2021年北京房山区房山中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京房山区房山中学八年级上期末数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形是
A. B.
C. D.

2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是
A. 15B. 0.5C. 5D. 50

3. 三角形的三边长分别为 3，8，2a，则 a 的取值范围为
A. 1.5
4. 在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，摸出一个球不放回， 再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是
A. 12B. 13C. 16D. 18

5. 下列各式从左到右的变形正确的是
A. yx=y+1x+1B. yx=ayaxC. yx=a2ya2xD. yx=a2+1ya2+1x

6. 在下列各式中，二次根式 a−b 的有理化因式
A. a+bB. a+bC. a−bD. a−b

7. 下列变形中，正确的是
A. 232=2×3=6B. −252=−25
C. 9+16=9+16D. −9×−4=9×4

8. 已知一个等腰三角形的两边长分别为 3 和 7，则它的周长为
A. 13B. 17C. 13 或 17D. 6 或 14

9. 如图，△ABC 中，AB=5，AC=6，BC=4，边 AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，则 △BDC 的周长是
A. 8B. 9C. 10D. 11

10. 如图，OC 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OC 上一点，PD⊥OA 于点 D，PD=6，则点 P 到边 OB 的距离为
A. 6B. 5C. 4D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若代数式 3x−2 有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 若 a−1+b+32=0，则 a= ，b= ．

13. 化简： x+3x+2+2−xx2−4= ．

14. 如图，OA=OB，AC=BC，∠ACO=30∘，则 ∠ACB= ∘．

15. 如图，在平面直角坐标系中，将矩形 AOCD 沿直线 AE 折叠（点 E 在边 DC 上），折叠后顶点 D 恰好落在边 OC 上的点 F 处．若点 D 的坐标为 10,8，则点 E 的坐标为 ．

16. 设 S1=1+112+122，S2=1+122+132，S3=1+132+142，⋯，Sn=1+1n2+1n+12．设 S=S1+S2+⋯+Sn，则 S= （用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数）．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 计算
（1）27−12+13；
（2）−22+105−13×6

18. 计算：π+10−12+−3．

19. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90∘，点 D 在边 AB 上，使 DB=BC，过点 D 作 EF⊥AC，分别交 AC 于点 E 、 CB 的延长线于点 F．求证：AB=BF．

20. 计算：12−418−3−8．

21. 先化简，再求值：1x+1+1x−1÷x2−xx2−2x+1，其中 x=2−1．

22. 解方程：xx−1+1=2x3x−3．

23. 解方程：xx−1−2x−2x−1=0．

24. 某工程队承担了 900 米长的道路改造任务．工程队在改造完 360 米道路后，引进了新设备，每天的工作效率比原来提高了 20%，结果共用 27 天完成了任务，问引进新设备前工程队每天改造道路多少米?

25. 如图，若 E 在 BC 的延长线上，其他条件不变，试探究 AE 与 EF 的数量关系．

26. 【问题提出】
学习了三角形全等的判定方法（即“ SAS ”、“ ASA ”、“ AAS ”、“ SSS ”）和直角三角形全等的判定方法（即“ HL ”）后，我们继续对"两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等"的情形进行研究．
【初步思考】
我们不妨将问题用符号语言表示为：在 △ABC 和 △DEF 中，AC=DF，BC=EF，
∠B=∠E，然后，对 ∠B 进行分类，可分为“ ∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．
【深入探究】
（1）第一种情况：当 ∠B 是直角时，△ABC≌△DEF．
如图①，在 △ABC 和 △DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90∘，根据 ，可以知道 Rt△ABC≌Rt△DEF．
（2）第二种情况：当 ∠B 是钝角时，△ABC≌△DEF．
如图②，在 △ABC 和 △DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且 ∠B 、 ∠E 都是钝角，
求证：△ABC≌△DEF．
（3）第三种情况：当 ∠B 是锐角时，△ABC 和 △DEF 不一定全等．
①在 △ABC 和 △DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且 ∠B 、 ∠E 都是锐角，请你用尺规在图③中作出 △DEF，使 △DEF 和 △ABC 不全等．（不写作法，保留作图痕迹）
② ∠B 还要满足什么条件，就可以使 △ABC≌△DEF ?请直接写出结论：在 △ABC 和 △DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且 ∠B 、 ∠E 都是锐角，若 ，则 △ABC≌△DEF．

27. 如图，P 是线段 AB 上一点，AB=12 cm，点 C，D 分别从点 P，B 同时出发向点 A 运动，点 C 的运动速度为 2 cm/s，点 D 的运动速度为 3 cm/s，运动的时间为 t s．
（1）若 AP=8 cm．
①当 t=1 时，CD 的长为 ；
②当点 D 在线段 PB 上运动时，试说明 AC=2CD．
（2）若 t=2，CD=1 cm，求 AP 的长．
答案
第一部分
1. B
2. C
3. B
4. C
5. D
6. C
7. D
8. B
9. C【解析】
∵ED 是 AB 的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵△BDC 的周长为 DB+BC+CD，
∴△BDC 的周长为 AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
10. A
第二部分
11. x≠2
12. 1，−3
【解析】∵a−1+b+32=0，
∴a−1=0,b+3=0，
解得：a=1,b=−3．
13. 1
14. 60
15. 10,3
【解析】OF=6，CF=4，根据勾股定理：8−CE2=42+CE2．
16. n2+2nn+1
【解析】Sn=1+1n2+1n+12=1+1n−1n+12+2×1nn+1=1+1nn+12+2×1nn+1=1+1nn+12,
S=1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯+1+1nn+1=1×n+1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=n+nn+1=n2+2nn+1.
第三部分
17. （1） 27−12+13=33−23+33=433.
（2） −22+105−13×6=2+2−2=2.
18. π+10−12+|−3|=1−23+3=1−3.
19. ∵EF⊥AC，
∴∠F+∠C=90∘．
∵∠ABC=90∘，
∴∠A+∠C=90∘，
∴∠A=∠F．
∵DB=BC，∠FBD=∠ABC，
∴△FBD≌△ABC．
∴AB=BF．
20. 原式=23−2−3−22=23−2−3+22=3+2.
21. 原式=x−1+x+1x+1x−1⋅x−12xx−1=2xx+1x−1⋅x−12xx−1=2x+1.
当 x=2−1 时，原式=2．
22. 方程两边乘以 3x−1，得
3x+3x−1=2x.
解得
x=34.
检验：当 x=34 时，3x−1≠0．
∴ 原分式方程的解为 x=34．
23. 去分母，得
x2−2x−2x−1−xx−1=0.
整理得
2x2−5x+2=0.
解得
x1=2,x2=12.
经检验，x1=2，x2=12 均为原方程的解，
所以原方程的解为 x1=2，x2=12．
24. 设引进新设备前工程队每天改造道路 x 米．
由题意，得
360x+900−3601+20%x=27.
解得
x=30.
经检验，x=30 是原方程的解，且符合题意．
答：引进新设备前工程队每天改造道路 30 米．
25. AE=EF，
在 BA 的延长线上截取 AG=CE，
证 △AGE≌△ECF．
26. （1） HL
（2） 如图，过点 C 作 CG⊥AB 交 AB 的延长线于 G，过点 F 作 DH⊥DE 交 DE 的延长线于 H．
∵∠ABC=∠DEF，且 ∠ABC 、 ∠DEF 都是钝角，
∴180∘−∠ABC=180∘−∠DEF，即 ∠CBG=∠FEH．
在 △CBG 和 △FEH 中，
∠CBG=∠FEH∠G=∠H=90∘BC=EF,
∴△CBG≌△FEH AAS，
∴CG=FH．
在 Rt△ACG 和 Rt△DFH 中，
AC=DF,CG=FH,
∴Rt△ACG≌Rt△DFH HL，
∴∠A=∠D．
在 △ABC 和 △DEF 中，
∠A=∠D∠ABC=∠DEFAC=DF,
∴△ABC≌△DEF AAS．
（3） ①如图，△DEF 和 △ABC 不全等；
② ∠B≥∠A
27. （1） ① 3 cm；
②由题意，得 CP=2t，DB=3t．
因为 AP=8，AB=12，
所以 PB=AB−AP=4，AC=AP−CP=8−2t，
所以 PD=PB−DB=4−3t，
所以 CD=CP+PD=2t+4−3t=4−t，
所以 AC=2CD．
（2） 当 t=2 时，CP=4，DB=6．
分以下两种情况；
（ⅰ）如图 1，
当点 D 在点 C 的右边时．
因为 CD=1，
所以 CB=CD+DB=7，
所以 AC=AB−CB=5，
所以 AP=AC+CP=9．
（ⅱ）如图 2，
当点 D 在点 C 的左边时．
因为 AD=AB−DB=6，
所以 AP=AD+CD+CP=11．
综上，AP 的长为 9 cm 或 11 cm．