2021年北京平谷区一起作业演示学校（初中）八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京平谷区一起作业演示学校（初中）八年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 已知人体红细胞的平均直径是 0.00072 cm，用科学记数法可表示为
A. 7.2×10−3 cmB. 7.2×10−4 cmC. 7.2×10−5 cmD. 7.2×10−6 cm

2. 下列计算结果正确的是
A. x2+x3=x5B. x33=x6
C. x⋅x2=x2D. −2x2=4x2

3. 下列图形中对称轴的条数最少的是
A. 正五边形B. 等边三角形
C. 正方形D. 长宽不等的长方形

4. 按下列给定的条件画一个三角形，若图形唯一，则所给条件不可能是
A. 两边一夹角B. 两角一夹边C. 三边D. 三角

5. 下列各式中，正确的是
A. ba=b2a2B. a2+b2a+b=a+b
C. 2y2x+y=yx+yD. 1−x+y=−1x−y

6. 已知 x2−4x−1=0，则代数式 2xx−3−x−12+3 的值为
A. 3B. 2C. 1D. −1

7. 如图，在点 M，N，P，Q 中，一次函数 y=kx+2k<0 的图象不可能经过的点是
A. MB. NC. PD. Q

8. 如图，△ABC 与 △AʹBʹCʹ 关于直线 MN 对称，P 为 MN 上任一点，下列结论中错误的是
A. △AAʹP 是等腰三角形
B. MN 垂直平分 AAʹ，CCʹ
C. △ABC 与 △AʹBʹCʹ 的面积相等
D. 直线 AB，AʹBʹ 的交点不一定在 MN 上

9. 八年级学生去距学校 11 km 的科技馆参观，一部分学生骑自行车，过了 20 min 后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的 2 倍，求骑车学生的速度，设骑车学生的速度为 x km/h，则所列方程正确的是
A. 11x=112x−13B. 11x=112x−20C. 11x=112x+13D. 11x=112x+20

10. 如图①，在长方形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，设点 P 运动的路程为 x，△ABP 的面积为 y，如果 y 与 x 之间的图象如图②所示，则长方形 ABCD 的面积是
A. 10B. 16C. 20D. 36

二、填空题（共9小题；共45分）
11. 若代数式 1x−7 有意义，则实数 x 的取值范围是 ．

12. 点 B2,−3 关于 x 轴对称的点的坐标是 ．

13. 计算：9a3b÷3a2= ．

14. 如图，D 在 BC 边上，△ABC≌△ADE，∠EAC=40∘，则 ∠B 的度数为 ．

15. 如图，表示的是甲乙两人的运动图象：①甲的运动速度是 ，乙的运动速度是 ．②两人同时出发，相遇时，甲比乙多走 千米．

16. 计算：x+1x−1= ．

17. 如图，等边 △ABC 中，AD=BD，过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，过点 F 作 FE⊥BC 于点 E，若 AF=6，则线段 BE 的长为 ．

18. 如图，已知一次函数 y=kx+b 的图象与正比例函数 y=mx 的图象相交于点 P−3,2，则关于 x 的不等式 mx−b≥kx 的解集为 ．

19. 计算 2m+n−m−3nm2−n2 的结果是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
20. 因式分解：
（1）x2−9；
（2）2x2−2y2．

21. 化简：2aa+1−2a−4a2−1÷a−2a2−2a+1．

22. 解分式方程：4x2−1+1=x−1x+1．

23. 已知：线段 AB．
（1）尺规作图：作线段 AB 的垂直平分线 l，与线段 AB 交于点 D．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，点 C 为 l 上一个动点（点 C 不与点 D 重合）连接 CB，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为点 E．
①当垂足 E 在线段 BC 上时，直接写出 ∠ABC 度数的取值范围．
②请你画出一个垂足 E 在线段 BC 延长线上时的图形，并求证 ∠BAE=∠BCD．

24. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 在边 BC 上，AB=AC，AD=AE．求证：△ABD≌△ACE．

25. 在平面直角坐标系 xOy 中，二元一次方程的一个解可以用一个点表示，以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个方程的图象，例如 x=3,y=2 是方程 x−y=1 的一个解，用一个点 3,2 来表示，以方程 x−y=1 的解为坐标的点的全体叫做方程 x−y=1 的图象，方程 x−y=1 的图象是图中的直线 l1．
（1）二元一次方程 x+y=3 的图象是直线 l2，在同一坐标系中画出这个方程的图象；
（2）写出直线 l1 与直线 l2 的交点 M 的坐标；
（3）过点 P−1,0 且垂直于 x 轴的直线与 l1，l2 的交点分别为 A，B，直接写出三角形 MAB 的面积．

26. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1：y=kx+1 交 y 轴于点 A，交 x 轴交于 B3,0，直线 l2 平行于 y 轴，交直线 l1 于点 C，交 x 轴于点 D，点 D 的坐标为 1,0．
（1）求直线 l1 的解析式和点 A，C 的坐标；
（2）点 P 是直线 l2 上一动点，连接 PA，PB，当 △ABP 时以 AB 为直角边的直角三角形时，求点 P 的坐标．

27. 回答下列问题：
（1）根据图中条件，证明四边形 ABCD 是正方形．
①
②
（2）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形 ABCD 是正方形（填一个即可）．

28. 如图，在 △ABC 中，已知点 D 在线段 AB 的反向延长线上，过 AC 的中点 F 作线段 GE 交 ∠DAC 的平分线于点 E，交 BC 于点 G，且 AE∥BC．
（1）求证：△ABC 是等腰三角形．
（2）若 AE=8，AB=10，GC=2BG，求 △ABC 的周长．

29. 在平面直角坐标系 xOy 中，对于 P，Q 两点给出如下定义：若点 P 到 x，y 轴的距离中的最大值等于点 Q 到 x，y 轴的距离中的最大值，则称 P，Q 两点为“等距点”．如图中的 P，Q 两点即为“等距点”．
（1）已知点 A 的坐标为 −3,1，
①在点 E0,3，F3,−3，G2,−5 中，为点 A 的“等距点”的是 ；
②若点 B 在直线 y=x+6 上，且 A，B 两点为“等距点”，则点 B 的坐标为 ；
（2）直线 l:y=kx−3k>0 与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D．
①若 T1−1,t1，T24,t2 是直线 l 上的两点，且 T1 与 T2 为“等距点”，求 k 的值；
②当 k=1 时，半径为 r 的 ⊙O 上存在一点 M，线段 CD 上存在一点 N，使得 M，N 两点为“等距点”，直接写出 r 的取值范围．
答案
第一部分
1. B【解析】科学记数法：将数写成 a×10n，1≤∣a∣<10．
2. D【解析】A中 x2 与 x3 不能合并；B中结果为 x9；C中结果为 x3；D正确．
3. D
4. D
5. D
【解析】A：分式的分子和分母同时乘以一个不为 0 的数时，分式的值不变，即 ba≠b2a2，故选项A错误；
B：a2+b2a+b 不能再进行约分，即 a2+b2a+b≠a+b，故选项B错误；
C：只有分式的分子和分母有相同的公因式才能约分，即 2y2x+y≠yx+y，故选项C错误；
D：1−x+y=−1x−y，故选项D正确．
故答案选择D．
6. A
7. D
8. D【解析】直线 AB，AʹBʹ 的交点一定在 MN 上．
9. C【解析】设骑车学生的速度为 x km/h，则汽车的速度为 2x km/h，
由题意得，11x=112x+13．
10. C
【解析】∵ 动点 P 从点 B 出发，沿 BC，CD，DA 运动至点 A 停止，而当点 P 运动到点 C，D 之间时，△ABP 的面积不变，函数图象上横轴表示点 P 运动的路程，x=4 时，y 开始不变，说明 BC=4，x=9 时，接着变化，说明 CD=9−4=5，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB=5，BC=4，
∴ 长方形 ABCD 的面积是：4×5=20．
故选C．
第二部分
11. x≠7
12. 2,3
13. 3ab
【解析】9a3b÷3a2=3ab．
14. 70∘
【解析】∵△ABC≌△ADE，
∴AB=AD，∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC，
∵∠EAC=40∘，
∴∠BAD=40∘，
∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB=12180∘−∠BAD=70∘．
故答案为：70∘．
15. 6 千米/时，4 千米/时，10
16. x2−1
17. 15
【解析】∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A=∠C=60∘，AB=AC=BC，
∵DF⊥AC，
∴∠AFD=90∘，
∴∠ADF=90∘−∠A=30∘，
∴AD=2AF=12，
∴AB=24，
∴AC=BC=24，
∴FC=18，
在 Rt△FEC 中，∠EFC=90∘−∠C=30∘，
∴EC=12FC=9，
∴BE=BC−EC=15．
18. x≥−3
【解析】由图象可知：P 点横坐标为 −3，
当 x≥−3 时，y=mx 的函数在 y=kx+b 的函数图象上方，即 mx−b≥kx，
∴ 关于 x 的不等式 mx−b≥kx 的解集是 x≥−3．
19. 1m−n
第三部分
20. （1） 原式=x+3x−3．
（2） 原式=2x2−y2=2x+yx−y．
21. 原式=2aa+1−2a−2a+1a−1⋅a−12a−2=2aa+1−2a−1a+1=2a+1.
22. 去分母，得
4+x2−1=x2−2x+1.
移项，合并同类项，得
2x=−2.
系数化为 1，得
x=−1.
经检验 x=−1 是增根，
∴ 原分式方程无解．
23. （1） 如图所示：l 即为所求作的直线．
（2） ① 45∘≤∠ABC<90∘．
②如图．
因为线段 AB 的垂直平分线为 l，
所以 CD⊥AB．
因为 AE⊥BE，
所以 ∠AEB=∠BDC=90∘，
所以 ∠BAE+∠B=∠BCD+∠B=90∘，
所以 ∠BAE=∠BCD．
【解析】①连接 AC 当 ∠ACB≤90∘ 时，垂足 E 在线段 BC 上．
因为 CD 垂直平分 AB，
所以 CA=CB，
所以 ∠BAC=∠ABC．
因为 2∠ABC+∠ACB=180∘，
所以 2∠ABC≥90∘，
所以 ∠ABC≥45∘．
因为 ∠ABC 为锐角，
所以 45∘≤∠ABC<90∘．
24. ∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴180∘−∠ADE=180∘−∠AED，
即 ∠ADB=∠AEC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在 △ABD 和 △ACE 中，
∠ADB=∠AEC,∠B=∠C,AB=AC,
∴△ABD≌△ACEAAS．
25. （1） 对于二元一次方程 x+y=3，
当 x=0 时，y=3，
当 y=0 时，x=3，
则点 0,3，3,0 在直线 l2 上，
先描点，再连接两点，画出直线 l2 如图所示：
（2） x−y=1, ⋯⋯①x+y=3. ⋯⋯②
由① + ②得：2x=4，解得 x=2，
由② − ①得：2y=2，解得 y=1，
则方程组的解为 x=2,y=1.
因此，直线 l1 与直线 l2 的交点 M 的坐标 2,1．
（3） 9
【解析】由题意，画出图形如下：
对于 l1:x−y=1，
当 x=−1 时，−1−y=1，解得 y=−2，即 A−1,−2，
对于 l2:x+y=3，
当 x=−1 时，−1+y=3，解得 y=4，即 B−1,4，
所以 AB=4−−2=6，
因为 M2,1，
所以三角形 MAB 的 AB 边上的高为 2−−1=3，
则三角形 MAB 的面积为 12×6×3=9．
26. （1） 点 B3,0 在直线 l1 上，
则 3k+1=0，
解得，k=−13，
∴ 直线 l1 的解析式为 y=−13x+1，
则点 A 的坐标为 0,1，
∵ 直线 l2 平行于 y 轴，点 D 的坐标为 1,0，
∴ 点 C 的横坐标为 1，
当 x=1 时，y=−13×1+1=23，
∴ 点 C 的坐标为 1,23；
（2） 设点 P 的坐标为 1,b，
当点 P 在点 C 的上方，∠PAB=90∘ 时，
PA=12+b−12，AB=12+32=10，PB=22+b2，
由勾股定理得，PB2=PA2+AB2，即 4+b2=b2−2b+2+10，
解得，b=4，
则点 P 的坐标为 1,4；
当点 Pʹ 在点 C 的下方，∠PʹBA=90∘ 时，
PʹA=12+b−12，AB=12+32=10，PʹB=22+b2，
由勾股定理得，PʹA2=PʹB2+AB2，即 b2−2b+2=4+b2+10，
解得，b=−6，
则点 P 的坐标为 1,−6，
综上所述，当 △ABP 时以 AB 为直角边的直角三角形时，点 P 的坐标为 1,4 或 1,−6．
27. （1） ① ∵∠A=∠B=∠C=90∘，
∴ 四边形 ABCD 是矩形．
又 ∵AB=AD，
∴ 矩形 ABCD 是正方形．
② ∵AB=BC=CD=AD，
∴ 四边形 ABCD 是菱形．
∵∠B=90∘，
∴ 菱形 ABCD 是正方形．
（2） AC=BD
28. （1） ∵AE∥BC，
∴∠B=∠DAE，∠C=∠CAE，
∵AE 平分 ∠DAC，
∴∠DAE=∠CAE，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，
∴△ABC 是等腰三角形．
（2） ∵F 是 AC 的中点，
∴AF=CF．
∵AE∥BC，
∴∠C=∠CAE．
由对顶角相等可知 ∠AFE=∠GFC．
在 △AFE 和 △CFG 中，∠CAE=∠C,AF=FC,∠AFE=∠GFC,
∴△AFE≌△CFG，
∴AE=GC=8，
∵GC=2BG，
∴BG=4，
∴BC=12，
∴△ABC 的周长为 AB+AC+BC=10+10+12=32．
29. （1） E，F；−3,3
（2） ① ∵T1−1,t1，T24,t2 是直线 l 上的两点，
∴t1=−k−3，t2=4k−3．
∵k>0，
∴∣−k−3∣=k+3>1，4k−3>−3．
依题意可得：
当 −3<4k−3<4 时，k+3=4，
解得 k=1；
当 4k−3≥4 时，k+3=4k−3，
解得 k=2．
综上所述，k 的值为 1 或 2．
② 32≤r≤32．
【解析】线段 CD 上点 1.5,−1.5 距离 x，y 轴的最大距离最小，故 r 的最小值为 1.5；当点 3,−3 在 ⊙O 上时，r 可取得最大值 32．