2021年北京海淀区中关村中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区中关村中学八年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 斑叶兰被列为国家二级保护植物，它的一粒种子重约 0.0000005 克．将 0.0000005 用科学记数法表示为
A. 5×107B. 5×10−7C. 0.5×10−6D. 5×10−6

2. 下列四个多项式中，不能因式分解的是
A. ab−ab2+bB. a2+9C. a2−4b2D. 2a2+12a+18

3. 下列图形中轴对称图形有
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

4. 下列运算正确的是（）
A. 2a+3b=5abB. 3ab2=9ab2
C. a−12=a2−1D. 2ab2÷b=2ab

5. 下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是
A. 12x+1B. x2x+1C. 3x+1x2D. x22x2+1

6. 如图，在 △ABC 中，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 BC 于点 E，连接 AE．若 BE=4，AC=5，则 AE 的长为
A. 3B. 4C. 5D. 6

7. 若分式 2x+1 的值为正整数，则整数 x 的值为
A. 0B. 1C. 0 或 1D. 0 或 −1

8. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP 就是 ∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是
A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D. 以上均不正确

9. 如图，某研究性学习小组为测量学校 A 与河对岸工厂 B 之间的距离，在学校附近选一点 C，利用测量仪器测得 ∠A=60∘，∠C=90∘，AC=2 km．据此，可求得学校与工厂之间的距离 AB 等于
A. 2 kmB. 3 kmC. 2 3 kmD. 4 km

10. 如图，直线 l1，l2，l3 表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地点有
A. 四处B. 三处C. 两处D. 一处

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 因式分解：m2−n2= ．

12. 如果方程 2ax−1=3 的解是 x=5，那么 a= ．

13. 如图所示，已知 ∠1=∠2，请你添加一个条件，使 △ABC≌△BAD，你的添加条件是 （填一个即可）．

14. 如图，已知 △ABC 为等边三角形，高 AH=8 cm，P 为 AH 上一动点，D 为 AB 的中点，则 PD+PB 的最小值为 cm．

15. 如图，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，使点 A 落在 CD 边上的点 G 处，点 B 落在点 H 处，若 ∠HGC=30∘，连接 AG，则 ∠AGD= ．

16. 如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第 1 个正方形需要 4 个小正方形，拼第 2 个正方形需要 9 个小正方形 ⋯，按这样的方法拼成的第 n+1 个正方形比第 n 个正方形多 个小正方形．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：1x−1−2xx2−1．

18. 计算：∣−2∣+π−20200−−12−1−25．

19. 如图，∠BAD=∠B=90∘，E 是 BC 边上的点，AE=AD，DF⊥AE，垂足为 F．求证：AF=BE．

20. 计算：m+2nm−2n−m+3n2．

21. 已知：如图，∠AOB．
求作：∠AʹOʹBʹ，使 ∠AʹOʹBʹ=∠AOB．
作法：
①以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA，OB 于点 C，D；
②画一条射线 OʹAʹ，以点 Oʹ 为圆心，OC 长为半径画弧，交 OʹAʹ 于点 Cʹ；
③以点 Cʹ 为圆心，CD 长为半径画弧，与②中所画的弧相交于点 Dʹ；
④过点 Dʹ 画射线 OʹBʹ，则 ∠AʹOʹBʹ=∠AOB，
∠AʹOʹBʹ 就是所求作的角．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接 CʹDʹ，
由作法可知，
OC=OʹCʹ，
，
，
∴△COD≌△CʹOʹDʹ．（ ）（填推理依据）．
∴∠AʹOʹBʹ=∠AOB．
∴∠AʹOʹBʹ 就是所求作的角．

22. 21−x2=11+x．

23. 在三角形纸片 ABC 中，∠B=90∘，∠A=30∘，AC=4，点 E 在 AC 上，AE=3．将三角形纸片按图 1 方式折叠，使点 A 的对应点 Aʹ 落在 AB 的延长线上，折痕为 ED，AʹE 交 BC 于点 F．
（1）求 ∠CFE 的度数；
（2）如图 2，继续将纸片沿 BF 折叠，点 Aʹ 的对应点为 Aʺ，AʺF 交 DE 于点 G．求线段 DG 的长．

24. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别是 A1,3，B−2,−2，C2,−1．
（1）画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1；
（2）写出点 A1，B1，C1 的坐标；
（3）求 △ABC 的面积．

25. 先化简：x−1x−2−x+2x÷4−xx2−4x+4，然后选择一个合适的 x 值代入求值．

26. 两个小组同时开始攀登一座 450 m 高的山，第一组的攀登速度是第二组的 1.2 倍，他们比第二组早 1.5 min 到达峰顶．两个小组的攀登速度各是多少?
（1）设第二组的攀登速度为 x m/min，根据题意，用含有 x 的式子填写下表：
速度m/min时间min距离m第一组450第二组x450
（2）列出方程，并求出问题的解．

27. 如图，△ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的中线，过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，延长 ED 交 BC 的延长线于点 F，AE=2，求 BF 的长．

28. 在 △ABC 中，AB>BC，直线 l 垂直平分 AC．
（1）如图 1，作 ∠ABC 的平分线交直线 l 于点 D，连接 AD，CD．
①补全图形；
②判断 ∠BAD 和 ∠BCD 的数量关系，并证明．
（2）如图 2，直线 l 与 △ABC 的外角 ∠ABE 的平分线交于点 D，连接 AD，CD．
求证：∠BAD=∠BCD．
答案
第一部分
1. B【解析】将 0.0000005 用科学记数法表示为 5×10−7 ．
2. B【解析】A. ab−ab2+b=ba−ab+1，能因式分解，不符合题意；
B. a2+9 不能因式分解，符合题意；
C. a2−4b2=a+2ba−2b，能因式分解，不符合题意；
D. 2a2+12a+18=2a+32，能因式分解，不符合题意．
3. C【解析】由题图可得，第一个、第三个均为轴对称图形，第二个是中心对称图形不是轴对称图形，第四个既不是中心对称图形也不是轴对称图形，所以轴对称图形有 2 个．
4. D【解析】略
5. D
6. B
7. C【解析】由 2x+1 的值为正整数，得 x+1=1 或 x+1=2，解得 x=0 或 x=1，由 x 为整数，可知 x=0或1．
8. A【解析】如图所示：过两把直尺的交点 P 作 PE⊥AO，PF⊥BO，
∵ 两把完全相同的长方形直尺，
∴PE=PF，
∴OP 平分 ∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
9. D【解析】∵∠A=60∘，∠C=90∘，AC=2 km，
∴∠B=30∘，
∴AB=2AC=4km．
10. A
【解析】满足条件的有：
（1）三角形两个内角平分线的交点，共一处；
（2）三角形外角平分线的交点，共三处．
第二部分
11. m+nm−n
12. 16
13. BC=AD 或 ∠C=∠D 或 ∠ABD=∠BAC
14. 8
【解析】如图，
作点 D 关于 AH 的对称点 Dʹ，连接 BDʹ，
交 AH 于点 P，此时 PD+PB=PDʹ+PB=BDʹ 最小，
∵△ABC 为等边三角形，高 AH=8 cm，
∴BDʹ=AH=8 cm．
15. 75∘
【解析】由折叠的性质可知：GE=AE，∠EGH=∠BAD=90∘，
∴∠EAG=∠EGA，
∴∠EGH−∠EGA=∠EAB−∠EAG，即：∠GAB=∠AGH，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DGA=∠GAB，
∴∠DGA=∠AGH，
∵∠HGC=30∘，
∴∠DGH=150∘，
∴∠AGD=12∠DGH=75∘，
故答案为：75∘．
16. 2n+3
【解析】∵ 第 1 个正方形需要 4 个小正方形，4=22，
第 2 个正方形需要 9 个小正方形，9=32，
第 3 个正方形需要 16 个小正方形，16=42，
⋯，
∴ 第 n+1 个正方形有 n+1+12 个小正方形，
第 n 个正方形有 n+12 个小正方形，
故拼成的第 n+1 个正方形比第 n 个正方形多 n+22−n+12=2n+3 个小正方形．
第三部分
17. 1x−1−2xx2−1=x+1x+1x−1−2xx+1x−1=1−xx+1x−1=−1x+1.
18. ∣−2∣+π−20200−−12−1−25=2+1+2−5=0.
19. 因为 DF⊥AE，
所以 ∠DFA=90∘，
所以 ∠B=∠DFA．
在 △DAF 中，∠DFA=90∘，
则 ∠EAD+∠FDA=90∘，
又 ∠BAD=90∘．
所以 ∠EAD+∠BAE=90∘，
所以 ∠BAE=∠ADF．
在 △AFD 中与 △EBA 中，
∠DFA=∠ABE=90∘,∠ADF=∠BAE,AD=AE,
所以 △AFD≌△EBA，
所以 AF=BE．
20. 原式=m2−4n2−m2+6mn+9n2=m2−4n2−m2−6mn−9n2=−13n2−6mn.
21. （1） 如解图所示，∠AʹOʹBʹ 即为所求．
（2） OD=OʹDʹ；CD=CʹDʹ；SSS
22. 无解
23. （1） ∵∠A=30∘，
∴∠Aʹ=30∘，
∵∠AʹBF=90∘，
∴∠AʹFB=60∘，
∵∠CFE=∠AʹFB，
∴∠CEF=60∘．
（2） ∵ 点 A 与点 Aʹ 关于直线 DE 对称，
∴DE⊥AAʹ，
∵∠A=30∘，AE=3，
∴DE=12AE=32，
由（1）知，∠CFE=60∘，∠C=60∘，
∴△CFE 是等边三角形，
∴EF=CE=AC−AE=1，
同理，△EFG 也是等边三角形，
∴DG=DE−EG=12．
24. （1） △A1B1C1 如图所示：
．
（2） A1−1,3；B12,−2；C1−2,−1．
（3） △ABC的面积=4×5−12×4×1−12×4×1−12×3×5=20−2−2−7.5=8.5.
25. 原式=xx−1xx+2−x−2x+2xx−2⋅x−224−x=4−xxx−2⋅x−224−x=x−2x,
把 x=1 代入得 原式=1−21=−1．
26. （1） 1.2x；4501.2x；450x
【解析】∵ 第二组的攀登速度为 x m/min，
第一组的攀登速度是第二组的 1.2 倍，
∴ 第一组的攀登速度为 1.2x m/min，
∵ 山高 450 m，
∴ 第一组的时间为 4501.2x min，
第二组的时间为 450x min．
（2） 根据题意得：
450x−4501.2x=1.5540−450=1.8x90=1.8xx=50.
经检验 x=50 是方程的解．
则第一组的速度为 1.2x=1.2×50=60m/min，
则第一组的速度为 60 m/min，
第二组的速度为 50 m/min．
27. ∵△ABC 是等边三角形，BD 是中线，
∴∠A=∠ACB=60∘，AC=BC，AD=CD=12AC，
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90∘，
∴∠ADE=30∘，
∴CD=AD=2AE=4，
∴AC=BC=8，
∵∠CDF=∠ADE=30∘，
∴∠F=∠ACB−∠CDF=60∘−30∘=30∘，
∴∠CDF=∠F，
∴CF=CD=4，
∴BF=BC+CF=8+4=12．
28. （1） ①补全图形；
②结论：∠BAD+∠BCD=180∘．
证明：过点 D 作 DE⊥AB 于 E，作 DF⊥BC 交 BC 的延长线于 F，
则 ∠AED=∠CFD=90∘，
∵BD 平分 ∠ABC，
∴DE=DF，
∵ 直线 l 垂直平分 AC，
∴DA=DC，
在 Rt△ADE 和 Rt△CDF 中，
DA=DC,DE=DF,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF，
∴∠BAD=∠FCD，
∵∠FCD+∠BCD=180∘，
∴∠BAD+∠BCD=180∘．
（2） 结论：∠BAD=∠BCD，
证明：过点 D 作 DN⊥AB 于 N，作 DM⊥BE 于 M，
则 ∠AND=∠CMD=90∘，
∵BD 平分 ∠ABE，
∴DM=DN．
∵ 直线 l 垂直平分 AC，
∴DA=DC，
在 Rt△ADN 和 Rt△CDM 中，
DA=DC,DN=DM,
∴Rt△ADN≌Rt△CDM，
∴∠BAD=∠BCD．