2021年北京通州区漷县中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京通州区漷县中学八年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列运算中正确的是
A. x2÷x8=x−4B. a⋅a2=a2C. a32=a6D. 3a3=9a3

2. 石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体．石墨烯（Graphene）是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加 55 牛顿的压力才能使 0.000001 米长的石墨烯断裂．其中 0.000001 用科学记数法表示为
A. 1×10−6B. 10×10−7C. 0.1×10−5D. 1×106

3. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是
A. 2a2−2a+1=2aa−1+1B. x+yx−y=x2−y2
C. x2−6x+5=x−5x−1D. x2+y2=x−y2+2xy

4. 如图，已知 △ABE≌△ACD，下列选项中不能被证明的等式是
A. AD=AEB. DB=AEC. DF=EFD. DB=EC

5. 下列各式中，计算正确的是
A. 15x2y−5xy2÷5xy=3x−5y
B. 98×102=100−2100+2=9996
C. xx+3−1=3x+3
D. 3x+1x−2=3x2+x−2

6. 如图，∠D=∠C=90∘，E 是 DC 的中点，AE 平分 ∠DAB，∠DEA=28∘，则 ∠ABE 的度数是 ∘
A. 62B. 31C. 28D. 25

7. 在等边三角形 ABC 中，D，E 分别是 BC，AC 的中点，点 P 是线段 AD 上的一个动点，当 △PCE 的周长最小时，P 点的位置在
A. △ABC 的重心处B. AD 的中点处
C. A 点处D. D 点处

8. 定义运算 ab=a+1b+1，若 a≠−1，b≠−1，则下列等式中不正确的是
A. ab×ba=1B. ba+ca=b+ca
C. ab2=a2+2ab2+2bD. aa=1

9. 2017 年 6 月北京国际设计周面向社会公开征集“二十四节气”标识系统设计，以期通过现代设计的手段，尝试推动我国非物质文化遗产创新传承与发展．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

10. 要使分式 1x+2 有意义，则 x 的取值应满足
A. x=−2B. x<−2C. x>−2D. x≠−2

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. 点 M−2,3 关于 x 轴对称的点的坐标是 ．

13. 计算：−4a2b−12÷8ab2= ．

14. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于 D 点．若 BD 平分 ∠ABC，则 ∠A= ∘．

15. 教材中有如下一段文字：
如图，把一长一短的两根木棍的一端固定在一起，摆出 △ABC．固定住长木棍，转动短木棍，得到 △ABD．这个实验说明了什么?
图中的 △ABC 与 △ABD 满足两边和其中一边的对角分别相等，即 AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，但 △ABC 与 △ABD 不全等．这说明，有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
小明通过对上述问题的再思考，提出：两边分别相等且这两边中较大边所对的角相等的两个三角形全等．请你判断小明的说法 ．（填“正确”或“不正确”）

16. 如图 1，△ABC 中，AD 是 ∠BAC 的平分线，若 AB=AC+CD，那么 ∠ACB 与 ∠ABC 有怎样的数量关系?小明通过观察分析，形成了如下解题思路：
如图 2，延长 AC 到 E，使 CE=CD，连接 DE．由 AB=AC+CD，可得 AE=AB．又因为 AD 是 ∠BAC 的平分线，可得 △ABD≌△AED，进一步分析就可以得到 ∠ACB 与 ∠ABC 的数量关系．
（1）判定 △ABD 与 △AED 全等的依据是 ；
（2）∠ACB 与 ∠ABC 的数量关系为： ．

17. 分解因式 2x2−18= ．

18. 等腰三角形的两边分别为 1 和 2，则其周长为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 分解因式：a−4ba+b+3ab．

20. 如图，DE∥BC，点 A 为 DC 的中点，点 B，A，E 共线，求证：DE=CB．

21. 解下列方程：
（1）5x+2x2+x=3x+1；
（2）xx+2−1=1x−2．

22. 已知 a+b=2，求 1a+1b⋅aba−b2+4ab 的值．

23. 如图，在等边三角形 ABC 的三边上，分别取点 D，E，F，使得 △DEF 为等边三角形，求证：AD=BE=CF．

24. 列方程解应用题：
老舍先生曾说“天堂是什么样子，我不晓得，但从我的生活经验去判断，北平之秋便是天堂．”（摘自《住的梦》）金黄色的银杏叶为北京的秋增色不少．
小宇家附近新修了一段公路，他想给市政写信，建议在路的两边种上银杏树．他先让爸爸开车驶过这段公路，发现速度为 60 千米/小时，走了约 3 分钟，由此估算这段路长约 千米．
然后小宇查阅资料，得知银杏为落叶大乔木，成年银杏树树冠直径可达 8 米．小宇计划从路的起点开始，每 a 米种一棵树，绘制示意图如下：
考虑到投入资金的限制，他设计了另一种方案，将原计划的 a 扩大一倍，则路的两侧共计减少 200 棵树，请你求出 a 的值．

25. 在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形．有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
（1）非等边的等腰三角形有 条对称轴，非正方形的长方形有 条对称轴，等边三角形有 条对称轴；
（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有 1 条对称轴，其中图 1−2 和图 1−3 都可以看作由图 1−1 修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图 1−4 和图 1−5 中，分别修改图 1−2 和图 1−3，得到一个只有 1 条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
（3）小明希望构造出一个恰好有 2 条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图 2 中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
（4）请你画一个恰好有 3 条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．

26. 钝角三角形 ABC 中，∠BAC>90∘，∠ACB=α，∠ABC=β，过点 A 的直线 l 交 BC 边于点 D．点 E 在直线 l 上，且 BC=BE．
（1）若 AB=AC，点 E 在 AD 延长线上．
①当 α=30∘，点 D 恰好为 BC 中点时，补全图 1，直接写出 ∠BAE= ∘，∠BEA= ∘；
②如图 2，若 ∠BAE=2α，求 ∠BEA 的度数（用含 α 的代数式表示）；
（2）如图 3，若 AB
27. 通过对 25 题的研究，引起我们更多的思考：一个多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间存在联系吗?
（1）以凸六边形为例，如果这个凸六边形是轴对称图形，那么它可能有 条对称轴；
（2）凸五边形可以恰好有两条对称轴吗?如果存在请画出图形，并用虚线标出两条对称轴；否则，请说明理由；
（3）通过对（1）中凸六边形的研究，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是： ．
答案
第一部分
1. C
2. A
3. C【解析】A．2a2−2a+1=2aa−1+1，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意；B．x+yx−y=x2−y2，这是整式的乘法，故此选项不符合题意；C．x2−6x+5=x−5x−1，是因式分解，故此选项符合题意；D．x2+y2=x−y2+2xy，等号的右边不是整式的积的形式，故此选项不符合题意．
4. B【解析】∵△ABE≌△ACD，
∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠C，故A正确；
∴AB−AD=AC−AE，即 BD=EC，故D正确；
在 △BDF 和 △CEF 中，
∠B=∠C,∠BFD=∠CFE,BD=CE,
∴△BDF≌△CEFAAS，
∴DF=EF，故C正确．
5. B
6. C
7. A【解析】连接 BP，如图 1 所示．
∵△ABC 是等边三角形，D 是 BC 中点，
∴AD 是 BC 垂直平分线，
∴PB=PC，△PCE 周长 =EC+EP+PC=EC+EP+BP，当 E，P，B 在同一直线上时，△PCE 的周长最小，BE 为中线，
∴ 点 P 为 △ABC 的重心．
8. B【解析】A选项 ab×ba=a+1b+1×b+1a+1=1；
B选项 ba+ca=b+1a+1+c+1a+1，b+ca=b+c+1a+1≠ba+ca，
∴ B选项错误；
C选项 ab2=a+12b+12=a2+2a+1b2+2b+1=a2+2ab2+2b；
D选项 aa=a+1a+1=1．
9. D
10. D
【解析】由分式 1x+2 有意义，得 x+2≠0，解得 x≠−2．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. −2,−3
13. −a32b4
14. 36
15. 正确
【解析】如图 1，已知 AB=DE，AC=DF，且 AC>AB，∠ABC=∠DEF，作 AG⊥CB 于 G，DH⊥EF 于 H．
∵AG⊥CB，DH⊥EF，
∴∠AGB=∠AGC=∠DHE=∠DHF=90∘，
在 △AGB 和 △DHE 中，∠B=∠E,∠AGB=∠DHE,AB=DE,
∴△AGB≌△DHEAAS．
∴BG=EH，AG=DH，
在 Rt△AGC 和 Rt△DHF 中，AC=DF,AG=DH,
∴Rt△AGC≌Rt△DHFHL．
∴GC=HF，
又 ∵BG=EH（已证），
∴GC+BG=HF+EH，即 BC=EF，
在 △ABC 和 △DEF 中，AB=DE,AC=DF,BC=EF,
∴△ABC≌△DEFSSS．
16. SAS，∠ACB=2∠ABC
【解析】（1）
∵ AD 是 ∠BAC 的平分线，
∴ ∠BAD=∠EAD，
∵ AB=AC+CD，CE=CD，
∴ AB=AC+CE=AE，
在 △ABD 和 △AED 中，
AB=AE,∠BAD=∠EAD,AD=AD,
∴ △ABD≌△AED 的条件是 SAS．
（2）
∵ CE=CD，
∴ ∠CDE=∠CED，
∵ △ABD≌△AED，
∴ ∠ABC=∠CED=∠CDE，
又 ∵ ∠ACB=∠CDE+∠CED，
∴ ∠ACB=2∠ABC．
17. 2x−3x+3
18. 5
第三部分
19. 原式=a2−3ab−4b2+3ab=a2−4b2=a−2ba+2b.
20. ∵DE∥BC，
∴∠D=∠C，∠E=∠B．
∵ 点 A 为 DC 的中点，
∴DA=CA．
在 △ADE 和 △ACB 中，
∠D=∠C,∠E=∠B,DA=CA,
∴△ADE≌△ACB．
∴DE=CB．
21. （1）
5x+2=3x,2x=−2,x=−1.
当 x=−1 时，
x+1=0.
分母为 0 无意义，
所以，原方程无解．
（2） 去分母，得
xx−2−x+2x−2=x+2.
去括号，得
x2−2x−x2+4=x+2.
合并同类项，得
−3x=−2.
系数化为 1，得
x=23.
检验，当 x=23 时，
x+2x−2≠0.
所以，原方程的解为
x=23.
22. 1a+1b⋅aba−b2+4ab=a+bab⋅aba2−2ab+b2+4ab=a+bab⋅aba+b2=1a+b.
当 a+b=2 时，原式的值是 12．
23. 在等边三角形 ABC 中，∠A=∠B=60∘．
∴∠AFD+∠ADF=120∘．
∵△DEF 为等边三角形，
∴∠FDE=60∘，DF=ED．
∵∠BDE+∠EDF+∠ADF=180∘，
∴∠BDE+∠ADF=120∘．
∴∠BDE=∠AFD．
在 △ADF 和 △BED 中，
∠A=∠B,∠AFD=∠BDE,DF=ED,
∴△ADF≌△BED．
∴AD=BE．
同理可证：BE=CF．
∴AD=BE=CF．
24. 3
两侧共减少 200 棵树，故一侧减少 100 棵，由题意可得：
3000a−30002a=100,
解方程得：
a=15,
经检验：a=15 满足题意，且符合题意．
答：a 的值是 15．
25. （1） 1；2；3
（2） 恰好有 1 条对称轴的凸五边形如图中所示．
（3） 恰好有 2 条对称轴的凸六边形如图所示．
（4） 恰好有 3 条对称轴的凸六边形如图所示．
26. （1） ①补全图 1，如图 2 所示．
60；30．
②如图 3 所示，延长 DA 到 F，使得 AF=AC，连接 BF．
∵AB=AC，
∴α=β．
∴∠BAC=180∘−2α．
∵∠BAE=2α，
∴∠BAF=180∘−2α，
∴∠BAF=∠BAC，
在 △BAF 和 △BAC 中，
AF=AC,∠BAF=∠BAC,BA=BA,
∴△BAF≌△BAC，
∴∠F=∠C，BF=BC．
∵BE=BC，
∴BF=BE，
∴∠BEA=∠F=∠C=α．
（2） ∠BAE=α+β 或 ∠BAE+α+β=180∘．
27. （1） 1，2，3 或 6
（2） 不可以．
理由如下：根据轴对称图形的定义，若一个凸多边形是轴对称图形，则对称轴与多边形的交点是多边形的顶点或一条边的中点．
若多边形的边数是奇数，则对称轴必经过一个顶点和一条边的中点．
如图，
设凸五边形 ABCDE 是轴对称图形，恰好有两条对称轴 l1，l2，其中 l1 经过 A 和 CD 的中点．
若 l2⊥l1，则 l2 与五边形 ABCDE 的两个交点关于 l1 对称，与对称轴必经过一个顶点和一条边的中点矛盾；
若 l2 不垂直于 l1，则 l2 关于 l1 的对称直线也是五边形 ABCDE 的对称轴，与恰好有两条对称轴矛盾．
所以，凸五边形不可以恰好有两条对称轴．
（3） 对称轴的条数是多边形边数的约数