2021年北京朝阳区北京市大学附属中学七年级下期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区北京市大学附属中学七年级下期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 原子是化学反应中不可再分的基本微粒，由原子核和电子组成．某原子的直径约为 0.000000000196 m，可用科学记数法表示为
A. 1.96×1010 mB. 19.6×1011 mC. 19.6×10−11 mD. 1.96×10−10 m

2. 如果 2x+5 的值是非正数，那么 x 的取值范围是
A. x<−52B. x≤−52C. x<52D. x≥−52

3. 计算 −22 的结果是
A. 4B. −4C. 1D. −1

4. 将一副直角三角板按如图方式摆放，若直线 a∥b，则 ∠1 的大小为
A. 45∘B. 60∘C. 75∘D. 105∘

5. 为了解我区七年级 2000 名学生期末数学考试情况，从中抽取了 400 名学生的数学成绩进行统计，下列说法正确的是
A. 这种调查方式是普查B. 每名学生的数学成绩是个体
C. 2000 名学生是总体D. 400 名学生是总体的一个样本

6. 若关于 x 的不等式 m−1x>m−1 的解集是 x<1，则 m 的取值范围是
A. m>1B. m≥−1C. m<1D. m≤1

7. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是
A. x2+y2B. −x2−y2C. x2−y3D. −x2+y2

8. 如图，分别将木条 a，b 与木条 c 钉在一起，若 ∠1=50∘，∠2=80∘，要使木条 a 与 b 平行，则木条 a 需要顺时针转动的最小度数为
A. 30∘B. 50∘C. 80∘D. 130∘

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图，身高为 x cm 的 1 号同学与身高为 y cm 的 2 号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成 （用“ > ”或“ < ”填空）．

10. 若 ∠α=68∘，则 ∠α 的余角为 ∘．

11. 计算：−9a6+18a3÷−3a3= ．

12. 若 x=2,y=1 是方程 2x+m−1y=2,nx+y=1 的解，则 m+n2016 的值是 ．

13. （因式分解）
（1）x2+2x+1= ；
（2）x2−2x+1= ．

14. 计算：x+1x−3= ．

15. 一张试卷只有 25 道题，做对一道得 4 分，不做或做错一道倒扣 1 分，某学生做了全部试题，共得 70 分，则他做对了 道．

16. 观察下列各式：
① x−1x+1=x2−1；
② x−1x2+x+1=x3−1；
③ x−1x3+x2+x+1=x4−1．
由此归纳出一般规律 x−1xn+xn−1+⋯+x+1= ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. x−2−y−2x−1+y−1．（结果不含负整数指数幂）

18. x 取何值时，式子 x3−2 的值不大于 x2−3 的值?

19. 解方程组 3x−y=5,5y−1=3x+2.

20. 解不等式组：x+2≥1,x+3>2x, 并在所给的数轴上表示解集．

21. 若 a2b+ab2=30，ab=6，求下列代数式的值：
（1）a2+b2；
（2）a−b．

22. 已知一次函数的图象过点 3,−5 与点 −4,9，求这个一次函数的解析式．

23. 一副三角板中，∠ACB=90∘，∠BAC=60∘，∠B=30∘，∠EDF=90∘，∠DEF=45∘，∠F=45∘．
（1）如图 1，点 E 与点 A 重合，点 D 在 CA 的延长线上．求证：BC∥DF；
（2）将三角版 DEF 绕点 D 逆时针旋转到三角形 DE1F1 的位置，如图 2，当 ∠ADE1 的度数为 时，AB∥DF1，说明理由；
（3）继续旋转三角板 DE1F1 到三角形 DE2F2 的位置，当 ∠ADE2 的度数为 时，AB∥F2E2，说明理由．

24. 问题：调查、分析某校七年级（2）班学生完整阅读中国四大名著的数目．
调查目的：了解该班学生阅读中国四大名著数目，为后续指导阅读提供依据．
调查范围：七年级（2）班全体学生．
调查方法：实地调查法．
数据整理与表示：
某校七年级（2）班学生阅读中国四大名著数目统计图表：
完整阅读的数目/本4321人数m1022
问题：
（1）表格中 m 的值为 ；
（2）阅读 4 本所对应的扇形的圆心角的度数为 ∘；
（3）求七年级（2）班学生平均完整阅读中国四大名著的数目；
（4）完整阅读中国四大名著数目的众数为 本；
（5）完整阅读中国四大名著数目的中位数为 本．

25. 公园的门票价格如下表所示：
购票人数1∼50人51∼100人100人以上票价100元/人80元/人50元/人
某校七年级甲、乙两班共 100 多人去该公园举行联欢活动，其中甲班 50 多人，乙班不足 50 人，如果以班为单位分别买票，两个班一共应付 9200 元；如果两班联合起来作为一团体购票，一共只要付 5150 元，问：甲、乙两班分别有多少人?

26. 我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释．
（1）如图 1，可得等式为： ．
（2）试画出一个矩形，使它的面积能表示：a2−4ab+4b2．
（3）试画出一个矩形，使它的面积能表示：6m2+7mn+2n2．

27. 如图，AB∥CD．
（1）如图①，若 ∠ABE=40∘，∠BEC=140∘，∠ECD= ∘．
（2）如图①，试探究 ∠ABE，∠BEC，∠ECD 的关系，并说明理由；
（3）如图②，若 CF 平分 ∠ECD，且满足 CF∥BE，试探究 ∠ECD，∠ABE 数量关系，并说明理由．

28. 对于三个数 a，b，c，Ma,b,c 表示 a，b，c 这三个数的平均数，mina,b,c 表示 a，b，c 这三个数中最小的数，如：M−1,2,3=−1+2+33=43，min−1,2,3=−1；M−1,2,a=−1+2+a3=a+13，min−1,2,a=aa≤−1−1a>−1．
解决下列问题：
（1）填空：若 min2,2x+2,4−2x=2，则 x 的取值范围是 ；
（2）①若 M2,x+1,2x=min2,x+1,2x，那么 x= ；
②根据①，你发现结论 " 若 Ma,b,c=mina,b,c，那么 "（填 a，b，c 大小关系）；
③运用②，填空：若 M2x+y+2,x+2y,2x−y=min2x+y+2,x+2y,2x−y，则 x+y= ．
答案
第一部分
1. D【解析】绝对值小于 1 的正数也可以用科学记数法表示，一般形式为 a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n 由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．所以 0.000000000196=1.96×10−10．
2. B
3. A【解析】−22=−2×−2=4．
4. C【解析】由题意知，∠ABC=45∘+60∘=105∘，
∵a∥b，
∴∠1+∠ABC=180∘，
∴∠1=180∘−∠ABC=180∘−105∘=75∘．
5. B
6. C【解析】∵m−1x>m−1 的解集是 x<1，
∴m−1<0，
∴m<1．
7. D【解析】A．x2+y2，无法分解因式，不合题意；
B．−x2−y2，无法分解因式，不合题意；
C．x2−y3，无法分解因式，不合题意；
D．−x2+y2=y−xy+x，正确，符合题意．
8. A【解析】如图，
∵ 当 ∠AOB=∠1=50∘ 时，OA∥b，
∴ 要使木条 a 与 b 平行，木条 a 需要顺时针转动的最小度数为 80∘−50∘=30∘．
第二部分
9. x【解析】如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成 x10. 22
11. 3a3−6
12. 1
【解析】将 x=2，y=1 代入方程组得：
4+m−1=2,2n+1=1,
解得：m=−1，n=0，
则 m+n2016=−12016=1．
13. x+12，x−12
14. x2−2x−3
【解析】x+1x−3=x2−3x+x−3=x2−2x−3．
15. 19
16. xn+1−1
【解析】x−1xn+xn−1+⋯x+1=xn+1−1．
第三部分
17. y−xxy
18.
x3−2≤x2−3,2x−12≤3x−18,−x≤−6,x≥6.
19.
3x−y=5,5y−1=3x+2.
变形得
3x−y=5, ⋯⋯①3x−5y=−3. ⋯⋯②
① − ②，得
4y=8.∴
y=2.
将 y=2 代入①，得
x=73.∴
方程组的解为 x=73,y=2.
20. 解不等式①，得：
x≥−1.
解不等式②，得：
x<3.
在数轴上表示解集为：
21. （1） ∵ a2b+ab2=30，
∴ aba+b=30，
又 ∵ ab=6，
∴ a+b=5，
∴ a+b2=25，即 a2+2ab+b2=25，
∴ a2+b2=25−2ab=25−2×6=13；
（2） ∵ a−b2=a2−2ab+b2=13−2×6=1，
∴ a−b=±1．
22. 设其解析式为 y=kx+b．
代入 3,−5，−4,9，得 −5=3k+b,9=−4k+b,
解得 k=−2,b=1.
这次函数的解析式为 y=−2x+1．
23. （1） ∵∠ACB=90∘，∠EDF=90∘，
∴∠ACB=∠EDF，
∴BC∥DF．
（2） 30∘
理由如下：
∵∠BAC=60∘，
∴∠BAD=120∘，
∵∠E1DF1=90∘，
∴∠ADF1=∠ADE1+∠E1DF1=120∘，
∴∠BAD=∠ADF1，
∴AB∥DF1；
（3） 165∘
理由如下：
∵∠ADE1+∠E1DF1+∠F1DE2=∠ADE2，
∴30∘+90∘+∠F1DE2=165∘，
∴∠F1DE2=45∘，
∵∠E2=45∘，
∴∠F1DE2=∠E2，
∴DF1∥F2E2，由（2）知 AB∥DF1，
∴AB∥F2E2．
24. （1） 6
（2） 108
（3） 4×6+3×10+2×2+1×2÷20=3（本）．
故七年级（2）班学生平均完整阅读中国四大名著的数目为 3 本．
（4） 3
（5） 3
25. 设甲、乙两班分别有 x 人、 y 人，由题意，得
80x+100y=9200,50x+y=5150,
解得
x=55,y=48.
答：甲、乙两班分别有 55 人、 48 人．
26. （1） a+b2a+b=2a2+3ab+b2
【解析】∵ 长方形的面积 = 长 × 宽，
∴a+b2a+b=2a2+3ab+b2，
∴ 可得等式为：a+b2a+b=2a2+3ab+b2；
故答案为：a+b2a+b=2a2+3ab+b2．
（2） a2−4ab+4b2=a−2b2．
如图所示：
（3） 6m2+7mn+2n2=2m+n3m+2n，如图所示：
27. （1） 80
【解析】如图①，过点 E 作 EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE=∠BEF，∠FEC+∠ECD=180∘，
∵∠ABE=40∘，∠BEC=140∘，
∴∠FEC=100∘，
∴∠ECD=180∘−100∘=80∘．
（2） 如图①，过点 E 作 EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE=∠BEF，∠FEC+∠ECD=180∘，
∴∠BEC=180∘−∠ECD+∠ABE．
（3） 如图②，延长 BE 和 DC 相交于点 G，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠G，
∵BE∥CF，
∴∠GEC=∠ECF，
∵∠ECD=∠GEC+∠G，
∴∠ECD=∠ECF+∠ABE，
∵CF 平分 ∠ECD，
∴∠ECF=∠DCF，
∴∠ECD=12∠ECD+∠ABE，
∴∠ABE=12∠ECD．
28. （1） 由题意，得 2x+2≥2,4−2x≥2.
求解得 0≤x≤1．
（2） ① M2,x+1,2x=2+x+1+2x3=x+1．
法一：
当 x≥1 时，则 min2,x+1,2x=2，则 x+1=2，x=1．
当 x<1 时，则 min2,x+1,2x=2x，则 x+1=2x，x=1（舍去）．
综上所述：x=1．
②由① 可知：a=b=c；
③由 ②可知：2x+y+2=2x−y，则 y=−1，
x+2y=2x−y，x=−3，
所以 x+y=−4．
【解析】法二：
①因为 M2,x+1,2x=2+x+1+2x3=x+1=min2,x+1,2x，
所以 2≥x+1,2x≥x+1.
所以 x≤1,x≥1.
所以 x=1．