2021年北京通州区通川区第八中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京通州区通川区第八中学八年级上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列无理数中，在 −2 与 1 之间的是
A. −5B. −3C. 3D. 5

2. 用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是
A. B.
C. D.

3. 下列不是必然事件的是
A. 角平分线上的点到角两边的距离相等
B. 三角形任意两边之和大于第三边
C. 面积相等的两个三角形全等
D. 三角形内心到三边距离相等

4. 下列各数中，能使二次根式 2x−3 有意义的是
A. −1B. 0C. 2D. 1

5. 小莉家附近有一公共汽车站，大约每隔 30 分钟准有一趟车经过.则"小莉在到达该车站后 10 分钟内可坐上车"这一事件的概率是
A. 14B. 13C. 34D. 12

6. 下列实数：① 227，② 4，③ 2.15，④ 1.01001000100001⋯（小数部分每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），其中是无理数的是
A. ①B. ②C. ③D. ④

7. 计算 a3⋅1a2 的结果是
A. aB. a5C. a6D. a9

8. 如图，某研究性学习小组为测量学校 A 与河对岸工厂 B 之间的距离，在学校附近选一点 C，利用测量仪器测得 ∠A=60∘，∠C=90∘，AC=2 km．据此，可求得学校与工厂之间的距离 AB 等于
A. 2 kmB. 3 kmC. 2 3 kmD. 4 km

9. 如图，∠3=30∘，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证 ∠1 的度数为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘

10. 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，则
A. BC=AB+ACB. AC2=AB2+BC2
C. AB2=AC2+BC2D. BC2=AB2+AC2

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若分式 a−2a+3 的值为 0，则 a 的值为 ．

12. 计算 42+8÷32 的结果是 ．

13. 如图所示，已知 ∠1=∠2，请你添加一个条件，使 △ABC≌△BAD，你的添加条件是 （填一个即可）．

14. 化简：a2−1a2+2a+1÷a2−aa+1= ．

15. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图①所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图②所示），则该凸六边形的周长是 cm．

16. 对于非零的两个实数 a 、 b，规定 a⊕b=1b−1a，若 2⊕2x−1=1，则 x 的值为 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 计算：−a3−2⋅−a−3−2．

18. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥EF∥DC，找出图中所有与 ∠CGF 相等的角并证明．

19. 计算：5×6−215÷15．

20. 解方程：x+1x−1−4x2−1=1．

21. 学校美术社团为学生外出写生配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿 AB 和 CD 的长度相等，O 是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度 AD 设计为 36 cm，由以上信息能求出 CB 的长度吗?如果能，请求出 CB 的长度；如果不能，请说明理由．

22. 已知 a=2−1，求 a2+1a2−2 的值．

23. 亲爱的同学，下面我们来做一个猜颜色的游戏：一个不透明的小盒中，装有 A,B,C 三张除颜色以外完全相同的卡片，卡片 A 两面均为红，卡片 B 两面均为绿，卡片 C 一面为红，一面为绿．
（1）从小盒中任意抽出一张卡片放到桌面上，朝上一面恰好是绿色，请你猜猜，抽出哪张卡片的概率为 0 ?
（2）若要你猜（1）中抽出的卡片朝下一面是什么颜色，猜哪种颜色正确率可能高一些?请你列出表格，用概率的知识予以说明．

24. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，△ABC 的高 BH，CM 交于点 P．
（1）求证：PB=PC．
（2）若 PB=5，PH=3，求 AB．

25. 为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的 1200 件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用 10 天；
信息二：乙工厂每天加工产品的数量是甲工厂每天加工产品数量的 1.5 倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?

26. 如图，在 △ABC 中，∠C=60∘，AB=14，AC=10．求 BC 的长．

27. 等边 △ABC 的边长为 4，D 是射线 BC 上任一点，线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 60∘ 得到线段 DE，连接 CE．
（1）当点 D 是 BC 的中点时，如图1，判断线段 BD 与 CE 的数量关系，请直接写出结论： （不必证明）；
（2）当点 D 是 BC 边上任一点时，如图2，请用等式表示线段 AB，CE，CD 之间的数量关系，并证明；
（3）当点 D 是 BC 延长线上一点且 CD=1 时，如图3，求线段 CE 的长．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. C
4. C【解析】由题意得，2x−3≥0，
解得，x≥32，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
5. B
6. D【解析】227 是分数，也是有理数；4=2，是有理数；2.15 是循环小数，是有理数；1.01001000100001⋯（小数部分每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）是无限不循环小数．是无理数．
7. A
8. D【解析】∵∠A=60∘，∠C=90∘，AC=2 km，
∴∠B=30∘，
∴AB=2AC=4km．
9. C
10. D
【解析】∵ 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，
∴∠A=90∘，
∴BC2=AB2+AC2，
故选：D．
第二部分
11. 2；
12. 2
13. BC=AD 或 ∠C=∠D 或 ∠ABD=∠BAC
14. 1a
15. 322+16
16. 56
【解析】提示：12x−1−12=1．
第三部分
17. 1．
18. 因为 AB∥EF，（已知）
所以 ∠CGF=∠CAB （两直线平行，同位角相等）．
因为 AB∥CD，
所以 ∠DCA=∠CAB （两直线平行，内错角相等），
所以 ∠CGF=∠CAB=∠DCG （等量代换）．
又因为 ∠AGE 与 ∠CGF 时对顶角，
所以 ∠AGE=∠CGF （对顶角相等）．
19. 2−2
20. 去分母，得
x+12−4=x2−1.
去括号，得
x2+2x+1−4=x2−1.
移项合并，得
2x=2.
解得
x=1.
检验：当 x=1 时，x2−1=0，
∴ x=1 是增根，应舍去．
∴ 原分式方程无解．
21. 能求出 CB 的长度．
∵O 是 AB，CD 的中点，
∴OA=OB，OC=OD，
在 △AOD 和 △BOC 中，
OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC,
∴△AOD≌△BOCSAS，
∴AD=BC，
∵AD=36 cm，
∴CB=36 cm．
22. ∵ a=2−1，
∴ 1a=2+1，
∴ 原式=a−1a2=4=2．
23. （1） 依题意可知：抽出卡片 A 的概率为 0 ；
（2） 由（1）知，一定不会抽出卡片 A ，只会抽出卡片 B 或 C ，且抽出的卡片朝上的一面是绿色，那么可列下表：
朝上B(绿1)B(绿2)C(绿)朝下B(绿2)B(绿1)C(红)

可见朝下一面的颜色有绿、绿、红三种可能，即： P （绿） =23 ，P（红） =13 ，
所以猜绿色正确率可能高一些．
24. （1） ∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵BH，CM 为 △ABC 的高，
∴∠BMC=∠CHB=90∘．
∴∠ABC+∠BCM=90∘，∠ACB+∠CBH=90∘．
∴∠BCM=∠CBH．
∴PB=PC．
（2） ∵PB=PC，PB=5，
∴PC=5．
∵PH=3，∠CHB=90∘，
∴CH=4．
设 AB=x，则 AH=x−4．
在 Rt△ABH 中，
∵AH2+BH2=AB2，
∴x−42+5+32=x2．
∴x=10，即 AB=10．
25. 设甲工厂每天加工 x 件新产品，则乙工厂每天加工 1.5x 件新产品．依题意，得
1200x−12001.5x=10.
解得
x=40.
经检验，x=40 是所列方程的解，且符合实际问题的意义．
当 x=40 时，1.5x=60．
答：甲、乙两个工厂每天分别能加工新产品 40 件、 60 件．
26. 过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADC=∠ADB=90∘，
又 ∵∠C=60∘，
∴∠CAD=90∘−∠C=30∘，
∴CD=12AC=5．
在 Rt△ACD 中，AD=AC2−CD2=102−52=53．
在 Rt△ABD 中，BD=AB2−AD2=11．
∴BC=BD+CD=11+5=16．
27. （1） BD=CE
（2） 线段 AB，CE，CD 之间的数量关系为：AB=CE+CD．
连接 AE .
∵AD=DE，∠1=60∘ （已知）
∴△ADE 是等边三角形（有一个角是 60∘ 的等腰三角形是等边三角形）
∴AD=AE，∠4+∠3=60∘ （等边三角形的三边相等，三个角都是 60∘ ）.
∵△ABC 是等边三角形（已知）
∴AB=AC=BC，∠2+∠3=60∘ （等边三角形的三边相等，三个角都是 60∘ ）
∴∠2=∠4 （等量减等量，差相等）.
在 △ABD 和 △ACE 中
AB=AC∠2=∠4AD=AE （已证）
∴△ABD≌△ACE SAS
∴BD=CE （全等三角形的对应边相等）.
∵AB=BC=BD+CD （已知）
∴AB=CE+CD （等量代换） .
（3） 连接 AE .
由（2），同理可证得：
△ADE 是等边三角形，
∴∠CAE=60∘+∠3 .
∵∠BAD=60∘+∠3 ，
∴∠BAD=∠CAE （等量加等量，和相等）.
在 △ABD 和 △ACE 中 AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE （已证）
∴△ABD≌△ACE SAS
∴CE=BD ，
∵BD=BC+CD=5 ，
∴CE=5 .
证法（二）
在 BA （延长线）上截取 BF=BD，连接 FD .
证法（三）
在 AC （延长线）上截取 CF=CD，连接 FD .
证法（四）
在 BC 的延长线上截取 CF=BD，连接 FE .