专项训练4 切线的判定和性质的四种应用类型

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方法指导：圆的切线的判定和性质的应用较广泛，一般先利用圆的切线的判定方法判定切线，再利用切线的性质进行线段和角的计算或论证，在计算或论证中常通过作辅助线解决有关问题．
应用于求线段的长
1．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC，AC分别交于D，E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若AE＝4，cs A＝eq \f(2,5)，求DF的长．
(第1题)
应用于求三角函数值
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，∠ADC的平分线交AE于点O，以点O为圆心，OA为半径的圆经过点B，交BC于另一点F.
(1)求证：CD与⊙O相切；
(2)若BF＝24，OE＝5，求tan∠ABC的值．
(第2题)
应用于求圆的半径
3．如图，已知AB为⊙O的直径，AD，BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD，BA，CD的延长线相交于点E.
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半径．
(第3题)
应用于求图形的面积
4．如图，AB为⊙O的直径，D为eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，连接OD交弦AC于点F，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)连接CD，若OA＝AE＝4，求四边形ACDE的面积．
(第4题)
参考答案
1．(1)证明：如图，连接OD，作OG⊥AC于点G.
(第1题)
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B，
又∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，
∴∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝∠DFC＝90°，
∴DF是⊙O的切线．
(2)解：∵OG⊥AE，∴AG＝eq \f(1,2)AE＝2，
∵cs A＝eq \f(AG,OA)，
∴OA＝eq \f(AG,cs A)＝eq \f(2,\f(2,5))＝5.
∴OG＝eq \r(OA2－AG2)＝eq \r(21).
∵∠ODF＝∠DFG＝∠OGF＝90°，
∴四边形OGFD为矩形，
∴DF＝OG＝eq \r(21).
2．(1)证明：过点O作OG⊥DC，垂足为G，如图所示．
[第2(1)题]
∵AD∥BC，AE⊥BC于E，∴OA⊥AD.
∴∠OAD＝∠OGD＝90°.
在△ADO和△GDO中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠OAD＝∠OGD，,∠ADO＝∠GDO，,OD＝OD，))
∴△ADO≌△GDO.
∴OA＝OG.
∴CD与⊙O相切．
(2)解：如图，连接OF.
[第2(2)题]
∵OA⊥BC，
∴BE＝EF＝eq \f(1,2)BF＝12.
在Rt△OEF中，OE＝5，EF＝12，
∴OF＝eq \r(OE2＋EF2)＝13.
∴AE＝OA＋OE＝13＋5＝18.
∴tan∠ABC＝eq \f(AE,BE)＝eq \f(3,2).
3．(1)证明：如图，连接DO.
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.
(第3题)
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO.
∴∠COD＝∠COB.
在△COD和△COB中，
∵OD＝OB，∠COD＝∠COB，OC＝OC，
∴△COD≌△COB(SAS)．
∴∠CDO＝∠CBO.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠CBO＝90°.
∴∠CDO＝90°.
∴CD是⊙O的切线．
(2)解：设⊙O的半径为r，
则OD＝r，OE＝r＋1，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠EDO＝90°.
∴ED2＋OD2＝OE2.
∴32＋r2＝(r＋1)2.
解得r＝4.
∴⊙O的半径为4.
4．(1)证明：∵D为eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，
∴OD⊥AC.
∵AC∥DE，
∴OD⊥DE.
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：如图，
∵D为eq \(AC,\s\up8(︵))的中点，
∴AF＝CF，
∵AC∥DE，且OA＝AE，
(第4题)
∴F为OD的中点，即OF＝FD，
在△AFO和△CFD中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(AF＝CF，,∠AFO＝∠CFD，,OF＝DF，))
∴△AFO≌△CFD(SAS)．
∴S△AFO＝S△CFD.
∴S四边形ACDE＝S△ODE.
在Rt△ODE中，OD＝OA＝AE＝4，
∴OE＝8，
∴DE＝eq \r(OE2－OD2)＝4eq \r(3)，
∴S四边形ACDE＝S△ODE＝eq \f(1,2)×OD×DE＝eq \f(1,2)×4×4eq \r(3)＝8eq \r(3).