2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷数学理科试题Word版含答案

2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷

数学理科试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.设复数，在复平面内的对应点关于实轴对称，，则（  ）

A．    B．    C．    D．

2.设全集，函数

的定义域为，集合，则的子集个数为（  ）

A．7    B．3    C．8    D．9

3.函数（，）的图象中相邻对称轴的距离为，若角的终边经过点，则的值为（  ）

A．    B．    C．    D．

4.如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（  ）

A．，    B．，

C．，    D．，

5.设不等式组表示的平面区域为，不等式

表示的平面区域为，对于中的任意一点和中的任意一点，的最小值为（  ）

A．    B．    C．    D．

6.若函数的图象如图所示，则的范围为（  ）

A．    B．    C．    D．

7.某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（  ）

A．1    B．    C．    D．

8.设等差数列的前项和为，且满足，，对任意正整数，都有，则的值为（  ）

A．1006    B．1007    C．1008    D．1009

9.已知非零向量，，满足，，若对每个确定的，的最大值和最小值分别为，，则的值（  ）

A．随增大而增大    B．随增大而减小

C．是2    D．是4

10.已知如图所示的三棱锥的四个顶点均在球的球面上，和所在的平面互相垂直，，，

，则球的表面积为（  ）

A．    B．    C．    D．

11.已知双曲线：（，）的右顶点为，为坐标原点，以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点，，若，且，则双曲线的离心率为（  ）

A．    B．    C．    D．

12.已知为自然对数的底数，若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则实数的取值范围是（  ）

A．    B．    C．    D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.已知，展开式的常数项为15，

．

14.设，，关于，的不等式和无公共解，则的取值范围是．

15.正项数列的前项和为，且（），设，则数列的前2016项的和为．

16.已知是椭圆：的右焦点，是上一点，，当周长最小时，其面积为．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.如图，在中，已知点在边上，且，，，．

（1）求的长；

（2）求．

18.如图，在多面体中，四边形为梯形，，均为等边三角形，，．

（1）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；

（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．

19.2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成，，，，五组，并作出如图频率分布直方图：

（1）试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款，现从损失超过4000元的居民中随机抽取2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为户，求的分布列和数学期望；

（3）台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如图，根据图表格中所给数据，分别求，，，，，，的值，并说明是否有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

附：临界值表参考公式：

，．

20.已知抛物线的顶点在原点，其焦点（）到直线：的距离为，设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，，其中，为切点．

（1）求抛物线的方程；

（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；

（3）当点在直线上移动时，求的最小值．

21.已知函数，点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线垂直．

（1）求，的值；

（2）如果当时，都有，求的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，正方形的顶点都在上，且，，，依逆时针次序排列，点的极坐标为．

（1）求点，，，的直角坐标；

（2）设为上任意一点，求

的取值范围．

23.选修4-5：不等式选讲

设

，记的解集为．

（1）求集合；

（2）已知，比较与的大小．

2021届湖南省长沙市高三第一次模拟试卷

数学理科试题参考答案

一、选择题

1-5:      6-10:      11、12：

二、填空题

13.          14.          15.          16.4

三、解答题

17.解：（1）因为，则，

所以

，即．

在中，由余弦定理，可知

．

即

，解得，或．

因为，所以．

（2）在中，由正弦定理，可知

，

又由，可知，

所以

．

因为

，所以．

18.解：（1）当为线段的中点时，使得平面．

证法如下：

连接，，设，

∵四边形为矩形，

∴为的中点，

又∵为的中点，

∴为的中位线，

∴，

∵平面，平面，

∴平面，故为的中点时，使得平面．

（2）过作分别与，交于，，

因为为的中点，所以，分别为，的中点，

∵与均为等边三角形，且，

∴，连接，，则得，

∵，，，

∴，，

∴四边形为等腰梯形．

取的中点，连接，则，

又∵，，，

∴平面，

过点作于，则，

∴，．

分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，则由条件可得：，，，，，．

设是平面的法向量，

则即

所以可取，

由

，可得

，

∴直线与平面所成角的正弦值为．

19.解：（1）记每户居民的平均损失为元，

则

．

（2）由频率分布直方图，可得超过4000元的居民共有

户，损失超过8000元的居民共有

户，

因此的可能值为0,1,2，

，

，

，

的分布列为：

．

（3）解得，，，，，，，

，

所以有以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关．　

20.解：（1）依题意，设抛物线的方程为，由，结合，解得．

所以抛物线的方程为．

（2）抛物线的方程为，即，求导得，

设，（其中，），

则切线，的斜率分别为，，

所以切线的方程为，即，

即．

同理可得切线的方程为，

因为切线，均过点，所以，

，

所以，为方程的两组解，

所以直线的方程为．

（3）由抛物线定义可知，，

所以

，

联立方程

消去整理得

．

由一元二次方程根与系数的关系可得，，

所以

，

又点在直线上，所以，

所以

，

所以当时，取得最小值，且最小值为．

21.解：（1）

，

依题意，，解得．

（2）由（1）可知，代入得

，即，

因为当时，，时，，所以，

所以，即

，

令，设，则，

又．

①当，即时，

恒成立，

所以在上单调递增，所以

（i）当时，，又因为此时，，

所以

，即成立；

（ii）当时，，又因为此时，，

所以

，即成立．

因此当时，当时，都有成立，符合题意．

②当，即时，由

，得，，

因为，所以，，

当时，，所以在上递减，所以，

又因为此时，，所以

，即

与矛盾，所以不符合题意．

综上可知：的取值范围是．

22.解：（1）点，，，的极坐标为，，，，

点，，，的直角坐标为，，，.

（2）设，则（为参数），

．

23.解：（1）

由，得或或

解得，

故．

（2）由（1）知，

因为

，

当时，，所以；

当时，，所以；

当时，，所以．

综上所述：当时，；

当时，；

当时，．