2021年北京朝阳区信息工程学院附属中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区信息工程学院附属中学八年级上期末数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 如果二次根式 x−1 成立，那么 x 的取值范围是
A. x≥0B. x>0C. x≥1D. x≠1

2. 京剧被誉为我国国粹，为传承民族文化，丰台区某中学开展了“京剧进课堂”的实践活动，学生们制作了各式各样的脸谱．下列脸谱中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 4 的平方根是
A. ±2B. ±2C. 2D. 16

4. 下列是随机事件的是
A. 2017 年 2 月 18 日是我国二十四节气中的“雨水”节气，这一天会下雨
B. 某班级 15 名学生中，至少有两名同学的生日在同一个月份
C. 用长度分别为 2 cm，3 cm，6 cm 的细木条首尾相连组成一个三角形
D. 从分别写有 π，2，0.1010010001⋯（两个 1 之间依次多一个 0）三个数字的卡片中随机抽出一张，卡片上的数字是无理数

5. 下列式子为最简二次根式的是
A. 13B. 12C. 8D. 10

6. 如果等腰三角形的一个角为 40∘，那么这个等腰三角形的顶角的度数为
A. 40∘B. 100∘C. 40∘ 或 70∘D. 40∘ 或 100∘

7. 计算 2+32−3 的结果是
A. −1B. 1C. −5D. 5

8. 下列各式从左到右的变形正确的是
A. −x+yx−y=−1B. xy=x+1y+1
C. xx+y=11+yD. −3xy2=3x2y2

9. 液晶电视的尺寸是指液晶电视屏幕的对角线的长度．小志家刚乔迁新居，准备购买一台液晶电视．根据他家背景墙的大小及观看距离，液晶电视的长度不超过 90 cm，宽度不超过 50 cm．请参考“液晶电视尺寸对照表”，通过估算，帮助小志家选择尽可能大的液晶电视的尺寸是 英寸．
A. 34B. 37C. 40D. 42

10. 如图，等边 △ABC 的边长为 6，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AC 边的中点．如果点 P 是 AD 上的动点，那么 EP+CP 的最小值为
A. 3B. 32C. 33D. 35

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

12. “神舟”十一号飞船圆满完成了我国第六次载人飞行任务，创造了我国航天员太空驻留新纪录，标志着我国航天工程取得新的重大进展．“神舟”十一号飞船的发射架上面有许多焊接成三角形的图形．为什么要焊接成这样的形状呢?理由是 ．

13. 如图，一个不透明的盒子中装有 6 张十二生肖邮票，其中有 3 张“猴票”，2 张“鸡票”和 1 张“狗票”，这些邮票除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张邮票，恰好是“猴票”的可能性为 ．

14. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，AD 是 ∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，若 DE=3 cm，BE=4 cm，则 BC= cm．

15. 小明在学习分式运算过程中，计算 1x+2−1x−2 的解答过程如下：
解：
1x+2−1x−2=x−2x+2x−2−x+2x−2x+2 ⋯⋯①=x−2−x+2 ⋯⋯②=x−2−x−2 ⋯⋯③=−4, ⋯⋯④
李老师批阅小明的解答过程，并和小明交流了计算过程中出现的错误．请你指出小明解答过程中的错误出现在第 步（写出对应的序号即可），错误的原因是 ，请将该步改写正确： ．

16. 图 1 是以 a，b，c 为边的直角三角形，图 2 是用 4 个这样全等的直角三角形拼出的一个大正方形，这就是著名的“赵爽弦图”．赵爽利用这个图形证明了勾股定理．请你写出一个用 a，b，c 表达图 2 全部含义的等式： ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 计算：327+∣1−3∣−12．

18. 计算：a2+aa2−2a+1÷a+1a−1．

19. 如图，已知 △ABC．
（1）用尺规作 BC 边上的垂直平分线交 AB 于点 M，交 BC 于点 N；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）你作图的依据是 ．

20. 如图，∠BAC=∠DAC．请添加一个条件使得 △ABC≌△ADC 并加以证明．

21. 某校组织八年级学生到离学校 8 km 的军事博物馆参观纪念长征胜利 80 周年主题展览．一部分学生骑自行车前往，另一部分学生在骑自行车的学生出发 20 min 后，乘坐汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的学生与乘汽车的学生同时到达目的地．已知汽车速度是自行车速度的 3 倍，求自行车和汽车的速度．

22. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点，线段 AC 的两个端点均在格点上．
（1）画出格点 P 关于直线 AC 的对称点 Q，连接 AQ，QC，CP，PA，并直接写出四边形 AQCP 的周长；
（2）判断 ∠QAP 的度数并写出求 ∠QAP 度数的思路．

23. 对于一类特殊的二次根式，它的被开方数由整数与分数的和构成，且将根号内的整数直接移到根号外面，所得的结果不变，我们把反映上述相等关系的式子叫做“和谐等式”．
如 2+23=223，3+38=338，4+415=4415 等都是“和谐等式”．
（1）请写出一个与上面的式子不同的“和谐等式”；
（2）如果 n 为整数，且 n>1，请用含 n 的式子表示“和谐等式”并加以证明．

24. 课堂上，老师提出问题：
已知：如图 1，在 △ABC 中，∠A 是锐角，AB=AC，点 D，E 分别在 AC，AB 上，BD 与 CE 相交于点 O，且 ∠DBC=∠ECB=12∠A．
（1）写出图 1 中与 ∠A 相等的角，并加以证明；
（2）判断 BE 与 CD 之间的数量关系，并说明理由．
小丽首先通过观察度量，找到了与 ∠A 相等的角，并利用三角形外角的性质证明了结论的正确性；她又利用全等三角形的知识，得到了 BE=CD．小丽继续思考，提出新问题：如果 AB≠AC，其他条件不变，那么上述结论是否仍然成立?同学们画出图 2，通过分析得到猜想：当 AB≠AC 时，上述结论仍然成立．同学们发现，第（1）问结论的证明方法与 AB=AC 时的证明方法完全一致；又通过讨论，形成了证明第（2）问结论的几种想法：
想法 1：在 OE 上取一点 F，使得 OF=OD，故 △OBF≌△OCD，欲证 BE=CD，即证 BE=BF．
想法 2：在 OD 的延长线上取一点 M，使得 OM=OE，故 △OBE≌△OCM，欲证 BE=CD，即证 CD=CM．
想法 3：分别过点 B，C 作 OE 和 OD 的垂线段 BP，CQ，可得 △OBP≌△OCQ，欲证 BE=CD，即证 △BEP≌△CDQ 即可．
⋯⋯
请你参考上面的材料，解决下列问题：
（1）直接写出图 2 中与 ∠A 相等的一个角；
（2）请你在图 2 中，帮助小丽证明 BE=CD．（一种方法即可）

25. 解方程：x+1x−1−4x2−1=1．

26. 先化简： a2−b2a2−ab÷a+2ab+b2a ，当 b=−1 时，再从 −2答案
第一部分
1. C
2. D
3. B
4. A
5. D
6. D
7. B
8. A
9. C【解析】由题意可知，液晶电视的屏幕对角线长度的最大值 =902+502=103.96 cm，
对照所给表中的数据可知：液晶电视的最大尺寸为 40 英寸．
10. C
【解析】如图，连接 BP，
∵ 等边 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，
∴ AD 是 BC 边上的高线，即 AD 垂直平分 BC，
∴ PB=PC，
当 B，P，E 三点共线时，EP+CP=EP+BP=BE，
∵ 等边 △ABC 中，E 是 AC 边的中点，
∴ Rt△ABE 中：BE=AB2−AE2=62−32=33，
∴ EP+CP 的最小值为 33．
第二部分
11. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
12. 三角形具有稳定性
13. 12
14. 8
15. ②，去分母，x−2−x+2x+2x−2
【解析】观察解答步骤可以发现，在第 ② 步计算时出现错误此时没有保留分母，进而导致计算结果的错误，该步的正确结果应为：x−2−x+2x+2x−2．
16. c2=4×12ab+b−a2（答案不唯一）
【解析】图 1 中三角形的面积为：12ab；
图 2 中的大正方形的面积为：c2；
图 2 中的小正方形的面积为：b−a2；
可以得到等式：c2=4×12ab+b−a2．
第三部分
17. 原式=3+3−1−23=2−3.
18. 原式=aa+1a−12⋅a−1a+1=aa−1.
19. （1） 如图：MN 为所求．
（2） 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线（答案不唯一）
20. （答案不唯一），示例：添加：∠B=∠D，
证明：在 △ABC 和 △ADC 中，
∠BAC=∠DAC已知,∠B=∠D已知,AC=AC公共边,
∴△ABC≌△ADCAAS．
21. 设自行车的速度是 x km/h，则汽车的速度是 3x km/h．
根据题意，得
8x−83x=2060.
解这个方程，得
x=16.
经检验，x=16 是所列方程的解，并且符合实际问题的意义．
当 x=16 时，3x=3×16=48．
答：自行车和汽车的速度分别是 16 km/h 和 48 km/h．
22. （1） 如图 1：
四边形 AQCP 的周长为 410．
（2） ∠QAP 的度数为 90∘．分析思路：
方法一：①由点 A，P，Q 都是格点，每个小正方形边长都是 1，
由勾股定理可知，AP=10，AQ=10，PQ=25；
②由 AP2+AQ2=20 及 PQ2=20 得 AP2+AQ2=PQ2，
根据勾股定理逆定理可得 ∠QAP 为 90∘．
【解析】方法二：①如图 2，
设格点 M，N，由点 A，P，Q 也是格点，每个小正方形边长都是 1，可知，AM=QN=1，PM=AN=3，∠AMP=∠QNA=90∘．
②从而可以推出 △AMP≌△QNA，故 ∠APM=∠QAN；
③由 ∠APM+∠MAP=90∘ 可知，∠QAN+∠MAP=90∘，即 ∠QAP 为 90∘．
23. （1） 5+524=5524．
（2） n+nn2−1=nnn2−1（n>1，且 n 为整数）．
证明：∵左边=nn2−1+nn2−1=n3n2−1=nnn2−1=右边，
∴ 等式成立．
24. （1） ∠COD（答案不唯一）；
（2） 如图，在 OE 上取一点 F，使得 OF=OD，
∵ ∠DBC=∠ECB=12∠A，
∴OB=OC，
在 △OBF 和 △OCD 中，
OF=OD,∠FOB=∠DOC,OB=OC.
∴△OBF≌△OCDSAS．
∴BF=CD，∠3=∠4．
∵∠6=∠ECB+∠CBF=∠ECB+∠DBC+∠3=12∠A+12∠A+∠3=∠A+∠3,
∠5=∠A+∠4，
∴∠5=∠6，
∴BE=BF，
∴BE=CD．
证法不唯一．
25. 去分母，得
x+12−4=x2−1.
去括号，得
x2+2x+1−4=x2−1.
移项合并，得
2x=2.
解得
x=1.
检验：当 x=1 时，x2−1=0，
∴ x=1 是增根，应舍去．
∴ 原分式方程无解．
26. 原式= a+ba−baa−b÷a2+2ab+b2a=1a+b
在 −2①若 a=−1, 分式 a2−b2a2−ab 无意义；
②若 a=0, 分式 2ab+b2a 无意义；
③若 a=1, 分式 1a+b 无意义．
所以 a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）．