2021年北京昌平区北京师大附属亚太实验学校（初中部）八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京昌平区北京师大附属亚太实验学校（初中部）八年级上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 请你观察下面的四个图形，它们体现了中华民族的传统文化.对称现象无处不在，其中可以看作是轴对称图形的有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

2. 长方形的面积为 x8，宽为 x2，则长为
A. x2B. x4C. x6D. x8

3. 如图是一个经过改造的台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是
A. 1号袋B. 2号袋C. 3号袋D. 4号袋

4. 等式 x−3x+1=x−3x+1 成立的 x 的取值范围在数轴上可表示为
A. B.
C. D.

5. 若 x+4x−3=x2+mx−n，则
A. m=−1，n=12B. m=−1，n=−12
C. m=1，n=−12D. m=1，n=12

6. 下列各数中，能使二次根式 2x−3 有意义的是
A. −1B. 0C. 2D. 1

7. 如果二次三项式 x2+ax−1 可分解为 x−2x+b，则 a+b 的值为
A. −1B. 1C. −2D. 2

8. 已知 M，N 是线段 AB 上的两点，AM=MN=2，NB=1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧，再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点 C，连接 AC，BC，如图所示，则 △ABC 一定是
A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形

9. 下列各式从左到右的变形正确的是
A. yx=y+1x+1B. yx=ayaxC. yx=a2ya2xD. yx=a2+1ya2+1x

10. 如图，点 E 是 BC 的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE 平分 ∠BAD，下列结论：
① ∠AED=90∘；
② ∠ADE=∠CDE；
③ DE=BE；
④ AD=AB+CD．
四个结论中成立的是
A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③

11. 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，则
A. BC=AB+ACB. AC2=AB2+BC2
C. AB2=AC2+BC2D. BC2=AB2+AC2

12. 计算 1−11−a1a2−1 的结果为
A. −a+1aB. a−1aC. a1−aD. a+11−a

二、填空题（共8小题；共40分）
13. 2ab2−ab÷b2a = ．

14. 分解因式 9a−a3= ．
2x2−12x+18= ．

15. 如果 x，y 为实数，且 x=a−4+4−a+3，y−2=0，则 x+y= ．

16. 已知 a<0 ，化简 4−a+1a2−4+a−1a2= ．

17. 如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45∘，则 BD 的长为 ．

18. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，BD 平分 ∠ABC 交 AC 于点 D，DE⊥AB 于点 E．若 AB=10 cm，则 △ADE 的周长为 cm．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，将其绕点 A 逆时针旋转 15∘ 得到 Rt△ABʹCʹ，BʹCʹ 交 AB 于 E，若图中阴影部分面积为 23，则 BʹE 的长为 ．

20. 如图，有一个正三角形图片高为 1 米，A 是三角形的一个顶点，现在 A 与数轴的原点 O 重合，工人将图片沿数轴正方向滚动一周，点 A 恰好与数轴上点 Aʹ 重合，则点 Aʹ 对应的实数是 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
21. 计算：18−18−1+−130．

22. （1）计算：1a−1÷aa2−1−aa−1．
（2）解方程：x2x−3+53−2x=4．

23. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，且 AB=CD，若 ∠1=∠2，EC=FB，求证：∠E=∠F．

24. 通信员要从营地前往相距 2400 米的哨所去送信，然后立即按原路返回，这样从出发到回到营地共花了 40 分钟．若通信员去送信时的速度是回来时的速度的 1.5 倍，求他去送信时的速度．

25. 解方程：
（1）3x+1=5x+3；
（2）6x−3−x+92x−6=1；
（3）2x−3x2−1−1x+1=2x−1．

26. 有公路 l1 同侧、 l2 异侧的两个城镇 A，B，如图所示．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路 l1，l2 的距离也必须相等，发射塔 C 应修建在什么位置?请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点 C 的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）

27. （1）请你根据图甲中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）．
（2）以图甲中的直角三角形为基础，可以构造出以 a，b 为底，以 BC 为高的直角梯形，如图乙所示，请你利用图乙验证勾股定理．
答案
第一部分
1. A
2. C【解析】∵ 长方形的面积为 x8，宽为 x2，
∴ 长为 x8÷x2=x8−2=x6．
3. B【解析】根据轴对称的概念画出球经过多次反射的路线图，如图所示．
4. B
5. D
6. C【解析】由题意得，2x−3≥0，
解得，x≥32，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
7. A【解析】x−2x+b=x2+bx−2x−2b=x2+b−2x−2b
b−2=a，−2b=−1，
b=12，a=−32，
∴a+b=−1．
8. B【解析】依据作图可以得到 AC=AN=AM+MN=2+2=4，BC=BM=MN+NB=2+1=3，AB=AM+MN+NB=2+2+1=5，
则 AC2+BC2=AB2，即可得出 △ABC 是直角三角形．
9. D
10. A
【解析】过 E 作 EF⊥AD 于 F，如图．
∵AB⊥BC，AE 平分 ∠BAD，
∴∠AFE=∠B=90∘，∠FAE=∠BAE，
在 △AEF 和 △AEB 中，
∠AFE=∠B,∠FAE=∠BAE,AE=AE,
∴Rt△AEF≌Rt△AEBAAS，
∴BE=EF，AB=AF，∠AEF=∠AEB；
又 ∵ 点 E 是 BC 的中点
∴EC=EF=BE，
又 ∵DE>CE，
∴DE>BE，
∴ ③不正确．
在 Rt△EFD 和 Rt△ECD 中，
EC=EF,DE=DE,
∴Rt△EFD≌Rt△ECDHL，
∴DC=DF，∠FED=∠CED，∠FDE=∠CDE，
∴ ②正确．
∴∠AED=∠AEF+∠FED=12∠BEC=90∘，
∴ ①正确．
AD=AF+FD=AB+DC，
∴ ④正确．
11. D【解析】∵ 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，
∴∠A=90∘，
∴BC2=AB2+AC2，
故选：D．
12. A
第二部分
13. 2a2b2 （或 2a2b−2 ）
14. a3+a3−a，2x−32
15. 5
16. −2
【解析】原式 =−(a−1a)2−(a+1a)2 ，由二次根式内的数为非负数，可得 a=−1 ．
17. 41
【解析】如图，作 ADʹ⊥AD，且 ADʹ=AD，连接 CDʹ，DDʹ．
∵ ∠BAC+∠CAD=∠DADʹ+∠CAD，即 ∠BAD=∠CADʹ，由 SAS 可得 △BAD≌△CADʹ，
∴ BD=CDʹ．
∵ ∠DADʹ=90∘，由勾股定理得 DDʹ=AD2+ADʹ2=42+42=42，
∵ ∠DʹDA+∠ADC=90∘，由勾股定理得 CDʹ=CD2+DDʹ2=9+32=41，
∴ BD=CDʹ=41．
18. 10
【解析】∵BD 平分 ∠ABC 交 AC 于 D，DE⊥AB 于 E，
∴∠DBE=∠DBC，∠BED=∠C=90∘，BD=BD，
∴△BDE≌△BDCAAS，
∴DE=DC，BE=BC，
∴△ADE 的周长=DE+DA+AE=DC+DA+AE=CA+AE=BC+AE=BE+AE=AB=10 cm.
19. 23−2
【解析】∵ 将 Rt△ACB 绕点 A 逆时针旋转 15∘ 得到 Rt△ABʹCʹ，
∴△ACB≌△ACʹBʹ．
∴AC=ACʹ，CB=CʹBʹ，∠CAB=∠CʹABʹ．
∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=BC，
∴∠CAB=45∘．
∵∠CACʹ=15∘，
∴∠CʹAE=30∘．
∴AE=2CʹE，ACʹ=3CʹE．
∵ 阴影部分面积为 23，
∴12×CʹE×3CʹE=23．
∴CʹE=2．
∴AC=BC=CʹA=BʹCʹ=23．
∴BʹE=23−2．
20. 23
【解析】设此正三角形的边长为 a，则 32a=1 .
∴a=233 .
∴ 此正三角形的周长为 23．
∴ 点 Aʹ 对应的实数是 23．
第三部分
21. 原式=32−22+1=2+1.
22. （1） 原式=1a−1÷aa−1a+1−aa−1=1a−1×a−1a+1a−aa−1=a+1a−aa−1=−1aa−1.
（2） 去分母，得
x−5=42x−3.
去括号，得
x−5=8x−12.
移项、合并同类项，得
−7x=−7.
系数化为 1，得
x=1.
经检验，x=1 是原方程的解．
23. 证明 ∵∠1+∠DBF=180∘，∠2+∠ACE=180∘，且 ∠1=∠2，
∴∠DBF=∠ACE，
∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即 AC=DB，
在 △ACE 和 △DBF 中，
EC=FB,∠ACE=∠DBF,AC=DB,
∴△ACE≌△DBFSAS，
∴∠E=∠F．
24. 150 米/分．
25. （1） 方程两边乘 x+1x+3，得
3x+9=5x+5.
解得
x=2.
检验：当 x=2 时，x+1x+3≠0，
所以，原分式方程的解是 x=2．
（2） 方程两边乘 2x−3，得
12−x−9=2x−6.
解得
x=3.
检验：当 x=3 时，2x−3=0，
因此 x=3 不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解．
（3） 方程两边乘 x−1x+1，得
2x−3−x−1=2x+1.
解得
x=−4.
检验：当 x=−4 时，x−1x+1≠0，
所以，原分式方程的解是 x=−4．
26. 作图如图，C1，C2 就是所求的位置．
27. （1） 如果直角三角形的两直角边长分别为 a 、 b，斜边长为 c，那么 a2+b2=c2．
（2） ∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴∠AEB=∠EDC .
又 ∠EDC+∠DEC=90∘，
∴∠AEB+∠DEC=90∘ .
∴∠AED=90∘．
∵S梯形ABCD=SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，
∴12a+ba+b=12ab+12ab+12c2，
整理，得 a2+b2=c2．