2021年北京朝阳区陈经纶分校望京学校八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区陈经纶分校望京学校八年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列标志是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

2. PM2.5 是指大气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物，2.5 微米等于 0.0000025 米，把数字 0.0000025 用科学记数法表示为
A. 2.5×106B. 0.25×10−6C. 25×10−6D. 2.5×10−6

3. 使分式 2x−3 有意义的 x 的取值范围是
A. x≠3B. x>3C. x<3D. x=3

4. 下列计算中，正确的是
A. a23=a8B. a8÷a4=a2C. a3+a2=a5D. a2⋅a3=a5

5. 如图，△ABC≌△DCB，若 AC=7，BE=5，则 DE 的长为
A. 2B. 3C. 4D. 5

6. 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边 OA，OB 上分别取 OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点 M，N 重合，过角尺顶点 C 作射线 OC．由此作法便可得 △MOC≌△NOC，其依据是
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS

7. 下列各式中，计算正确的是
A. x2x−1=2x2−1B. x+3x2−9=1x−3
C. a+22=a2+4D. x+2x−3=x2+x−6

8. 若 a+b=1，则 a2−b2+2b 的值为
A. 4B. 3C. 1D. 0

9. 若分式 6a+1 的值为正整数，则整数 a 的值有
A. 3 个B. 4 个C. 6 个D. 8 个

10. 如图，等腰三角形 ABC 的底边 BC 长为 4，面积是 16，腰 AC 的垂直平分线 EF 分别交 AC，AB 边于 E，F 点．若点 D 为 BC 边的中点，点 M 为线段 EF 上一动点，则 △CDM 周长的最小值为
A. 6B. 8C. 10D. 12

11. 在平面直角坐标系中，点 A，点 B 关于 y 轴对称，点 A 的坐标是 2,−8，则点 B 的坐标是
A. −2,−8B. 2,8C. −2,8D. 8,2

12. 如图，直线 PO 与 AB 交于点 O，PA=PB，则下列结论中正确的是
A. AO=BOB. PO⊥AB
C. PO 是 AB 的垂直平分线D. 点 P 在 AB 的垂直平分线上

二、填空题（共8小题；共40分）
13. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

14. 若分式 x2−4x+1 的值为零，则 x 的值是 ．

15. 分解因式 2x2−18= ．

16. 化简：1−1a+1÷a= ．

17. 若等腰三角形的周长为 10 cm，其中一边长为 2 cm，则该等腰三角形的底边长为 ．

18. 计算：−a−2b2= ．

19. 如图，OP 平分 ∠MON，PA⊥ON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA=2，则 PQ 的最小值为 ．

20. 如图，将分别含有 30∘，45∘ 角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为 65∘，则图中角 α 的度数为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
21. 计算：4−π−30−12−1+∣−3∣．

22. 已知：如图，线段 AB 和射线 BM 交于点 B．
（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．
① 在射线 BM 上作一点 C，使 AC=AB；
② 作 ∠ABM 的角平分线交 AC 于 D 点；
③在射线 CM 上作一点 E，使 CE=CD，连接 DE．
（2）在（1）所作的图形中，猜想线段 BD 与 DE 的数量关系，并证明．

23. 化简：2−x−1x+1÷x2+6x+9x2−1．

24. 解分式方程：1x=x2−x．

25. 计算：2x+3x−2−x+12．

26. 如图，若 E 在 BC 的延长线上，其他条件不变，试探究 AE 与 EF 的数量关系．

27. 某厂为支援灾区人民，要在规定时间内加工 1500 顶帐篷．在加工了 300 顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的 1.5 倍，结果提前 4 天完成任务，求该厂原来每天加工多少顶帐篷?

28. 问题提出：在同底数幂的运算中，常常会遇到求 n 个数的和的情况，这 n 个数的和可以表示为 Tn．那么怎样求 Tn=1⋅1+3⋅2+5⋅22+⋯+2n−32n−2+2n−12n−1 的值呢?
问题探究：为了解决这个问题我们将采取将一般问题特殊化的策略，先从简单和具体的情形入手：
探究一：S2=1+2, ⋯⋯①
2S2=2+22, ⋯⋯②
① − ②得 1−2S2=1−22，S2=1−221−2=22−1，
S3=1+2+22, ⋯⋯③
2S3=2+22+23, ⋯⋯④
③ − ④得 1−2S3=1−23，S3=1−231−2=23−1，
S4=1+2+22+23, ⋯⋯⑤
2S4=2+22+23+24, ⋯⋯⑥
⑤ − ⑥得 1−2S4=1−24，
S4=1−241−2=24−1．
（1）由以上规律可知 1+2+⋯+210= ；1+2+⋯+2n= ．
（2）探究二：T2=1⋅1+3⋅2, ⋯⋯⑦
2T2=1⋅2+3⋅22, ⋯⋯⑧
⑦ − ⑧得 1−2T2=1⋅1+3−1⋅2−3⋅22=1⋅1+2⋅2−3⋅22=5−3⋅22，
T2=3⋅22−5，
T3=1⋅1+3⋅2+5⋅22, ⋯⋯⑨
2T3=1⋅2+3⋅22+5⋅23, ⋯⋯⑩
⑨ − ⑩
1−2T3=1⋅1+3−1⋅2+5−3⋅22−5⋅23=1⋅1+22+23−5⋅23=2+22+23−5⋅23−1=21+2+22−5⋅23−1=223−1−5⋅23−1=−3⋅23−3,
T3=3⋅23+3．
①请根据前面推导过程推导 T10，并写出推导过程．
②问题解决：请求 Tn=1⋅1+3⋅2+5⋅22+⋯+2n−32n−2+2n−12n−1，写出求解过程．

29. 如图所示：AM∥DN，AE 、 DE 分别平分 ∠MAD 和 ∠ADN，并交于 E 点．过点 E 的直线分别交 AM 、 DN 于 B 、 C．
（1）如图，当点 B 、 C 分别位于点 AD 的同侧时，猜想 AD 、 AB 、 CD 之间的存在的数量关系： ．
（2）试证明你的猜想．
（3）若点 B 、 C 分别位于点 AD 的两侧时，试写出 AD 、 AB 、 CD 之间的关系，并选择一个写出证明过程．
答案
第一部分
1. B【解析】A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
2. D【解析】0.0000025=2.5×10−6．
3. A【解析】由分式 2x−3 有意义，得 x−3≠0，解得 x≠3．
4. D【解析】A．幂的乘方底数不变指数相乘，故 A 错误；
B．同底数幂的除法底数不变指数相减，故 B 错误；
C．不是同底数幂的乘法指数不能相加，故 C 错误；
D．同底数幂的乘法底数不变指数相加，故 D 正确．
5. A
【解析】∵△ABC≌△DCB，
∴BD=AC=7，
∵BE=5，
∴DE=BD−BE=2．
6. A【解析】∵ 在 △ONC 和 △OMC 中，
ON=OM,CO=CO,NC=MC,
∴△ONC≌△OMCSSS，
∴∠BOC=∠AOC．
7. B【解析】A．原式=2x2−x，错误；
B．原式=x+3x+3x−3=1x−3，正确；
C．原式=a2+4a+4，错误；
D．原式=x2−x−6，错误．
8. C【解析】∵a+b=1，
∴a2−b2+2b=a+ba−b+2b=a−b+2b=a+b=1．
9. B【解析】分式 6a+1 的值为正整数，则 a+1=1或2或3或6．则 a=0或1或2或5．
10. C
【解析】连接 AD，
∵△ABC 是等腰三角形，点 D 是 BC 边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=16，解得 AD=8，
∵EF 是线段 AC 的垂直平分线，
∴ 点 C 关于直线 EF 的对称点为点 A，
∴AD 的长为 CM+MD 的最小值，
∴△CDM 的周长最短 =CM+MD+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=10．
11. A【解析】∵ 点 A，点 B 关于 y 轴对称，点 A 的坐标是 2,−8，
∴ 点 B 的坐标是 −2,−8．
12. D
第二部分
13. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
14. 2 或 −2
15. 2x−3x+3
16. 1a+1
17. 2 cm
【解析】若 2 cm 为等腰三角形的腰长，则底边长为 10−2−2=6cm，2+2<6，不符合三角形的三边关系；
若 2 cm 为等腰三角形的底边，则腰长为 10−2÷2=4cm，此时三角形的三边长分别为 2 cm，4 cm，4 cm，符合三角形的三边关系．
18. a2+4ab+4b2
19. 2
20. 140∘
第三部分
21. 原式=2−1−2+3=2.
22. （1） 如图所示：
（2） BD=DE．
证明：∵ BD 平分 ∠ABC，
∴ ∠1=12∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠4，
∴∠1=12∠4，
∵CE=CD，
∴∠2=∠3．
∵∠4=∠2+∠3，
∴∠3=12∠4，
∴∠1=∠3，
∴BD=DE．
23. 原式=2x+2x+1−x−1x+1÷x+32x+1x−1=x+3x+1⋅x+1x−1x+32=x−1x+3.
24. 两边乘以 x2−x，得 2−x=x2．
整理，得 x2+x−2=0．
解得 x1=1，x2=−2．
把 x1=1 代入 x2−x=1≠0，
把 x2=−2 代入 x2−x=−8≠0．
所以原方程的解是 x1=1，x2=−2．
25. x2−13．
26. AE=EF，
在 BA 的延长线上截取 AG=CE，
证 △AGE≌△ECF．
27. 设原来每天加工 x 顶帐篷，
根据题意得
1500x=300x+12001.5x+4,
解得
x=100.
经检验：x=100 是原方程的解．
答：原来每天加工 100 顶帐篷．
28. （1） 211−1；2n+1−1
【解析】设 M=1+2+22+⋯+210, ⋯⋯①
则 2M=2+22+23+⋯+211, ⋯⋯②
② − ①得 2M−M=211−1，M=211−1，
∴1+2+⋯+210=211−1，
设 S=1+2+⋯+2n, ⋯⋯③
则 2S=2+22+⋯+2n+1, ⋯⋯④
④ − ③得 2S−S=2n+1−1，
S=2n+1−1，
∴1+2+⋯+2n=2n+1−1．
（2） ①由题意得 T10=1⋅1+3⋅2+5⋅22+⋯⋯+19⋅29, ⋯⋯⑤
2T10=1⋅2+3⋅22+5⋅23+⋯⋯19⋅210, ⋯⋯⑥
⑤ − ⑥得
1−2T10=1⋅1+3−1⋅2+5−3⋅22⋯19−17⋅29−19⋅210=2+22+23⋯+210−19⋅210−1=21+2+22⋯+29−19⋅210−1=2210−1−19⋅210−1=211−2−19⋅210−1=−17⋅210−3,
∴T10=17⋅210+3．
② ∵Tn=1⋅1+3⋅2+5⋅22+⋯+2n−32n−2+2n−12n−1, ⋯⋯⑦
∴2Tn=1⋅2+3⋅22+5⋅23+⋯+2n−32n−1+2n−12n, ⋯⋯⑧
⑦ − ⑧得
1−2Tn=1⋅1+3−1⋅2+5−3⋅22+⋯2n−1−2n+32n−1−2n−12n=2+22+23+⋯2n−2n−12n−1=21+2+22+⋯+2n−1−2n−12n−1=22n−1−2n−12n−1=2⋅2n−2n−1⋅2n−3=3−2n⋅2n−3,
∴Tn=2n−3⋅2n+3．
29. （1） AD=AB+CD
（2） 在 AD 上截取 AF=AB，连接 EF．
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠FAE．
在 △ABE 和 △AFE 中，
AB=AF，∠BAE=∠FAE，AE=AE，
∴△ABE≌△AFE，
∴∠ABC=∠AFE．
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180∘，
又 ∵∠AFE+∠DFE=180∘，
∴∠DFE=∠BCD．
∵DE 平分 ∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
在 △FED 和 △CED 中，
∠DFE=∠DCE∠ADE=∠CDEDE=DE
∴△FED≌△CED，
∴DF=CD，
∴AF+DF=AB+CD，
即 AD=AB+CD．
（3） 第一种情况，当点 B 位于点 A 左侧，点 C 位于点 D 右侧时，DC=AD+AB．
在 CD 上截取 DF=AD，连接 EF．
∵DE 平分 ∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE．
在 △ADE 和 △FDE 中，
DA=DF∠ADE=∠CDEDE=DE
∴△ADE≌△FDE，
∴EA=EF，∠DAE=∠DFE．
∵AE 平分 ∠DAM，
∴∠DAE=∠EAM，
∴∠DFE=∠EAM．
又 ∵∠BAE+∠EAM=180∘,∠DFE+∠CFE=180∘，
∴∠BAE=∠CFE．
∵AM∥DN，
∴∠ABC=∠BCD．
在 △BAE 和 △CFE 中，
∠BAE=∠CFE∠ABC=∠BCDEA=EF
△BAE≌△CFE，
∴AB=FC，
∵DC=DF+FC，
∴DC=AD+AB．
第二种情况：当点 B 位于点 A 右侧，点 C 位于点 D 左侧时，AB=AD+CD
在 AB 上截取 AF=AD，连接 EF
∵AE 平分 ∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．
在 △ADE 和 △AEF 中，
AF=AD∠BAE=∠DAEAE=AE
∴△AEF≌△AED，
∴EF=ED，
∴∠AFE=∠ADE，
∵DE 平分 ∠ADN，
∴∠ADE=∠EDN，
∴∠AFE=∠EDN．
又 ∵∠AFE+∠BFE=180∘,∠EDN+∠EDC=180∘，
∴∠BFE=∠EDC，
∵AM∥DN，
∴∠ABC=∠BCD．
在 △BEF 和 △CED 中，
∠BFE=∠EDC∠ABC=∠BCDDE=EF
∴△BFE≌△CED，
∴CD=BF，
∵AB=AF+FB，
∴AB=AD+CD．