2021年北京大兴区大辛庄中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京大兴区大辛庄中学八年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在下列数：−1.414，−2，227，111000 中，是无理数的是
A. −1.414B. −2C. 227D. 111000

2. 下列事件为必然事件的是
A. 明天怀柔区必然下雪
B. 本次期末数学考试每个考场都只有一名考生
C. 百米短跑比赛，一定产生第一名
D. 每天天安门的升旗时间都是上午 10 点

3. 下列标志是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 下列二次根式中可以和 2 相加合并的是
A. 14B. 18C. 13D. 12

5. 下列 4 个图形中，线段 BE 是 △ABC 的高的是
A. B.
C. D.

6. 如图，DE 是 △ABC 中 AC 边的垂直平分线，若 BC=8，AB=10，则 △EBC 的周长是
A. 13B. 16C. 18D. 20

7. 若分式 5−mm+1 的值为正整数，则整数 m 的值有
A. 3 个B. 4 个C. 6 个D. 8 个

8. 若一个三角形的两边长分别为 3 cm 和 5 cm，则此三角形的第三边长可能为
A. 1 cmB. 2 cmC. 5 cmD. 8 cm

9. 下列实数：① 227，② 4，③ 2.15，④ 1.01001000100001⋯（小数部分每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1），其中是无理数的是
A. ①B. ②C. ③D. ④

10. 下列语句正确的是
A. 三个角分别对应相等的两个三角形全等
B. 有两边对应相等，且有一角为 30∘ 的两个三角形全等
C. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
D. 有两个角和其中一角所对的边对应相等的两个三角形全等

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 请你写出一个二次根式，要求被开方数只含有字母 a，且无论 a 取任何数值时，这个二次根式都有意义，这个二次根式可以是 ．

13. 如图，长方形网格由小正方形构成，每一个小正方形的边长都为 1，点 A 和点 B 是小正方形的格点，请你在图中画出从 A 到 B 的最短路程，则点 A 和点 B 之间的这个最短路程值为 ．

14. 如图，OP 平分 ∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA=2，则 PQ 的最小值为 ．

15. 如图，长方形内有两个相邻的正方形，面积分别为 4 和 3，那么阴影部分的面积为 ．

16. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图①所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图②所示），则该凸六边形的周长是 cm．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 化简：x2+1x2−1−x−2x−1÷x−2x．

18. 请你画出一个等腰三角形，使得顶角的度数是底角度数的一半．（不要求用尺规作图，画出图形并标识每个角的度数即可）．

19. 列方程解应用题：北京时间 2015 年 7 月 31 日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得 2022 年第 24 届冬季奥林匹克运动会举办权．北京成为历史上第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约 180 千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的 1.5 倍，用时比普通快车用时少了 20 分钟，求高铁列车的平均行驶速度．

20. 图 1 是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数 V，网眼数 F，边数 E 之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：
（1）表中“☆”处应填的数字为 ；根据上述探索过程，可以猜想 V，F，E 之间满足的等量关系为 ；
（2）如图 2，若网眼形状为六边形，则 V，F，E 之间满足的等量关系为 ．

21. 如图，已知 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=2，△ABD 是等边三角形，求 CD 的长度．

22. 老师布置了这样一道作业题：
在 △ABC 中，AB=AC≠BC，点 D 和点 A 在直线 BC 的同侧，BD=BC，∠BAC=α，∠DBC=β，α+β=120∘，连接 AD，求 ∠ADB 的度数．
小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当 α=90∘，β=30∘ 时（如图 1），利用轴对称知识，以 AB 为对称轴构造 △ABD 的轴对称图形 △ABDʹ，连接 CDʹ（如图 2），然后利用 α=90∘，β=30∘ 以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．
（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下 ∠ADB 的度数；
（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决老师布置的这道作业题．

23. 先化简，再求值：x2−3x−1−2÷1x−1，其中 x 满足 x2−2x−3=0．

24. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 上，∠BCE=∠ACD=90∘，∠BAC=∠D，BC=EC．求证：△ABC≌△DEC．

25. 计算：
（1）23−27−13；
（2）412−6×3+12÷3；
（3）3−23+2+5−12．

26. 解方程：xx−1=4x2−1+1．

27. 如图，已知线段 AC，BD 相交于点 E，AE=DE，BE=CE．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）已知 AB=5，延长 BA，CD 相交于点 O，若 AO=4，则 CO 的长为 ．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. B【解析】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
4. B
5. D
6. C【解析】∵DE 是 △ABC 中 AC 边的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴△EBC 的周长 =BC+BE+EC=BC+BE+EA=BC+BA=18．
7. A【解析】∵5−mm+1=−1+61+m 表示一个正整数，
∴61+m 为大于 1 的正整数，且 1+m 能整除 6，
∴1+m=1或2或3，
∴m=0或1或2．
8. C
9. D【解析】227 是分数，也是有理数；4=2，是有理数；2.15 是循环小数，是有理数；1.01001000100001⋯（小数部分每相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1）是无限不循环小数．是无理数．
10. D
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 答案不唯一，正确即可，例如 a4
13. 5
【解析】如图所示．
14. 2
15. 23−3
【解析】根据题意得 3×2−3=23−3．
16. 322+16
第三部分
17. x2+1x2−1−x−2x−1÷x−2x=x2+1x−1x+1−x−2x−1×xx−2=x2+1x−1x+1−xx−1=x2+1x−1x+1−xx+1x−1x+1=x2+1−xx+1x−1x+1=x2+1−x2−xx−1x+1=1−xx−1x+1=−1x+1.
18. 设顶角的度数为 x．根据三角形内角和定理，
x+2x+2x=180∘,
解得
x=36∘.
故等腰三角形的顶角为 36∘，两个底角都是 2×36∘=72∘．
19. 设普通快车的平均行驶速度为 x 千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为 1.5 x 千米/时，
依题意得，
180x−1801.5x=2060,
x=180,
经检验，x=180 是原方程的解且符合题意，
180×1.5=270（千米/时）
答：此高铁列车的平均行驶速度为 270 千米/时．
20. （1） 17；V+F−E=1
【解析】由表格数据可以知道，
1 个网眼时：4+1−4=1；
2 个网眼时：6+2−7=1；
3 个网眼时：9+4−12=1；
4 个网眼时：12+6−☆=1，故“☆”处应填的数字为 17．
据此可以知道，V+F−E=1．
（2） V+F−E=1
【解析】若网眼形状为六边形时，
一个网眼时：V=6，F=1，E=6，此时 V+F−E=6+1−6=1；
二个网眼时：V=10，F=2，E=11，此时 V+F−E=10+2−11=1；
三个网眼时：V=13，F=3，E=15，此时 V+F−E=13+3−15=1；
故若网眼形状为六边形时，V，F，E 之间满足的等量关系为：V+F−E=1．
21. ∵∠ACB=90∘，AC=BC=2，
∴AB=AC2+BC2=2．∠CAB=∠CBA=45∘．
∵△ABD 是等边三角形，
∴AB=AD=BD=2，∠DAB=∠ABD=60∘．
∵AC=BC，AD=BD，
∴AB⊥CD 于 E，且 AE=BE=1．
∵ 在 Rt△AEC 中，∠AEC=90∘，∠EAC=45∘，
∴∠EAC=∠ACE=45∘．
∴AE=CE=1．
∵ 在 Rt△AED 中，AD=2，AE=1，
∴DE=AD2−AE2=3，
∴CD=3+1．
22. （1） 如图 1 作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ，
∵AB=AC，∠BAC=90∘，
∴∠ABC=45∘，
∵∠DBC=30∘，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=15∘，
在 △ABD 和 △ABDʹ 中，
AB=AB,∠ABD=∠ABDʹ,BD=BDʹ,
∴△ABD≌△ABDʹ，
∴∠ABD=∠ABDʹ=15∘，∠ADB=∠ADʹB，
∴∠DʹBC=∠ABDʹ+∠ABC=60∘，
∵BD=BDʹ，BD=BC，
∴BDʹ=BC，
∴△DʹBC 是等边三角形，
∴DʹB=DʹC，∠BDʹC=60∘，
∵AB=AC，ADʹ=ADʹ，
∴△ADʹB≌△ADʹC，
∴∠ADʹB=∠ADʹC，
∴∠ADʹB=12∠BDʹC=30∘，
∴∠ADB=30∘．
（2） 第①种情况：
当 60∘<α≤120∘ 时，如图 2，作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠BAC=α，
∴∠ABC=180∘−α2=90∘−α2，
∴∠ABD=∠ABC−∠DBC=90∘−α2−β，
同（1）可证 △ABD≌△ABDʹ，
∴ ∠ABD=∠ABDʹ=90∘−α2−β，BD=BDʹ，∠ADB=∠ADʹB．
∴∠DʹBC=∠ABDʹ+∠ABC=90∘−α2−β+90∘−α2=180∘−α+β,
∵α+β=120∘，
∴∠DʹBC=60∘，以下同（1）可求得 ∠ADB=30∘；
第②种情况：
当 0∘<α<60∘ 时，如图 3，作 ∠ABDʹ=∠ABD，BDʹ=BD，连接 CDʹ，ADʹ．
同理可得：∠ABC=180∘−α2=90∘−α2，
∴∠ABD=∠DBC−∠ABC=β−90∘−α2，
同（1）可证 △ABD≌△ABDʹ，
∴∠ABD=∠ABDʹ=β−90∘−α2，BD=BDʹ，∠ADB=∠ADʹB，
∴∠DʹBC=∠ABC−∠ABDʹ=90∘−α2−β−90∘−α2=180∘−α+β,
∴DʹB=DʹC，∠BDʹC=60∘．
同（1）可证 △ADʹB≌△ADʹC，
∴∠ADʹB=∠ADʹC，
∵∠ADʹB+∠ADʹC+∠BDʹC=360∘，
∴∠ADB=∠ADʹB=150∘．
23. 原式=x2−3x−1−2⋅x−1=x2−3x−1⋅x−1−2x−1=x2−3−2x+2=x2−2x−1.
由 x2−2x−3=0，得 x2−2x=3，
所以
原式=3−1=2.
24. ∵∠BCE=∠ACD=90∘，
∴∠BCE−∠ACE=∠ACD−∠ACE，即 ∠ACB=∠DCE．
在 △ABC 和 △DEC 中，
∠ACB=∠DCE,∠BAC=∠D,BC=EC,
∴△ABC≌△DECAAS．
25. （1） 原式=23−33+33=−233．
（2） 原式=22−32+2=2−2．
（3） 原式=32−22+6−25=7−25．
26.
xx−1=4x2−1+1.
方程两边都乘 x−1x+1，得
xx+1=4+x−1x+1.
解得
x=3.
检验：当 x=3 时，x−1x+1=8≠0．
故 x=3 是原方程的解．
27. （1） 在 △AEB 和 △DEC 中，AE=DE,∠AEB=∠DEC,BE=EC,
∴△AEB≌△DECSAS．
（2） 9
【解析】∵△AEB≌△DEC，
∴∠B=∠C，
∵AE=DE，BE=CE，
∴AE+CE=BE+DE，即 AC=BD，
又 ∠O=∠O，
∴△OCA≌△OBD，
∴OB=OC，
∵AB=5，AO=4，
∴CO=BO=9．