2021年北京平谷区北京师范大学附属平谷中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京平谷区北京师范大学附属平谷中学八年级上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 若分式 x−2x+5 的值为 0，则 x 的值是
A. 2B. 0C. −2D. −5

2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 计算 a32÷a2 的结果是
A. a3B. a4C. a7D. a8

4. 如图所示在 △ABC 中，AB 边上的高线画法正确的是
A. B.
C. D.

5. 若等腰三角形的周长是 18，一条边的长是 5，则其他两边的长是
A. 5，8B. 6.5，6.5
C. 8，6.5D. 5，8 或 6.5，6.5

6. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AD 平分 ∠BAC，DE⊥AB 于 E，下列结论：
① CD=ED；
② AC+BE=AB；
③ ∠BDE=∠BAC；
④ BE=DE；
⑤ S△BDE:S△ACD=BD:AC，
其中正确的个数为
A. 5 个B. 4 个C. 3 个D. 2 个

7. 一个圆柱形容器的容积为 2V m3，开始用一个小水管向容积内注水，水面高度达到容积的一半后，改用一根口径（直径）为小水管 2 倍的大水管注水，向容器中注满水的全过程共用时间 t min．设小水管的注水速度为 x m3/min，则下列方程正确的是
A. Vx+V2x=tB. Vx+V4x=tC. Vx+V4x=2tD. V2x+V4x=t

8. 如图所示，长为 a，宽为 b 的长方形的周长为 14，面积为 10，则 a2+b2 的值为
A. 140B. 70C. 35D. 29

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 9 意义，0 意义，−9 意义．（填“有”或“无”）

10. 分解因式 x3−4x= ．

11. 比较大小：（1）3 10；（2）23 32；（3）−211 −35．

12. 平移的方向是图形上的某一点到它 点的方向：平移的距离是图形上的某一点到它对应点的连线的 .

13. 计算：x+3x−5= ．

14. 若一个三角形的三条高的交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形是 三角形．

15. 计算：−a−2b2= ．

16. 如图，在平面直角坐标系中，点 A2,2，连接 AO，点 P 在 x 轴上，使 △AOP 为等腰三角形的点 P 的个数有 个．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 化简：
（1）−2x+6⋅−12x．
（2）mm−2−m−12．

18. 计算：24÷3−12×10+20．

19. 解分式方程：3x−1+2=xx−1．

20. 已知：如图，在 △ABC 和 △DEF 中，点 B，E，C，F 四点在一条直线上，且 BE=CF，AB=DE，∠B=∠DEF．
求证：△ABC≌△DEF．

21. 先化简，再求值：x2+2x+1x2+x÷1+x2x−2x，其中 x=2+1．

22. 先化简，x2+4x+4x2−4−x−2÷x+2x−2，然后从 −2≤x≤2 范围内选取一个合适的整数作为 x 的值代入求值．

23. 请回答下列问题：
（1）如图，在 △ABC 中，AD⊥BC，∠1=∠B，求证：△ABC 是直角三角形．
（2）你在（1）的证明过程中，运用了哪两个互逆的真命题?

24. 已知：如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是点 E，F，BE，CF 交于点 D，且 BD=CD．求证：AD 平分 ∠BAC．

25. 观察下列各式：
16=12×13=12−13；
112=13×14=13−14；
120=14×15=14−15．
（1）由此可推断 156= ；
（2）请猜想（1）的特点的一般规律，用含 m 的等式表示出来为 = （m 是正整数）．
（3）请参考（2）中的规律计算：1x−2x−3−2x−1x−3−1x−1x−2．

26. 如图，在 ∠AOB 外有一点 P．
（1）试画出点 P 关于直线 OA 的对称点 P1，再画出点 P1 关于直线 OB 的对称点 P2；
（2）试探索 ∠POP2 与 ∠AOB 的数量关系并说明理由；
（3）若点 P 在 ∠AOB 的内部，上述结论还成立吗?若成立，请说明理由；若不成立，请写出此时 ∠POP2 与 ∠AOB 的数量关系．

27. 国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种．国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制它所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格．图甲是一个 4×4 的小方格棋盘，图中的“皇后 Q”能控制图中虚线所经过的每一个小方格．
（1）在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后 Q”，它所在的位置可用“2,3”来表示，请说明“皇后 Q”所在的位置“2,3”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后 Q”所控制的四个位置；
（2）图丙也是一个 4×4 的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后 Q”，使这四个“皇后 Q”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母 Q 即可）．
答案
第一部分
1. A
2. A【解析】A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
3. B【解析】a32÷a2=a3×2÷a2=a6−2=a4．
4. B【解析】在 △ABC 中，AB 边上的高线画法正确的是B，故选：B．
5. D
【解析】①底边长为 5，则腰长为：18−5÷2=6.5，
所以另两边的长为 6.5，6.5，能构成三角形；
②腰长为 5，则底边长为：18−5×2=8，底边长为 8，另一个腰长为 5，能构成三角形．
因此其他两边长为 8，5 或 6.5，6.5．
6. C【解析】∵AD 平分 ∠BAC，
∴∠DAC=∠DAE，
∴∠C=90∘，DE⊥AB，
∴∠C=∠E=90∘，
∴AD=AD，
∴△DAC≌△DAE，
∴∠CDA=∠EDA，
∴ ① AD 平分 ∠CDE 正确；
无法证明 ∠BDE=60∘，
∴ ③ DE 平分 ∠ADB 是错误；
∴BE+AE=AB，AE=AC，
∴BE+AC=AB，
∴∠BDE=90∘−∠B，∠BAC=90∘−∠B，
∴∠BDE=∠BAC，
∴ ② ∠BAC=∠BDE 正确．
故选C．
7. B【解析】设小水管的注水速度为 x m3/min，
水的球速度是 4x m3/min，
依题意得，Vx+V4x=t．
8. D【解析】由题意可知 2a+b=14，ab=10，
∴a+b=7，
∴a2+b2=a+b2−2ab=49−20=29．
故选D．
第二部分
9. 有，有，无
10. xx+2x−2
11. <，<，>
12. 对应，长度
13. x2−2x−15
14. 直角
【解析】直角三角形的两条直角边是直角三角形的两条高，第三边上的高过直角三角形的直角顶点，故它的三条高线的交点恰好是此三角形的一个顶点．
15. a2+4ab+4b2
16. 4
【解析】如图，
OA=22+22=22；
①若 OA=AP，则点 Pʺ4,0，P−22,0；
②若 OA=OP，则点 Pʹ2,0，Pʺ22,0．
第三部分
17. （1） 原式=x2−3x．
（2） 原式=m2−2m−m2−2m+1=m2−2m−m2+2m−1=−1.
18. 原式=24÷3−12×10+25=8−5+25=22+5.
19. 方程两边同乘以 x−1，得
3+2x−1=x3+2x−2=x2x−x=2−3x=−1.
经检验，x=−1 是原分式方程的解．
20. ∵BE=CF，
∴BC=EF，
∴ 在 △ABC 与 △DEF 中，
AB=DE∠B=∠DEFBC=EF
∴△ABC≌△DEFSAS．
21. 原式=x+12xx+1÷1+x2−2x2x=x+12xx+1⋅x1+x1−x=11−x,
当 x=2+1 时，
原式=11−2−1=−22．
22. 原式=x+22x+2x−2−x−2÷x+2x−2=x+2x−2−x+2x−2x−2⋅x−2x+2=x−x2+6x−2⋅x−2x+2=−x+2x−3x+2=3−x.
取 x=0．将 x=0 代入得 原式=3−0=3．
23. （1） ∵AD⊥BC，
∴∠1+∠C=90∘，
∵∠1=∠B，
∴∠B+∠C=90∘，
∴△ABC 是直角三角形．
（2） 利用了直角三角形的两个锐角互余，有两个角互余的三角形是直角三角形．
24. 提示：证明 △BFD≌△CED，得 DF=DE，所以 AD 平分 ∠BAC．
25. （1） 17−18
【解析】156=17×18=17−18，
故答案为：17−18．
（2） 1mm+1；1m−1m+1
（3） 1x−2x−3−2x−1x−3−1x−1x−2=1x−3−1x−2−1x−3−1x−1−1x−2−1x−1=1x−3−1x−2−1x−3+1x−1−1x−2+1x−1=2x−1−2x−2=−2x−2x−1.
26. （1） 如图（1）所示．
（2） ∠POP2=2∠AOB．
理由：如图（1），
∵ 点 P 关于直线 OA 的对称点为 P1，点 P1 与 P2 关于直线 OB 对称，
∴∠POD=∠DOP1，∠P2OE=∠P1OE，
∴∠POD+∠P2OE=∠DOP1+∠P1OE，即 ∠POP2=2∠AOB．
（3） 若点 P 在 ∠AOB 的内部，结论 ∠POP2=2∠AOB 还成立．
理由：如图（2），
∵ 点 P 关于直线 OA 的对称点为 P1，点 P1 与 P2 关于直线 OB 对称，
∴∠POD=∠DOP1，∠P2OE=∠P1OE，
∴∠POP2=∠POE+∠P2OE=∠P1OE+∠POE=∠P1OD+∠POD+∠POE+∠POE=2∠POD+2∠POE=2∠AOB.
27. （1） “皇后 Q”所在的位置“2,3”的意义：Q 位于棋盘中的第 2 列、第 3 行的位置；棋盘中不能被“皇后 Q”所控制的四个位置是 1,1，3,1，4,2，4,4．
（2） 答案不唯一，如图．