2021年北京顺义区顺义区沙岭学校七年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京顺义区顺义区沙岭学校七年级下期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 有理数 9 的平方根是
A. ±3B. −3C. 3D. ±3

2. 下列实数中的无理数是
A. 1.414B. 0C. −13D. 2

3. 如图，已知直线 a∥b，∠1=100∘，则 ∠2 等于
A. 60∘B. 80∘C. 100∘D. 70∘

4. 若 m>n，则下列不等式中一定成立的是
A. m+2na2

5. 在大课间活动中，同学们积极参加体育锻炼．小丽在全校随机抽取一部分同学就“一分钟跳绳”进行测试，并以测试数据为样本绘制如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为六个小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，若“一分钟跳绳”次数不低于 130 次的成绩为优秀，全校共有 1200 名学生，根据图中提供的信息，下列说法不正确的是
A. 第四小组有 10 人
B. 第五小组对应圆心角的度数为 45∘
C. 本次抽样调查的样本容量为 50
D. 该校“一分钟跳绳”成绩优秀的人数约为 480 人

6. 三角形的三边长分别为 3，8，2a，则 a 的取值范围为
A. 1.5
7. 下列调查方式中，合适的是
A. 要了解约 90 万顶救灾帐篷的质量，采用普查的方式
B. 要了解外地游客对旅游景点“新疆民街”的满意程度，采用抽样调查的方式
C. 要保证“神舟七号”飞船成功发射，对主要零部件的检查采用抽样调查的方式
D. 要了解全疆初中学生的业余爱好，采用普查的方式

8. 小明家位于公园的正东 200 m 处，从小明家出发向北走 300 m 就到小华家，若选取小华家为原点，分别以正东，正北方向为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表 1 m 长，则公园的坐标是
A. −300,−200B. 200,300
C. −200,−300D. 300,200

9. 正 n 边形的每个内角都是 120∘，则 n 的值是
A. 3B. 4C. 6D. 8

10. 下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有 2 个五角星，第②个图形一共有 8 个五角星，第③个图形一共有 18 个五角星，⋯，则第⑥个图形中五角星的个数为 个．
A. 50B. 64C. 68D. 72

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 用不等式表示：a 与 2 的差大于 −1 ．

13. 把无理数 17，11，5，−3 表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．

14. 若 a−32+b+2=0，则 a+b= ．

15. 如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点 O，AB∥OC，DC 与 OB 交于点 E，则 ∠DEO 的度数为 ．

16. 在平面直角坐标系中，若 x 轴上的点 P 到 y 轴的距离为 3，则点 P 的坐标是 ．

17. 如图，△ABC 中，点 D 在 BC 上且 BD=2DC，点 E 是 AC 中点，已知 △CDE 面积为 1，那么 △ABC 的面积为 ．

18. 在数学课上，老师提出如下问题：如图 1，需要在 A，B 两地和公路 l 之间修地下管道，请你设计一种最节省材料的修建方案．
小军同学的作法如下：
①连接 AB；
②过点 A 作 AC⊥直线l 于点 C；
则折线段 B−A−C 为所求．
老师说：小军同学的方案是正确的．
请回答：该方案最节省材料的依据是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：3−8+∣3−2∣+−32−−3．

20. 解不等式组：3x
21. 完成下面的证明：
已知：如图，AB∥DE，求证：∠D+∠BCD−∠B=180∘，
证明：过点 C 作 CF∥AB．
∵ AB∥CF（已知），
∴ ∠B= （ ）．
∵ AB∥DE，CF∥AB（已知），
∴ CF∥DE（ ），
∴ ∠2+ =180∘（ ）．
∵ ∠2=∠BCD−∠1，
∴ ∠D+∠BCD−∠B=180∘（ ）．

22. 如图，直线 AB，CD 相交于点 O，OA 平分 ∠EOC，若 ∠EOC=70∘．
（1）求 ∠BOD 的度数；
（2）求 ∠BOC 的度数．

23. 阅读下列材料：2013 年，北京发布《 2013 年至 2017 年清洁空气行动计划》，北京的空气污染治理目标是力争到 2017 年全市 PM2.5 年均浓度比 2012 年下降 25% 以上，控制在 60 微克/立方米左右．
根据某空气监测单位发布数据，2013 年北京 PM2.5 年均浓度 89.5 微克/立方米，清洁空气问题引起了所有人的高度关注．2014 年北京 PM2.5 年均浓度 85.9 微克/立方米，比 2013 年下降 3.6 微克/立方米．2015 年北京 PM2.5 年均浓度 80.6 微克/立方米，比上一年又下降了 5.3 微克/立方米，治理成效比较明显．2016 年北京 PM2.5 年均浓度 73 微克/立方米，下降更加明显．
去年 11 月，北京市通过的《北京市“十三五”时期环境保护和生态环境建设规划》确定的生态环保目标为：2020 年，北京市 PM2.5 年均浓度比 2015 年下降 30%，全市空气质量优良天数比例超过 56%．
根据以上材料解答下列问题：
（1）在折线图中表示 2013∼2016 年北京市 PM2.5 年度浓度变化情况，并在图中标明相应数据；
（2）根据绘制的折线图中提供的信息，预估 2017 年北京市 PM2.5 年均浓度为 ，你的预估理由是 ．
（3）根据《北京市“十三五”时期环境保护和生态环境建设规划》，估计 2020 年北京市 PM2.5 年度浓度降至 微克/每立方米．（结果保留整数）

24. 如图，已知在 △ABC 中，DE∥CA，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=84∘．求 ∠EDA 的度数．

25. 某汽车专卖店销售 A，B 两种型号的新能源汽车，上周售出 1 辆 A 型车和 3 辆 B 型车，销售额为 96 万元；本周已售出 2 辆 A 型车和 1 辆 B 型车，销售额为 62 万元．
（1）求每辆 A 型车和 B 型车的售价各为多少元．
（2）甲公司拟向该店购买 A，B 两种型号的新能源汽车共 6 辆，购车费不少于 130 万元，且不超过 140 万元，有哪几种购车方案?

26. 已知：∠MON=36∘，OE 平分 ∠MON，点 A，B 分别是射线 OM，OE 上的动点（A，B 不与点 O 重合），点 D 是线段 OB 上的动点，连接 AD 并延长交射线 ON 于点 C，设 ∠OAC=x．
（1）如图 1，若 AB∥ON，则
① ∠ABO 的度数是 ；
②当 ∠BAD=∠ABD 时，x= ；
③当 ∠BAD=∠BDA 时，x= ；
（2）如图 2，若 AB⊥OM，则是否存在这样的 x 的值，使得 △ABD 中有两个相等的角?若存在，求出 x 的值；若不存在，请说明理由．

27. 对于平面直角坐标系 xOy 中的点 Pa,b，若点 Pʹ 的坐标为 a+kb,ka+b（其中 k 为常数，且 k≠0），则称点 Pʹ 为点 P 的“k 属派生点”．例如：P1,4 的“2 属派生点”为 Pʹ1+2×4,2×1+4，即 Pʹ9,6．
（1）点 P−1,6 的“2 属派生点”Pʹ 的坐标为 ；
（2）若点 P 的“3 属派生点”Pʹ 的坐标为 6,2，则点 P 的坐标 ；
（3）若点 P 在 x 轴的正半轴上，点 P 的“k 属派生点”为 Pʹ 点，且线段 PPʹ 的长度为线段 OP 长度的 2 倍，求 k 的值．

28. 如图所示，三角形 ABC（记作 △ABC）在方格纸中的每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形，三个顶点的坐标分别是 A−2,1，B−3,−2，C1,−2，先将 △ABC 向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到 △A1B1C1．
（1）在图中画出 △A1B1C1；
（2）点 A1，B1，C1 的坐标分别为 、 、 ；
（3）若 y 轴上有一点 P，使得 △PBC 与 △ABC 面积相等，求出 P 点坐标．
答案
第一部分
1. A
2. D【解析】∵ 无理数就是无限不循环小数，且 1.414 为有限小数，−13 为分数，0 是整数，都属于有理数，2 为无限不循环小数，
∴2 为无理数．
3. B【解析】如图，
∵∠1 与 ∠3 是对顶角，
∴∠3=∠1=100∘，
∵a∥b，
∴∠2=180∘−∠3=180∘−100∘=80∘．
4. C
5. B
【解析】抽取样本人数为 10÷20%=50（人），
第四小组人数为 50−4−10−16−6−4=10（人），
第五小组对应圆心角度数为 360∘×650=43.2∘，
用样本估计总体，该校“一分钟跳绳”成绩优秀的人数约为 1200×10+6+450=480（人）．
6. B
7. B
8. C【解析】以小华家为原点，分别以正东，正北方向为 x 轴，y 轴正方向建立平面直角坐标系，
小明家位于小华家正南方 300 m，小明家的坐标为 0,−300，
公园位于小明家正西方 200 m，公园的坐标是 −200,−300．
9. C
10. D
【解析】第①个图形一共有 2 个五角星，
第②个图形一共有 2+3×2=8 个五角星，
第③个图形一共有 8+5×2=18 个五角星，
⋯
第 n 个图形一共有：
1×2+3×2+5×2+7×2+⋯+22n−1=21+3+5+⋯+2n−1=1+2n−1×n=2n2,
则第⑥个图形一共有：2×62=72 个五角星．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. a−2>−1
13. 11
【解析】∵ 墨迹覆盖的数在 3∼4，即 9∼16，
∴ 符合条件的数是 11．
14. 1
【解析】由题意得，a−3=0，b+2=0，
解得 a=3，b=−2，
∴a+b=3+−2=1．
15. 75∘
【解析】∵AB∥OC，∠A=60∘，
∴∠A+∠AOC=180∘，
∴∠AOC=120∘，
∴∠BOC=120∘−90∘=30∘，
∴∠DEO=∠C+∠BOC=45∘+30∘=75∘．
16. 3,0，−3,0
17. 6
【解析】∵△CDE 面积为 1，点 E 是 AC 中点，
∴S△ADC=2S△CDE=2．
又 BD=2DC．
∴S△ABC=3S△ADC=6．
18. 两点之间，线段最短；垂线段最短
【解析】由于两点之间距离最短，故连接 AB，由于垂线段最短可知，过点 A 作 AC⊥直线l 于点 C，此时 AC 最短．
第三部分
19. 原式=−2+2−3+3+3=3.
20.
3x解不等式 ① 得
x<4,
解不等式 ② 得
x≥−2,∴
原不等式组的解集为
−2≤x<4,
其解集在数轴上表示为：
21. ∠1；两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线平行；∠D；两直线平行，同旁内角互补；等量代换
【解析】过点 C 作 CF∥AB，
∵ AB∥CF（已知），
∴ ∠B=∠1（两直线平行，内错角相等），
∵ AB∥DE，CF∥AB（已知），
∴ CF∥DE（平行于同一条直线的两条直线平行），
∴ ∠2+∠D=180∘（两直线平行，同旁内角互补），
∵ ∠2=∠BCD−∠1，
∴ ∠D+∠BCD−∠B=180∘（等量代换）．
22. （1） ∵OA 平分 ∠EOC，∠EOC=70∘，
∴∠AOC=12∠EOC=35∘，
∴∠BOD=∠AOC=35∘．
（2） ∵∠BOD+∠BOC=180∘，
∴∠BOC=180∘−35∘=145∘．
23. （1） 折线图如图所示：
（2） 60 微克/立方米；2017 年全市 PM2.5 年均浓度比 2012 年下降 25% 以上
（3） 56
【解析】80.6×1−30%=56.42≈56（微克/每立方米）．
24. ∵∠4 是 △ABD 的一个外角，
∴∠4=∠1+∠2，
设 ∠1=∠2=x，则 ∠3=∠4=2x，
在 △ADC 中，∠4+∠3+∠DAC=180∘，
∴∠DAC=180∘−4x，
∵∠BAC=∠1+∠DAC，
∴84∘=x+180∘−4x，
x=32∘，
∴∠DAC=180∘−4x=180∘−4×32∘=52∘，
∵DE∥CA，
∴∠EDA=∠DAC=52∘．
25. （1） 设每辆 A 型车和 B 型车的售价分别是 x 万元、 y 万元，则
x+3y=96,2x+y=62.
解得
x=18,y=26.
答：每辆 A 型车的售价为 18 万元，每辆 B 型车的售价为 26 万元．
（2） 设购买 A 型车 a 辆，则购买 B 型车 6−a 辆．依题意，得
18a+266−a≥130,18a+266−a≤140.
解得
2≤a≤314.∵a
是正整数，
∴a=2 或 a=3．
∴ 共有两种方案：
方案一：购买 2 辆 A 型车和 4 辆 B 型车；
方案二：购买 3 辆 A 型车和 3 辆 B 型车．
26. （1） 18∘；126∘；63∘
【解析】如图 1，
① ∵∠MON=36∘，OE 平分 ∠MON，
∴∠AOB=∠BON=18∘，
∵AB∥ON，
∴∠ABO=18∘；
②当 ∠BAD=∠ABD 时，∠BAD=18∘，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180∘，
∴∠OAC=180∘−18∘×3=126∘；
③当 ∠BAD=∠BDA 时，
∵∠ABO=∠AOB=18∘，
∴∠BAD=81∘，
∵∠AOB+∠ABO+∠OAB=180∘，
∴∠OAC=180∘−18∘−18∘−81∘=63∘．
（2） 如图 2，
存在这样的 x 的值，使得 △ADB 中有两个相等的角．
∵AB⊥OM，∠MON=36∘，OE 平分 ∠MON，
∴∠AOB=18∘，∠ABO=72∘，
①当 AC 在 AB 左侧时：如答图 1，
若 ∠BAD=∠ABD=72∘，则 ∠OAC=90∘−72∘=18∘；
若 ∠BAD=∠BDA=180∘−72∘÷2=54∘，则 ∠OAC=90∘−54∘=36∘；
若 ∠ADB=∠ABD=72∘，则 ∠BAD=36∘，故 ∠OAC=90∘−36∘=54∘；
②当 AC 在 AB 右侧时：如答图 2，
∵∠ABE=108∘，且三角形的内角和为 180∘，
∴ 只有 ∠BAD=∠BDA=180∘−108∘÷2=36∘，则 ∠OAC=90∘+36∘=126∘．
综上所述，当 x=18,36,54,126 时，△ADB 中有两个相等的角．
27. （1） 11,4
【解析】点 P−1,6 的“2 属派生点”Pʹ 的坐标为 −1+6×2,−1×2+6，即 11,4．
（2） 0,2
【解析】设点 P 的坐标为 x,y，
由题意知 x+3y=6,3x+y=2,
解得：x=0,y=2,
即点 P 的坐标为 0,2．
（3） ∵ 点 P 在 x 轴的正半轴上，设 P 坐标为 a,b．
∴b=0，a>0．
∴ 点 P 的坐标为 a,0，点 Pʹ 的坐标为 a,ka，
∴ 线段 PPʹ 的长为 Pʹ 到 x 轴距离为 ∣ka∣．
∵P 在 x 轴正半轴，线段 OP 的长为 a，
∴∣ka∣=2a，即 ∣k∣=2，
∴k=±2．
28. （1） 如图所示：
（2） 0,4；−1,1；3,1
（3） 设 P0,y，
根据三角形面积公式得，S△PBC=12×4×∣h∣=6，
解得 ∣h∣=3，得 P 点坐标为 0,1 或 0,−5．