，直线OB与轴的夹角为，.
（1）求的值；
（2）求点B的坐标；
（3）设点P（，0），使△PAB的面积为2，求的值.
【答案】解：（1）∵直线与反比例函数的图象交于点A（1，），
∴，解得.
∴
（2）如答图1，过点B作BC⊥轴于点C，
∵点B在反比例函数的图象上，
∴可设点B的坐标为，即.
∵，即，∴，解得.
又∵，∴. ∴点B的坐标为.
（3）如答图2，设所在直线AB与轴交于点D，
∵A（1，2），B ，
∴.
∵P（，0），，且，
∴， 得.
【考点】反比例函数和一次函数综合题；曲线图上点的坐标与方程的关系；锐角三角函数定义；转换思想和方程思想的应用
【分析】（1）根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，由直线与反比例函数的图象交于点A（1，）列出方程组求解即可
（2）作辅助线：过点B作BC⊥轴于点C，构成直角三角形，根据锐角三角函数定义列式求解即可.
（3）设所在直线AB与轴交于点D，根据列方程求解即可.
~29. 平面直角坐标系中，点的横坐标的绝对值表示为，纵坐标的绝对值表示为，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：「」，即「」=+，（其中的“+”是四则运算中的加法）
（1）求点,的勾股值「」、「」
（2）点在反比例函数的图像上，且「」=4，求点的坐标；
（3）求满足条件「」=3的所有点围成的图形的面积
30．如图，已知一次函数y=x+b与反比例函数y=的图象交于A、B两点，其中点A的坐标为（2，3）．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）请根据图象直接写出不等式x+b＞的解集．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）把A的坐标代入一次函数与反比例函数的解析式即可求出解析式；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，求出方程组的解即可；
（3）根据A、B的坐标结合图象即可得出答案．
解答： 解：（1）把点A的坐标（2，3）代入一次函数的解析式中，可得：3=2+b，解得：b=1，
所以一次函数的解析式为：y=x+1；
把点A的坐标（2，3）代入反比例函数的解析式中，可得：k=6，
所以反比例函数的解析式为：y=；
（2）把一次函数与反比例函数的解析式联立得出方程组，
可得：，
解得：x1=2，x2=﹣3，
所以点B的坐标为（﹣3，﹣2）；
（3）∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），
∴使一次函数值大于反比例函数值的x的范围是：﹣3＜x＜0或x＞2．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的解析式，用待定系数法求出一次函数的解析式，函数的图形等知识点的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，用了数形结合思想．
二.
31．如图，已知点A（4，0），B（0，4），把一个直角三角尺DEF放在△OAB内，使其斜边FD在线段AB上，三角尺可沿着线段AB上下滑动．其中∠EFD=30°，ED=2，点G为边FD的中点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，当点D与点A重合时，求经过点G的反比例函数y=（k≠0）的解析式；
（3）在三角尺滑动的过程中，经过点G的反比例函数的图象能否同时经过点F？如果能，求出此时反比例函数的解析式；如果不能，说明理由．
考点： 反比例函数综合题．.
分析： （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，把点A、B的坐标代入，组成方程组，解方程组求出k、b的值即可；
（2）由Rt△DEF中，求出EF、DF，在求出点D坐标，得出点F、G坐标，把点G坐标代入反比例函数求出k即可；
（3）设F（t，﹣t+4），得出D、G坐标，设过点G和F的反比例函数解析式为y=，用待定系数法求出t、m，即可得出反比例函数解析式．
解答： 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵A（4，0），B（0，4），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=﹣x+4；
（2）∵在Rt△DEF中，∠EFD=30°，ED=2，
∴EF=2，DF=4，
∵点D与点A重合，
∴D（4，0），
∴F（2，2），
∴G（3，），
∵反比例函数y=经过点G，
∴k=3，
∴反比例函数的解析式为：y=；
（3）经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F；理由如下：
∵点F在直线AB上，
∴设F（t，﹣t+4），
又∵ED=2，
∴D（t+2，﹣t+2），
∵点G为边FD的中点．
∴G（t+1，﹣t+3），
若过点G的反比例函数的图象也经过点F，
设解析式为y=，
则，
整理得：（﹣t+3）（t+1）=（﹣t+4）t，
解得：t=，
∴m=，
∴经过点G的反比例函数的图象能同时经过点F，这个反比例函数解析式为：y=．
点评： 本题是反比例函数综合题目，考查了用待定系数法求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、坐标与图形特征、解直角三角形、解方程组等知识；本题难度较大，综合性强，用待定系数法确定一次函数和反比例函数的解析式是解决问题的关键．
]
32．已知反比例函数y=（m为常数，且m≠5）．
（1）若在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）若其图象与一次函数y=﹣x+1图象的一个交点的纵坐标是3，求m的值．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．.
分析： （1）由反比例函数y=的性质：当k＜0时，在其图象的每个分支上，y随x的增大而增大，进而可得：m﹣5＜0，从而求出m的取值范围；
（2）先将交点的纵坐标y=3代入一次函数y=﹣x+1中求出交点的横坐标，然后将交点的坐标代入反比例函数y=中，即可求出m的值．
解答： 解：（1）∵在反比例函数y=图象的每个分支上，y随x的增大而增大，
∴m﹣5＜0，
解得：m＜5；
（2）将y=3代入y=﹣x+1中，得：x=﹣2，
∴反比例函数y=图象与一次函数y=﹣x+1图象的交点坐标为：（﹣2，3）．
将（﹣2，3）代入y=得：
3=
解得：m=﹣1．
点评： 本题主要考查函数图象的交点及待定系数法求函数解析式，掌握图象的交点的坐标满足两个函数解析式是解题的关键．
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