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2020年湖南省长沙市长郡中学大联考高考数学模拟试卷（文科）（一）_(带答案解析).docx
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这是一份2020年湖南省长沙市长郡中学大联考高考数学模拟试卷（文科）（一）_(带答案解析).docx，共18页。试卷主要包含了答题前填写好自己的姓名，请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
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2020年湖南省长沙市长郡中学大联考高考数学模拟试卷（文科）（一）
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：120分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、 选择题（共12题）
1. 已知集合M={x|x（x-2）＜0}，N={-2，-1，0，1，2}，则M∩N=（ ）
A.{0，1，2} B.{-2，-1} C.{1} D.{-2，-1，0，2}
2. 已知纯虚数z满足（1-2i）z=2+ai，其中i为虚数单位，则实数a等于（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
3. 已知向量a=(3,1)，b=(2k−1,k)，且(a+b)⊥a，则k的值是()
A.−1
B.37
C.−35
D.35
4. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC=4 csinA，已知△ABC的面积S=10，b=4，则a的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 函数f（x）=，在[-3，3]的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 执行如图的程序框图，则输出的S是（ ）
A.36 B.45 C.-36 D.-45
9. 若将函数f(x)=sin(ωx+π6)的图象向右平移2π3个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是()
A.32 B.3
C.92 D.6
10. 已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(b>a>0)上有一点P(5,m)(m>0)，点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为34，则双曲线的标准方程是()
A.x2−y24=1
B.x22−y23=1
C.x212−y292=1
D.x232−y272=1
11. 已知圆锥SO1的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8.母线SA=12，点B在SA上，且SB=2BA，则过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为()
A.27π B.32π C.45π D.81π
12. 已知函数f(x)=lnx,x>0−x2−ax,x⩽0，若方程f(x)−x−a=0有3个不同实数根，则实数a的取值范围是()
A.(0,1) B.(−2,−1) C.(−1,0) D.(−∞,−1)
评卷人
得分
二、 填空题（共4题）
13. 已知函数，若，则实数a=______．
14. 若sinα=2cosα，则sin22α−2cos22αsin(π−4α)=______．
15. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则1|PF1|+4|PF2|的最小值是______．
16. 阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262−190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有△ABC，AC=6，sinC=2sinA，则当△ABC的面积最大时，它的内切圆的半径为______．
评卷人
得分
三、 解答题（共6题）
17. 已知数列{an}中，a1=1，an>0，前n项和为Sn，若an=Sn+Sn−1(n∈N∗，且n⩾2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记cn=3−an2n+1，求数列{cn}的前n项和Tn．
18. 如图，在四棱锥M−ABCD中，AB⊥AD，AB=AM=AD=2，MB=MD=22．
(1)证明：平面ABM⊥平面ABCD；
(2)若CD//AB，2CD=AB，E为线段BM上一点，且BE=2EM，求三棱锥D−CEM的体积．
19. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A(a,2)，点P为抛物线C上的动点．
(1)若|PA|+|PF|的最小值为4，求实数a的值；
(2)设线段OP的中点为M，其中O为坐标原点，若∠MOA=∠MAO=∠AOF，求△OPA外接圆的方程．
20. 为推进中小学体育评价体系改革，某调研员从一中学4000名学生中按照男女学生比例采用分层抽样的方法，从中随机抽取了400名学生进行某项体育测试(满分100分)，记录他们的成绩，将记录的数据分成7组：(30,40]，(40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]，并整理得到如图频率分布直方图．
(Ⅰ)根据该频率分布直方图，估计样本数据的中位数及4000名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(精确到0.01)；
(Ⅱ)已知样本中有三分之二的男生分数高于60分，且分数高于60分的男女人数相等，试估计该校男生和女生人数的比例；
(Ⅲ)若测试成绩x<x−−2s(其中x−是成绩的平均值，s是标准差)，则认为该生测试成绩不达标，试估计该中学测试成绩不达标人数．
参考公式：s2=∑i=1n(xi−x−)2pi(pi是第i组的频率)，其中2≈1.4,117≈10.8．
21. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+2cosφy=2sinφ，(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
(1)写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点M的极坐标为(4,0)，射线θ=α(0<α<π4)分别交C1，C2于A，B两点(异于极点)，当∠AMB=π4时，求tanα．
22. 已知x，y，z均为正数．
（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若=，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】解：∵M={x|0＜x＜2}，N={-2，-1，0，1，2}，
∴M∩N={1}．
故选：C．
可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2. 【答案】D
【解析】解：由（1-2i）z=2+ai，得z=，
∵z为纯虚数，∴，即a=2．
故选：D．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求解a值．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3. 【答案】A
【解析】
本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．
利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
解：a+b=(2k+2,k+1)，
∵(a+b)⊥a，
∴(a+b)∙a=3(2k+2)+k+1=0，解得k=−1．
故选：A．
4. 【答案】D
【解析】解：抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数
考虑第一次抽到的数为4，则有3种情况满足题意；
第一次抽到的数为3，则有2种情况满足题意；
第一次抽到的数为2，则有1种情况满足题意；
满足题意的情况个数为：1+2+3=6；
全部情况个数：4×4=16种；
故概率为，
故选：D．
利用用分步计数原理可得全部情况个数16种；再根据古典概型可计算．
本题考查分步计数原理和古典概型，属于基础题．
5. 【答案】B
【解析】解：∵3acosC=4csinA，
∴由正弦定理可得3sinAcosC=4sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴3cosC=4sinC，即cosC=sinC，
∴sin2C+cos2C=sin2C+sin2C=sin2C=1，解得：sinC=，
∵b=4，△ABC的面积S=10=absinC=a×4×，
∴解得a=．
故选：B．
由正弦定理化简已知，结合sinA≠0，可求cosC=sinC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC=，进而利用三角形的面积公式即可解得a的值．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
6. 【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），F（0，2，1），
=（-2，0，2），=（-2，0，1），
设异面直线AE与BF所成角为θ，
则cosθ===．
∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．
故选：C．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
7. 【答案】C
【解析】解：根据题意，f（x）=，x∈[-3，3]，
有f（-x）=-=-f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B、
当x=1时，f（1）=＞=e-＞2，排除，D，
当x=3时，f（3）=＞=（e3-）＞5，排除A，
故选：C．
先判断函数的奇偶性和对称性，利用估算法进行排除即可．
本题考查函数的图象分析，判断函数的奇偶性，以及利用估算法是解决本题的关键．有一定的难度．
8. 【答案】A
【解析】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=-12+22-32+…-72+82的值，
由于S=-12+22-32+…-72+82=（22-12）+（42-32）+（62-52）+（82-72）=3+7+11+15=36．
故选：A．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9. 【答案】A
【解析】解：把函数f(x)=sin(ωx+π6)的图象向右平移2π3个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称，
则平移了半个周期的奇数倍，于是有2π3=πω(2k+1)(k∈Z)，
即ω=3k+32(k∈Z)，故ω的最小正值是32，
故选：A．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，以及三角函数的图象的对称性，求得ω的最小正值．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
10. 【答案】C
【解析】解：据题意，双曲线的半焦距c=5，
可设一条平行线方程为y−m=−ba(x−5)，由y=baxy=m−ba(x−5)，解得xA=am+5b2b，
则|OA|=1+b2a2ma+5b2b，又点P到直线y=bax的距离d=|5b−am|a2+b2，
∴1+b2a2ma+5b2b∙|5b−ma|a2+b2=|5b2−m2a2|2ab=34，
又5a2−m2b2=1⇒5b2−a2m2=a2b2，∴ab=32，
又c=5，解得a=22，b=322，所以双曲线的标准方程是x212−y292=1，
故选：C．
设出平行渐近线的方程y−m=−ba(x−5)，由y=baxy=m−ba(x−5)，求出A，得到OA，利用点P到直线y=bax的距离d=|5b−am|a2+b2，结合四边形的面积转化求解a，b，得到双曲线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
11. 【答案】B
【解析】解：如图所示：
设球的球心为O，半径为R，则SO1=8，OA=R，AO1=SA2−SO12=45，
所以OA2=OO12+AO12，即R2=(R−8)2+(45)2，解得R=9，
取SA的中点N，则BN=2，
所以ON=R2−AN2=35，OB=ON2+BN2=7，
设点C为截面圆周上一点，
若截面面积最小，则OB⊥截面，此时截面圆半径为r=R2−OB2=42，
所以截面面积的最小值为πr2=32π．
故选：B．
如图，先在△SO1A中，将SO1求出来，然后设球心为O，再利用△AOO1列出关于外接圆半径的方程，求出外接圆半径；然后利用等腰直角△SOA求出ON，进而求出OB，最后根据过B点的截面与OB垂直时，截面圆的面积最小．求出截面圆的半径即可．
本题考查球的截面的性质，以及旋转体的外接球的性质问题，同时考查学生的运算能力和直观想象能力．属于中档题．
12. 【答案】D
【解析】解：当直线y=x+a与曲线y=lnx相切时，
设切点为(t,lnt)，则切线斜率k=(lnx)'|x=t=1t=1，
所以t=1，即1+a=0，解得a=−1．
又当x⩽0时，f(x)=x+a⇔(x+1)(x+a)=0．
所以(1)当a=−1时，lnx=x+a(x>0)有1个实数根，
此时(x+1)(x+a)=0(x⩽0)有1个实数根，不满足题意；
(2)当a<−1时，lnx=x+a(x>0)有2个实数根，
此时(x+1)(x+a)=0(x⩽0)有1个实数根，满足题意；
(3)当a>−1时，lnx=x+a(x>0)无实数根，
此时(x+1)(x+a)=0(x⩽0)最多有2个实数根，不满足题意．
综上，a<−1，
故选：D．
先根据直线y=x+a与曲线y=lnx相切求出a=−1，再分别讨论a=−1，a<−1，a>−1时直线y=x+a与曲线y=lnx的交点个数，以及利用定义法求当x⩽0，f(x)=x+a时根的个数，再求出实数a的取值范围．
本题主要考查函数零点的个数与两函数图象交点个数的关系，以及零点的定义，属于中档题．
二、 填空题
13. 【答案】log23
【解析】解：函数，若，
可得：，解得a=4-＞0舍去．
，解得a=log23＞0，成立．
故答案为：log23．
利用分段函数列出方程，转化求解即可．
本题考查分段函数的应用，对数的运算法则，考查计算能力．
14. 【答案】112
【解析】解：∵sinα=2cosα，
∴tanα=2，则tan2α=2tanα1−tan2α=−43．
∴sin22α−2cos22αsin(π−4α)=sin22α−2cos22αsin4α
=sin22α−2cos22α2sin2αcos2α=tan22α−22tan2α
=(−43)2−22×(−43)=112．
故答案为：112．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值，进而利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简，计算即可．
本题主要考查了二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15. 【答案】94
【解析】解：据题意ca=32，b=1，解得a=2，c=3，
于是|PF1|+|PF2|=2a=4，
所以1|PF1|+4PF2|=14(1|PF1|+4|PF2|)(|PF1|+|PF2|)
=14(5+|PF2||PF1|+4|PF1||PF2|)⩾14(5+24)=94，
当且仅当|PF2|=2|PF1|，即|PF2|=83，|PF1|=43时等号成立．
故答案为：94．
利用已知条件求出a，b，结合椭圆的定义，利用基本不等式转化求解表达式的最小值即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
16. 【答案】5−1
【解析】【试题解析】
解：∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得|AB||CB|=sinCsinA=2为非零常数，故点B的轨迹是圆．
以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，
则A(−3,0)，C(3,0)，设B(x,y)，
∵|AB|=2|CB|，∴(x+3)2+y2=2(x−3)2+y2，
即x2+y2−10x+9=0，整理得(x−5)2+y2=16，
因此，当△ABC面积最大时，AC边上的高为圆的半径4．
此时|BC|=22+42=25，|AB|=45，
设内切圆的半径为r，则12×6×4=12×(45+25+6)r，
解得r=45+1=5−1．
故答案为：5−1．
由已知定义可得B的轨迹为圆，以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，设B(x,y)，由|AB|=2|CB|列式求得B的轨迹，求出△ABC的面积最大时AB、BC的长度，再由等面积法求三角形ABC的内切圆半径．
本题是新定义题，考查圆有关的轨迹方程，考查运算求解能力，是中档题．
三、 解答题
17. 【答案】解：(1)数列{an}中，an=Sn−Sn−1(n∈N∗，且n⩾2)①
又an=Sn+Sn−1(n∈N∗，且n⩾2)②，
①÷②可得：Sn−Sn−1=1，
则数列{Sn}是以S1=1为首项，公差为1的等差数列，
则Sn=1+(n−1)=n，则Sn=n2，
当n⩾2时，an=Sn−Sn−1=2n−1，a1=1也符合该式，
则an=2n−1．
(2)由(1)的结论得，an=2n−1，
则cn=3−an2n+1=2−n2n；
则Tn=12+022+−123+…+2−n2n，
∴12Tn=122+023+−124+…+3−n2n+2−n2n+1，
两式相减，可得12Tn=12+−122+−123+…+−12n−2−n2n+1=12−(122+123+…+12n)−2−n2n+1=12−122−12n∙121−12−2−n2n+1=n2n+1，
∴Tn=n2n．
【解析】
(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，
(2)利用(1)的结论，进一步利用成功比错位性减法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
18. 【答案】(1)证明：∵在四棱锥M−ABCD中，AB⊥AD，AB=AM=AD=2，MB=MD=22．
∴AB2+AM2=BM2，AD2+AM2=DM2，
∴AB⊥AM，AD⊥AM，
∵AD∩AB=A，∴AM⊥平面ABCD，
又AM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面ABCD；
(2)解：连接BD，∵BE=2EM，∴S△DEM=13S△MDB，
于是VD−CEM=VC−DEM=13VC−DBM=13VM−BCD，
又∵CD//AB，AB⊥AD，∴CD⊥AD，
∴S△CDB=12×CD×AD=12×1×2=1，
∴VM−BCD=13S△BCD∙MA=13×1×2=23，
即VD−CEM=13VM−BCD=29．
【解析】
(1)由已知求解三角形证明AB⊥AM，AD⊥AM，再由直线与平面垂直的判定可得AM⊥平面ABCD，进一步得到平面ABM⊥平面ABCD；
(2)连接BD，由BE=2EM，得S△DEM=13S△MDB，可得VD−CEM=VC−DEM=13VC−DBM=13VM−BCD，求出三棱锥M−BCD的体积得答案．
本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
19. 【答案】解：(1)由题，F(1,0)，若线段AF与抛物线C没有公共点，即a>1时，
点P在抛物线准线x=−1上的射影为D，则D，P，A三点共线时，
|PA|+|PF|的最小值为|AD|=a−(−1)=4，此时a=3．
若线段AF与抛物线C有公共点，即a⩽1时，
则A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|的最小值为|AF|=(a−1)2+22=4，此时a=1−23，
综上，实数a的值为3或1−23．
(2)因为∠MOA=∠MAO=∠AOF，
所以MA//x轴且|MO|=|MA|=|MP|，
设M(t,2)，则P(2t,4)代入抛物线C的方程解得8t=16，t=2，
于是|MO|=|MA|=|MP|=22，
所以△OPA外接圆的方程为(x−2)2+(y−2)2=8．
【解析】
(1)若线段AF与抛物线C没有公共点，通过D，P，A三点共线，|PA|+|PF|的最小值求出a，若线段AF与抛物线C有公共点，通过A，P，F三点共线，利用|PA|+|PF|的最小值求解a即可．
(2)设M(t,2)，则P(2t,4)代入抛物线C的方程解P的坐标，然后转化求解△OPA外接圆的方程．
本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
20. 【答案】解：(Ⅰ)∵70+0.05−(0.005+0.01+0.01+0.02)0.03×10≈71.67，
∴估计样本数据的中位数是71.67，
∵(35×0.005+45×0.01+55×0.01+65×0.02+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=69，
∴估计4000名学生的平均成绩为69分．
(Ⅱ)∵400×(0.02×2+0.03+0.005)×10=300，300÷2=150，
∴分数高于60分的男生为150人，
∴样本中男生人数估计为150÷23=225，
∴样本中女生人数估计为400−225=175，
∴估计该校男生和女生人数比例为9：7．
(Ⅲ)∵(35−69)2×0.05+(45−69)2×0.1+(55−69)2×0.1+(65−69)2×0.2+(75−69)2×0.3+(85−69)2×0.2+(95−69)2×0.05=234，
且234=2×117=1.4×10.8=15.12，∴x<69−2×15.12，解得x<38.76，
∵4000×38.76−3010×0.005×10=175.2≈175，
∴估计该中学测试成绩不达标人数为175．
【解析】
(Ⅰ)根据该频率分布直方图，能估计样本数据的中位数及4000名学生的平均成绩．
(Ⅱ)求出分数高于60分的男生为150人，从而样本中男生人数估计为225，由此能估计该校男生和女生人数比例．
(Ⅲ)求出x<38.76，由此能求出估计该中学测试成绩不达标人数．
本题考查中位数、平均数、男、妇生人数比例、成绩不达标人数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21. 【答案】解：(1)∵曲线C1的参数方程x=2+2cosφy=2sinφ(φ为参数)，
∴曲线C1的普通方程为(x−2)2+y2=4，即x2+y2−4x=0．
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴ρ2−4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ
∴曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，化为直角坐标方程为x2+(y−2)2=4(或x2+y2−4y=0)．
(2)依题意设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ)，
∴由θ=αρ=4cosθ得ρ1=4cosα.由θ=αρ=4sinθ得ρ2=4sinα，
∵0<α<π4，
∴ρ1>ρ2．
∴|AB|=|OA|−|OB|=ρ1−ρ2=4cosα−4sinα．
∵OM是圆C1的直径，∴∠OAM=π2．
∴在Rt△OAM中，|AM|=4sinα，
∵在Rt△BAM中，∠AMB=π4，
∴|AB|=|AM|，
即4cosα−4sinα=4sinα，
∴4cosα=8sinα，即tanα=12．
【解析】
(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和普通方程之间进行转换．
(2)利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，极径，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
22. 【答案】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，
∴|x+z|⋅|y+z|=（x+z）（y+z）≥=，
当且仅当x=y=z时取等号．
又∵0＜xy＜1，∴，
∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）∵=，∴．
∵，，，
当且仅当x=y=z=1时取等号，
∴，
∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz=2xy+yz+xz≥8，
∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．
【解析】
（1）利用基本不等式可得|x+z|⋅|y+z|≥=，再根据0＜xy＜1时，即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）由=，得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．
绝密★启用前
2020年湖南省长沙市长郡中学大联考高考数学模拟试卷（文科）（一）
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：120分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2、请将答案正确填写在答题卡上
评卷人
得分
一、 选择题（共12题）
1. 已知集合M={x|x（x-2）＜0}，N={-2，-1，0，1，2}，则M∩N=（ ）
A.{0，1，2} B.{-2，-1} C.{1} D.{-2，-1，0，2}
2. 已知纯虚数z满足（1-2i）z=2+ai，其中i为虚数单位，则实数a等于（ ）
A.-1 B.1 C.-2 D.2
3. 已知向量a=(3,1)，b=(2k−1,k)，且(a+b)⊥a，则k的值是()
A.−1
B.37
C.−35
D.35
4. 从分别写有1，2，3，4的4张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acosC=4 csinA，已知△ABC的面积S=10，b=4，则a的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（ ）
A.
B.
C.
D.
7. 函数f（x）=，在[-3，3]的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.
8. 执行如图的程序框图，则输出的S是（ ）
A.36 B.45 C.-36 D.-45
9. 若将函数f(x)=sin(ωx+π6)的图象向右平移2π3个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是()
A.32 B.3
C.92 D.6
10. 已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1(b>a>0)上有一点P(5,m)(m>0)，点P在x轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A，B，若平行四边形PAOB的面积为34，则双曲线的标准方程是()
A.x2−y24=1
B.x22−y23=1
C.x212−y292=1
D.x232−y272=1
11. 已知圆锥SO1的顶点和底面圆周均在球O的球面上，且该圆锥的高为8.母线SA=12，点B在SA上，且SB=2BA，则过点B的平面被该球O截得的截面面积的最小值为()
A.27π B.32π C.45π D.81π
12. 已知函数f(x)=lnx,x>0−x2−ax,x⩽0，若方程f(x)−x−a=0有3个不同实数根，则实数a的取值范围是()
A.(0,1) B.(−2,−1) C.(−1,0) D.(−∞,−1)
评卷人
得分
二、 填空题（共4题）
13. 已知函数，若，则实数a=______．
14. 若sinα=2cosα，则sin22α−2cos22αsin(π−4α)=______．
15. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，短轴长为2，点P为椭圆上任意一点，则1|PF1|+4|PF2|的最小值是______．
16. 阿波罗尼斯(古希腊数学家，约公元前262−190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k>0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆现有△ABC，AC=6，sinC=2sinA，则当△ABC的面积最大时，它的内切圆的半径为______．
评卷人
得分
三、 解答题（共6题）
17. 已知数列{an}中，a1=1，an>0，前n项和为Sn，若an=Sn+Sn−1(n∈N∗，且n⩾2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记cn=3−an2n+1，求数列{cn}的前n项和Tn．
18. 如图，在四棱锥M−ABCD中，AB⊥AD，AB=AM=AD=2，MB=MD=22．
(1)证明：平面ABM⊥平面ABCD；
(2)若CD//AB，2CD=AB，E为线段BM上一点，且BE=2EM，求三棱锥D−CEM的体积．
19. 已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A(a,2)，点P为抛物线C上的动点．
(1)若|PA|+|PF|的最小值为4，求实数a的值；
(2)设线段OP的中点为M，其中O为坐标原点，若∠MOA=∠MAO=∠AOF，求△OPA外接圆的方程．
20. 为推进中小学体育评价体系改革，某调研员从一中学4000名学生中按照男女学生比例采用分层抽样的方法，从中随机抽取了400名学生进行某项体育测试(满分100分)，记录他们的成绩，将记录的数据分成7组：(30,40]，(40,50]，(50,60]，(60,70]，(70,80]，(80,90]，(90,100]，并整理得到如图频率分布直方图．
(Ⅰ)根据该频率分布直方图，估计样本数据的中位数及4000名学生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(精确到0.01)；
(Ⅱ)已知样本中有三分之二的男生分数高于60分，且分数高于60分的男女人数相等，试估计该校男生和女生人数的比例；
(Ⅲ)若测试成绩x<x−−2s(其中x−是成绩的平均值，s是标准差)，则认为该生测试成绩不达标，试估计该中学测试成绩不达标人数．
参考公式：s2=∑i=1n(xi−x−)2pi(pi是第i组的频率)，其中2≈1.4,117≈10.8．
21. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x=2+2cosφy=2sinφ，(φ为参数).以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ．
(1)写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点M的极坐标为(4,0)，射线θ=α(0<α<π4)分别交C1，C2于A，B两点(异于极点)，当∠AMB=π4时，求tanα．
22. 已知x，y，z均为正数．
（1）若xy＜1，证明：|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）若=，求2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】解：∵M={x|0＜x＜2}，N={-2，-1，0，1，2}，
∴M∩N={1}．
故选：C．
可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2. 【答案】D
【解析】解：由（1-2i）z=2+ai，得z=，
∵z为纯虚数，∴，即a=2．
故选：D．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0列式求解a值．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3. 【答案】A
【解析】
本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．
利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
解：a+b=(2k+2,k+1)，
∵(a+b)⊥a，
∴(a+b)∙a=3(2k+2)+k+1=0，解得k=−1．
故选：A．
4. 【答案】D
【解析】解：抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数
考虑第一次抽到的数为4，则有3种情况满足题意；
第一次抽到的数为3，则有2种情况满足题意；
第一次抽到的数为2，则有1种情况满足题意；
满足题意的情况个数为：1+2+3=6；
全部情况个数：4×4=16种；
故概率为，
故选：D．
利用用分步计数原理可得全部情况个数16种；再根据古典概型可计算．
本题考查分步计数原理和古典概型，属于基础题．
5. 【答案】B
【解析】解：∵3acosC=4csinA，
∴由正弦定理可得3sinAcosC=4sinCsinA，
∵sinA≠0，
∴3cosC=4sinC，即cosC=sinC，
∴sin2C+cos2C=sin2C+sin2C=sin2C=1，解得：sinC=，
∵b=4，△ABC的面积S=10=absinC=a×4×，
∴解得a=．
故选：B．
由正弦定理化简已知，结合sinA≠0，可求cosC=sinC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC=，进而利用三角形的面积公式即可解得a的值．
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
6. 【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED=2FC=2，
∴以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，
A（2，0，0），E（0，0，2），B（2，2，0），F（0，2，1），
=（-2，0，2），=（-2，0，1），
设异面直线AE与BF所成角为θ，
则cosθ===．
∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．
故选：C．
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DF为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．
本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
7. 【答案】C
【解析】解：根据题意，f（x）=，x∈[-3，3]，
有f（-x）=-=-f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B、
当x=1时，f（1）=＞=e-＞2，排除，D，
当x=3时，f（3）=＞=（e3-）＞5，排除A，
故选：C．
先判断函数的奇偶性和对称性，利用估算法进行排除即可．
本题考查函数的图象分析，判断函数的奇偶性，以及利用估算法是解决本题的关键．有一定的难度．
8. 【答案】A
【解析】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=-12+22-32+…-72+82的值，
由于S=-12+22-32+…-72+82=（22-12）+（42-32）+（62-52）+（82-72）=3+7+11+15=36．
故选：A．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
9. 【答案】A
【解析】解：把函数f(x)=sin(ωx+π6)的图象向右平移2π3个单位长度后与原函数的图象关于x轴对称，
则平移了半个周期的奇数倍，于是有2π3=πω(2k+1)(k∈Z)，
即ω=3k+32(k∈Z)，故ω的最小正值是32，
故选：A．
由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，以及三角函数的图象的对称性，求得ω的最小正值．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
10. 【答案】C
【解析】解：据题意，双曲线的半焦距c=5，
可设一条平行线方程为y−m=−ba(x−5)，由y=baxy=m−ba(x−5)，解得xA=am+5b2b，
则|OA|=1+b2a2ma+5b2b，又点P到直线y=bax的距离d=|5b−am|a2+b2，
∴1+b2a2ma+5b2b∙|5b−ma|a2+b2=|5b2−m2a2|2ab=34，
又5a2−m2b2=1⇒5b2−a2m2=a2b2，∴ab=32，
又c=5，解得a=22，b=322，所以双曲线的标准方程是x212−y292=1，
故选：C．
设出平行渐近线的方程y−m=−ba(x−5)，由y=baxy=m−ba(x−5)，求出A，得到OA，利用点P到直线y=bax的距离d=|5b−am|a2+b2，结合四边形的面积转化求解a，b，得到双曲线方程．
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
11. 【答案】B
【解析】解：如图所示：
设球的球心为O，半径为R，则SO1=8，OA=R，AO1=SA2−SO12=45，
所以OA2=OO12+AO12，即R2=(R−8)2+(45)2，解得R=9，
取SA的中点N，则BN=2，
所以ON=R2−AN2=35，OB=ON2+BN2=7，
设点C为截面圆周上一点，
若截面面积最小，则OB⊥截面，此时截面圆半径为r=R2−OB2=42，
所以截面面积的最小值为πr2=32π．
故选：B．
如图，先在△SO1A中，将SO1求出来，然后设球心为O，再利用△AOO1列出关于外接圆半径的方程，求出外接圆半径；然后利用等腰直角△SOA求出ON，进而求出OB，最后根据过B点的截面与OB垂直时，截面圆的面积最小．求出截面圆的半径即可．
本题考查球的截面的性质，以及旋转体的外接球的性质问题，同时考查学生的运算能力和直观想象能力．属于中档题．
12. 【答案】D
【解析】解：当直线y=x+a与曲线y=lnx相切时，
设切点为(t,lnt)，则切线斜率k=(lnx)'|x=t=1t=1，
所以t=1，即1+a=0，解得a=−1．
又当x⩽0时，f(x)=x+a⇔(x+1)(x+a)=0．
所以(1)当a=−1时，lnx=x+a(x>0)有1个实数根，
此时(x+1)(x+a)=0(x⩽0)有1个实数根，不满足题意；
(2)当a<−1时，lnx=x+a(x>0)有2个实数根，
此时(x+1)(x+a)=0(x⩽0)有1个实数根，满足题意；
(3)当a>−1时，lnx=x+a(x>0)无实数根，
此时(x+1)(x+a)=0(x⩽0)最多有2个实数根，不满足题意．
综上，a<−1，
故选：D．
先根据直线y=x+a与曲线y=lnx相切求出a=−1，再分别讨论a=−1，a<−1，a>−1时直线y=x+a与曲线y=lnx的交点个数，以及利用定义法求当x⩽0，f(x)=x+a时根的个数，再求出实数a的取值范围．
本题主要考查函数零点的个数与两函数图象交点个数的关系，以及零点的定义，属于中档题．
二、 填空题
13. 【答案】log23
【解析】解：函数，若，
可得：，解得a=4-＞0舍去．
，解得a=log23＞0，成立．
故答案为：log23．
利用分段函数列出方程，转化求解即可．
本题考查分段函数的应用，对数的运算法则，考查计算能力．
14. 【答案】112
【解析】解：∵sinα=2cosα，
∴tanα=2，则tan2α=2tanα1−tan2α=−43．
∴sin22α−2cos22αsin(π−4α)=sin22α−2cos22αsin4α
=sin22α−2cos22α2sin2αcos2α=tan22α−22tan2α
=(−43)2−22×(−43)=112．
故答案为：112．
由已知利用同角三角函数基本关系式可求tanα的值，利用二倍角的正切函数公式可求tan2α的值，进而利用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简，计算即可．
本题主要考查了二倍角公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
15. 【答案】94
【解析】解：据题意ca=32，b=1，解得a=2，c=3，
于是|PF1|+|PF2|=2a=4，
所以1|PF1|+4PF2|=14(1|PF1|+4|PF2|)(|PF1|+|PF2|)
=14(5+|PF2||PF1|+4|PF1||PF2|)⩾14(5+24)=94，
当且仅当|PF2|=2|PF1|，即|PF2|=83，|PF1|=43时等号成立．
故答案为：94．
利用已知条件求出a，b，结合椭圆的定义，利用基本不等式转化求解表达式的最小值即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
16. 【答案】5−1
【解析】【试题解析】
解：∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得|AB||CB|=sinCsinA=2为非零常数，故点B的轨迹是圆．
以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，
则A(−3,0)，C(3,0)，设B(x,y)，
∵|AB|=2|CB|，∴(x+3)2+y2=2(x−3)2+y2，
即x2+y2−10x+9=0，整理得(x−5)2+y2=16，
因此，当△ABC面积最大时，AC边上的高为圆的半径4．
此时|BC|=22+42=25，|AB|=45，
设内切圆的半径为r，则12×6×4=12×(45+25+6)r，
解得r=45+1=5−1．
故答案为：5−1．
由已知定义可得B的轨迹为圆，以线段AC中点为原点，AC所在直线为x轴建立直角坐标系，设B(x,y)，由|AB|=2|CB|列式求得B的轨迹，求出△ABC的面积最大时AB、BC的长度，再由等面积法求三角形ABC的内切圆半径．
本题是新定义题，考查圆有关的轨迹方程，考查运算求解能力，是中档题．
三、 解答题
17. 【答案】解：(1)数列{an}中，an=Sn−Sn−1(n∈N∗，且n⩾2)①
又an=Sn+Sn−1(n∈N∗，且n⩾2)②，
①÷②可得：Sn−Sn−1=1，
则数列{Sn}是以S1=1为首项，公差为1的等差数列，
则Sn=1+(n−1)=n，则Sn=n2，
当n⩾2时，an=Sn−Sn−1=2n−1，a1=1也符合该式，
则an=2n−1．
(2)由(1)的结论得，an=2n−1，
则cn=3−an2n+1=2−n2n；
则Tn=12+022+−123+…+2−n2n，
∴12Tn=122+023+−124+…+3−n2n+2−n2n+1，
两式相减，可得12Tn=12+−122+−123+…+−12n−2−n2n+1=12−(122+123+…+12n)−2−n2n+1=12−122−12n∙121−12−2−n2n+1=n2n+1，
∴Tn=n2n．
【解析】
(1)直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，
(2)利用(1)的结论，进一步利用成功比错位性减法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，乘公比错位相减法在数列中的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
18. 【答案】(1)证明：∵在四棱锥M−ABCD中，AB⊥AD，AB=AM=AD=2，MB=MD=22．
∴AB2+AM2=BM2，AD2+AM2=DM2，
∴AB⊥AM，AD⊥AM，
∵AD∩AB=A，∴AM⊥平面ABCD，
又AM⊂平面ABM，∴平面ABM⊥平面ABCD；
(2)解：连接BD，∵BE=2EM，∴S△DEM=13S△MDB，
于是VD−CEM=VC−DEM=13VC−DBM=13VM−BCD，
又∵CD//AB，AB⊥AD，∴CD⊥AD，
∴S△CDB=12×CD×AD=12×1×2=1，
∴VM−BCD=13S△BCD∙MA=13×1×2=23，
即VD−CEM=13VM−BCD=29．
【解析】
(1)由已知求解三角形证明AB⊥AM，AD⊥AM，再由直线与平面垂直的判定可得AM⊥平面ABCD，进一步得到平面ABM⊥平面ABCD；
(2)连接BD，由BE=2EM，得S△DEM=13S△MDB，可得VD−CEM=VC−DEM=13VC−DBM=13VM−BCD，求出三棱锥M−BCD的体积得答案．
本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．
19. 【答案】解：(1)由题，F(1,0)，若线段AF与抛物线C没有公共点，即a>1时，
点P在抛物线准线x=−1上的射影为D，则D，P，A三点共线时，
|PA|+|PF|的最小值为|AD|=a−(−1)=4，此时a=3．
若线段AF与抛物线C有公共点，即a⩽1时，
则A，P，F三点共线时，|PA|+|PF|的最小值为|AF|=(a−1)2+22=4，此时a=1−23，
综上，实数a的值为3或1−23．
(2)因为∠MOA=∠MAO=∠AOF，
所以MA//x轴且|MO|=|MA|=|MP|，
设M(t,2)，则P(2t,4)代入抛物线C的方程解得8t=16，t=2，
于是|MO|=|MA|=|MP|=22，
所以△OPA外接圆的方程为(x−2)2+(y−2)2=8．
【解析】
(1)若线段AF与抛物线C没有公共点，通过D，P，A三点共线，|PA|+|PF|的最小值求出a，若线段AF与抛物线C有公共点，通过A，P，F三点共线，利用|PA|+|PF|的最小值求解a即可．
(2)设M(t,2)，则P(2t,4)代入抛物线C的方程解P的坐标，然后转化求解△OPA外接圆的方程．
本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，是中档题．
20. 【答案】解：(Ⅰ)∵70+0.05−(0.005+0.01+0.01+0.02)0.03×10≈71.67，
∴估计样本数据的中位数是71.67，
∵(35×0.005+45×0.01+55×0.01+65×0.02+75×0.03+85×0.02+95×0.005)×10=69，
∴估计4000名学生的平均成绩为69分．
(Ⅱ)∵400×(0.02×2+0.03+0.005)×10=300，300÷2=150，
∴分数高于60分的男生为150人，
∴样本中男生人数估计为150÷23=225，
∴样本中女生人数估计为400−225=175，
∴估计该校男生和女生人数比例为9：7．
(Ⅲ)∵(35−69)2×0.05+(45−69)2×0.1+(55−69)2×0.1+(65−69)2×0.2+(75−69)2×0.3+(85−69)2×0.2+(95−69)2×0.05=234，
且234=2×117=1.4×10.8=15.12，∴x<69−2×15.12，解得x<38.76，
∵4000×38.76−3010×0.005×10=175.2≈175，
∴估计该中学测试成绩不达标人数为175．
【解析】
(Ⅰ)根据该频率分布直方图，能估计样本数据的中位数及4000名学生的平均成绩．
(Ⅱ)求出分数高于60分的男生为150人，从而样本中男生人数估计为225，由此能估计该校男生和女生人数比例．
(Ⅲ)求出x<38.76，由此能求出估计该中学测试成绩不达标人数．
本题考查中位数、平均数、男、妇生人数比例、成绩不达标人数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
21. 【答案】解：(1)∵曲线C1的参数方程x=2+2cosφy=2sinφ(φ为参数)，
∴曲线C1的普通方程为(x−2)2+y2=4，即x2+y2−4x=0．
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴ρ2−4ρcosθ=0，即ρ=4cosθ
∴曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，化为直角坐标方程为x2+(y−2)2=4(或x2+y2−4y=0)．
(2)依题意设A(ρ1,θ)，B(ρ2,θ)，
∴由θ=αρ=4cosθ得ρ1=4cosα.由θ=αρ=4sinθ得ρ2=4sinα，
∵0<α<π4，
∴ρ1>ρ2．
∴|AB|=|OA|−|OB|=ρ1−ρ2=4cosα−4sinα．
∵OM是圆C1的直径，∴∠OAM=π2．
∴在Rt△OAM中，|AM|=4sinα，
∵在Rt△BAM中，∠AMB=π4，
∴|AB|=|AM|，
即4cosα−4sinα=4sinα，
∴4cosα=8sinα，即tanα=12．
【解析】
(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和普通方程之间进行转换．
(2)利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和普通方程之间的转换，极径，三角函数关系式的变换，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．
22. 【答案】解：（1）证明：∵x，y，z均为正数，
∴|x+z|⋅|y+z|=（x+z）（y+z）≥=，
当且仅当x=y=z时取等号．
又∵0＜xy＜1，∴，
∴|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）∵=，∴．
∵，，，
当且仅当x=y=z=1时取等号，
∴，
∴xy+yz+xz≥3，∴2xy⋅2yz⋅2xz=2xy+yz+xz≥8，
∴2xy⋅2yz⋅2xz的最小值为8．
【解析】
（1）利用基本不等式可得|x+z|⋅|y+z|≥=，再根据0＜xy＜1时，即可证明|x+z|⋅|y+z|＞4xyz；
（2）由=，得，然后利用基本不等式即可得到xy+yz+xz≥3，从而求出2xy⋅2yz⋅2xz的最小值．
本题考查了利用综合法证明不等式和利用基本不等式求最值，考查了转化思想和运算能力，属中档题．
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