2021年北京房山区良乡五中八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京房山区良乡五中八年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列标志是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列运算中，正确的是
A. a10÷a5=a2B. a34=a7
C. x−y2=x2−y2D. 4a3⋅−3a3=−12a6

3. 若三角形的三边长分别是 a，b，c，且 a−252+a−b−1+∣c−4∣=0，则这个三角形的周长是
A. 25+5B. 45−3C. 45+5D. 45+3

4. 下列各数中，能使二次根式 2x−3 有意义的是
A. −1B. 0C. 2D. 1

5. 如图，如果点 M 在 ∠ANB 的角平分线上，AM⊥AN，BM⊥BN，那么和 AM 相等的线段是 ．
A. BMB. BNC. MND. AN

6. 下列关系式中，正确的是
A. a−b2=a2−b2B. a+ba−b=a2−b2
C. a+b2=a2+b2D. a+b2=a2−2ab+b2

7. 分式 ∣x∣−3x+3 的值为零，则 x 的值为
A. 3B. −3C. ±3D. 任意实数

8. 一件工作，甲单独做 a 小时完成，乙单独做 b 小时完成，则甲、乙两人合作完成需要 小时．
A. 1a+1bB. 1abC. 1a+bD. aba+b

9. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，则图中共有全等三角形
A. 5 对B. 4 对C. 3 对D. 2 对

10. 如图，直线 L 是一条河，P，Q 是两个村庄．欲在 L 上的某处修建一个水泵站，向 P，Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 某种电子元件的面积大约为 0.00000069 平方毫米，将 0.00000069 这个数用科学记数法表示为 ．

12. 如图所示，已知 ∠1=∠2，请你添加一个条件，使 △ABC≌△BAD，你的添加条件是 （填一个即可）．

13. 若代数式 x2+2x−7 可以表示为 x−22+ax−2+1 的形式，则 a= ．

14. 如图，已知 ∠AOB=60∘，点 P 在边 OA 上，OP=12，点 M，N 在边 OB 上，PM=PN，若 MN=2，则 OM= ．

15. 我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了 a+bnn=1,2,3,4,⋯ 的展开式的系数规律（按 a 的次数由大到小的顺序）：
11121133114641⋯⋯
a+b1=a+b
a+b2=a2+2ab+b2
a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3
a+b4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
⋯⋯
请依据上述规律，写出 x−2x2016 展开式中含 x2014 项的系数是 ．

16. 如图钢架中，∠A=n∘，依次焊上等长的钢条 P1P2，P2P3，⋯，来加固钢架，若 P1A=P1P2，要使得这样的钢条只能焊上 4 根，则 n 的取值范围是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
17. 如图，已知 ∠ABD=∠DCA，∠ACB=∠DBC．求证：△ABC≌△DCB．

18. 请回答下列问题：
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2+4x+4= ；16x2+8x+1= ；9x2−12x+4= ．
（2）观察以上三个多项式的系数，有 42=4×1×4，82=4×16×1，−122=4×9×4，于是小明猜测：若多项式 ax2+bx+c（a>0）是完全平方式，则实数系数 a，b，c 一定存在某种类系：
①请你用数学式子表示 a，b，c 之间的关系： ．
②解决问题：若多项式 x2−2m−3x+10−6m 是一个完全平方式，求 m 的值．

19. （1）计算：−22+3−27−13−1×π−20；
（2）先化简：再求值：a2−b2a2−ab÷a+2ab+b2a，其中 a=2−1,b=1

20. 先化简： a2−b2a2−ab÷a+2ab+b2a ，当 b=−1 时，再从 −2
21. 解方程：x+1x−1−4x2−1=1．

22. 如图，方格纸上画有 AB，CD 两条线段，按下列要求作图（不保留作图痕迹，不要求写出作法）．
（1）请你在图（1）中画出线段 AB 关于 CD 所在的直线成轴对称的图形；
（2）请你在图（2）中添上一条线段，使图中的 3 条线段组成一个轴对称图形，请画出所有情形．

23. 小芸在班级办黑板报时遇到了一个难题，在版面设计过程中需将一个半圆面三等分，请你帮助她设计一个合理的等分方案．要求用尺规作出图形，保留作图痕迹，并简要写出作法．

24. 已知：如图所示，点 D 、 E 分别在等边 △ABC 的边 BC 、 AC 上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于点 F．
（1）求证：△ABE≌△CAD
（2）求 ∠BFD 的度数．

25. 某市为创建全国文明城市，开展“美化绿化城市”活动，计划经过若干年使城区绿化总面积新增 360 万平方米．自 2013 年初开始实施后，实际每年绿化面积是原计划的 1.6 倍，这样可提前 4 年完成任务．
（1）问实际每年绿化面积多少万平方米?
（2）为加大创城力度，市政府决定从 2016 年起加快绿化速度，要求不超过 2 年完成，那么实际平均每年绿化面积至少还要增加多少万平方米?

26. （1）（1）问题发现
如图1，△ACB 和 △DCE 均为等边三角形，点 A 、 D 、 E 在同一直线上，连接 BE .
填空：
（1）∠AEB 的度数为 ；
（2）线段 BE 和 AD 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘ ， 点 A 、 D 、 E 在同一直线上，CM 为 △DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断 ∠AEB 的度数及线段 CM 、 AE 、 BE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形 ABCD 中，CD=2．若点 P 满足 PD=1 ，且 ∠BPD=90∘，请直接写出点 A 到 BP 的距离．
答案
第一部分
1. B
2. D
3. D
4. C【解析】由题意得，2x−3≥0，
解得，x≥32，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
5. A
6. B【解析】A、应为 a−b2=a2−2ab+b2，本选项错误；
B、 a+ba−b=a2−b2，本选项正确；
C、应为 a+b2=a2+2ab+b2，本选项错误；
D、应为 a+b2=a2+2ab+b2，本选项错误．
7. A
8. D
9. A
10. D
【解析】过 P 点作 L 的对称点，然后与 Q 点相连，此时与 L 的交点为 M .
第二部分
11. 6.9×10−7
12. BC=AD 或 ∠C=∠D 或 ∠ABD=∠BAC
13. 6
【解析】x−22+ax−2+1=x2−4x+4+ax−2a+1=x2+a−4x+5−2a,
∵ 代数式 x2+2x−7 可以表示为 x−22+ax−2+1 的形式，
∴5−2a=−7，解得 a=6．
14. 5
15. −4032
16. 18≤n<22.5
【解析】
∵AP1=P1P2，P1P2=P2P3，P3P4=P2P3，P3P4=P4P5，
∴∠A=∠P1P2A，∠P2P1P3=∠P2P3P1，∠P3P2P4=∠P3P4P2，∠P4P3P5=∠P4P5P3．
∴∠P3P5P4=4∠A<90∘．
∵ 要使得这样的钢条只能焊上 4 根，
∴∠P5P4B=5∠A≥90∘．
∴18≤n<22.5．
第三部分
17. ∵∠ABD=∠DCA，∠ACB=∠DBC，
∴∠ABD+∠DBC=∠DCA+∠ACB，即 ∠ABC=∠DCB．
在 △ABC 和 △DCB 中，
∠ABC=∠DCB,BC=CB,∠ACB=∠DBC,
∴△ABC≌△DCBASA．
18. （1） x+22；4x+12；3x−22
（2） ① b2=4ac
② ∵ 多项式 x2−2m−3x+10−6m 是一个完全平方式，
∴−2m−32=4×1×10−6m，
解得 m=±1．
19. （1） 原式 =−4−3−3=−10．
（2） 原式
=a+ba−baa−b÷a+b2a=1a+b=12−1+1=22.
20. 原式= a+ba−baa−b÷a2+2ab+b2a=1a+b
在 −2①若 a=−1, 分式 a2−b2a2−ab 无意义；
②若 a=0, 分式 2ab+b2a 无意义；
③若 a=1, 分式 1a+b 无意义．
所以 a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）．
21. 去分母，得
x+12−4=x2−1.
去括号，得
x2+2x+1−4=x2−1.
移项合并，得
2x=2.
解得
x=1.
检验：当 x=1 时，x2−1=0，
∴ x=1 是增根，应舍去．
∴ 原分式方程无解．
22. （1） 所作图形如下图（1）所示．
（2） 添上的线段为 AE，HI，GK，如图（2）所示．
23. （1）作 AB 的垂直平分线 CD 交 AB 于点 O；
（2）分别以 A，B 为圆心，以 AO（或 BO）的长为半径画弧，分别交半圆于点 M，N；
（3）连接 OM，ON 即可．
24. （1） ∵△ABC 是等边三角形
∴∠BAE=∠C=60∘，AB＝AC .
∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD .
（2） ∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABF=∠EAF .
∵∠BFD=∠ABF+∠BAF，
∴∠BFD=∠EAF+∠BAF=∠BAC=60∘ .
25. （1） 设原计划每年绿化面积为 x 万平方米，则实际每年绿化面积为 1.6x 万平方米．由题意得
360x−3601.6x=4,
解得
x=33.75.
经检验，x=33.75 是原分式方程的解，
则 1.6x=1.6×33.75=54（万平方米）．
答：实际每年绿化面积为 54 万平方米．
（2） 设平均每年绿化面积增加 a 万平方米．根据题意得
54×3+254+a≥360,
解得
a≥45.
答：实际平均每年绿化面积至少还要增加 45 万平方米．
26. （1） ① 60∘ ；② AD=BE
（2） ∵△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE−∠DCB，即 ∠ACD=∠BCE .
∴△ACD≌△BCE .
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135∘．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘．
在等腰直角三角形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，
∴CM=DM=ME .
∵DE=2CM ，
∴AE=DE+AD=2CM+BE .
（3） PD=1，∠BPD=90∘，
∴BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 OD 的切线，点 P 为切点．
第一种情况：如图①，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 Pʹ，
可证 △APD≌△APʹB，PD=PʹB=1，CD=2 .
∴BD=2，BP=3 .
∴AM=12PPʹ=12PB−BPʹ=3−12 .
第二种情况如图②，
可得 AM=12PPʹ=12PB+BPʹ=3+12