2021年北京朝阳区凯文学校（初中部）八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京朝阳区凯文学校（初中部）八年级上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若一个数的算术平方根等于它本身，则这个数是
A. 1B. −1C. 0D. 0 或 1

2. 在一个不透明的袋子里装有两个红球和两个黄球，它们除颜色外都相同．随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是
A. 12B. 13C. 14D. 16

3. 下列各数中，能使二次根式 2x−3 有意义的是
A. −1B. 0C. 2D. 1

4. 分式 ∣x∣−3x+3 的值为零，则 x 的值为
A. 3B. −3C. ±3D. 任意实数

5. 下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 婴儿游泳池是供婴儿进行室内或室外游泳的场所，婴儿游泳池的样式多种多样，现已知一长方体婴儿游泳池的体积为 300 m2，高为 38 m，则该长方体婴儿游泳池的底面积为
A. 403 m2B. 402 m2C. 203 m2D. 202 m2

7. 等式 x−3x+1=x−3x+1 成立的 x 的取值范围在数轴上可表示为
A. B.
C. D.

8. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在要到玻璃店买一块同样大小的三角形玻璃，为了方便，他需要带的玻璃是
A. ①B. ②C. ③D. 都不行

9. 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，则
A. BC=AB+ACB. AC2=AB2+BC2
C. AB2=AC2+BC2D. BC2=AB2+AC2

10. 将一副直角三角板按如图所示放置，使含 30∘ 角的三角板的短直角边和含 45∘ 角的三角板的一条直角边对齐，则 ∠1 的度数为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 75∘

二、填空题（共7小题；共35分）
11. 若代数式 3nn−3 有意义，则 n 的取值范围是 ．

12. 在函数 y=3x−1 中，自变量 x 的取值范围是 ．

13. 已知 △ABC 的两边 AB=3，BC=8，则边 AC 的长的取值范围是 ．

14. 若 20n 是整数，则正整数 n 的最小值为 ．

15. 在如图所示的 2×2 方格中，连接 AB，AC，则 ∠1+∠2= 度．

16. 如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD，其中 AB=AD，BC=DC，将仪器上的点 A 与 ∠PRQ 的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD，使它们分别落在角的两边上，过点 A，C 画一条射线 AE，AE 就是 ∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得 △ABC≌△ADC，这样就有 ∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是 ．

17. 当 x=−2+3 时，1x+1−1x−1÷4+2xx2−1= ．

三、解答题（共13小题；共169分）
18. 计算：16−38+3−π0．

19. 计算：62−3×3827−−15+∣43−4∣．

20. 计算：48−613÷3×12．

21. 11−x+11+x+21+x2+41+x4 ．

22. 已知：如图所示，点 D 、 E 分别在等边 △ABC 的边 BC 、 AC 上，且 AE=CD，AD 与 BE 相交于点 F．
（1）求证：△ABE≌△CAD
（2）求 ∠BFD 的度数．

23. 解方程：x+1x−1−4x2−1=1．

24. 如图，若 E 在 BC 的延长线上，其他条件不变，试探究 AE 与 EF 的数量关系．

25. 已知 a，b，c 为实数，且 aba+b=13，bcb+c=14，cac+a=15，求 abcab+bc+ca 的值．

26. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点．以格点为顶点画三角形，使三角形的三边长分别为 3，22，5．

27. 通信员要从营地前往相距 2400 米的哨所去送信，然后立即按原路返回，这样从出发到回到营地共花了 40 分钟．若通信员去送信时的速度是回来时的速度的 1.5 倍，求他去送信时的速度．

28. 如图，在 △ABC 中，CD⊥AB 于点 D，AE⊥BC 于点 E，AE，CD 交于点 F，且 ∠DBF=45∘．
（1）若 AF=5，BF=2，求 AB 的长；
（2）求证：AB−CF=2BF．

29. 如图 1，在平面直角坐标系中，直线 y=43x+4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 C 坐标是 0,1，连接 AC，过点 C 作 CE⊥AB 于点 E．
（1）求 CE 的长度．
（2）如图 2，点 D 为线段 EA 上一动点（不与 E，A 重合），连接 CD 并延长至点 F，使 DC=DF，作点 F 关于 AB 的对称点 G，连接 DG，CG，FG，线段 FG 交 AB 于点 H，AC 交 DG 于点 M．
①求证：DE=12CG．
②当 ∠CAB=2∠F 时，求线段 AD 的长度．

30.
（1）已知：图 1 中，点 M，N 在直线 l 的同侧，在 l 上求作一点 P，使得 PM+PN 的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）图 2 中，连接 M，N 与直线 l 相交于点 O，当两直线的夹角等于 45∘，且 OM=6，MN=2 时，PM+PN 的最小值是 ．
答案
第一部分
1. D
2. C
3. C【解析】由题意得，2x−3≥0，
解得，x≥32，
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
4. A
5. D
6. D【解析】根据题意得长方体婴儿游泳池的底面积为 300÷38=300÷38=300×83=202m2．
7. B
8. A【解析】根据题图可知，第①块不仅保留了原三角形的两个角还保留了两个角的夹边，则可以根据 ASA 来配一块完全一样的玻璃．
9. D【解析】∵ 在 △ABC 中，若 ∠B+∠C=90∘，
∴∠A=90∘，
∴BC2=AB2+AC2，
故选：D．
10. D
【解析】如图，
∵∠2=90∘−45∘=45∘，
∴∠3=∠2=45∘，
∴∠1=∠3+30∘=45∘+30∘=75∘．
第二部分
11. n≠3
【解析】根据题意，得 n−3≠0．
解得 n≠3．
12. x≥13
13. 514. 5
15. 90
【解析】在 △ACM 和 △BAN 中，
AM=BN,∠AMC=∠BNA,CM=AN,
∴ △ACM≌△BAN，
∴ ∠2=∠CAM．
∵∠1+∠CAM=90∘，
∴ ∠1+∠2=90∘．
16. SSS
【解析】在 △ADC 和 △ABC 中，
AD=AB,DC=BC,AC=AC,
∴△ADC≌△ABCSSS．
∴∠DAC=∠BAC，即 ∠QAE=∠PAE．
17. −33
【解析】1x+1−1x−1÷4+2xx2−1=x−1−x+1x+1x−1⋅x+1x−14+2x=−24+2x=−12+x.
当 x=−2+3 时，
原式=−12+−2+3=−13=−33.
第三部分
18. 16−38+3−π0=4−2+1=3.
19. 原式=62−3×23+15+43−4=42−3+15+43−4=8−43+15+43−4=415.
20. 48−613÷3×12=43−23÷3×12=23÷3×12=2×12=2.
21. 81−x8
【解析】题可采用逐步通分的方法，即先算 11−x+11+x ，用其结果再与 21+x2 相加，依次类推．
22. （1） ∵△ABC 是等边三角形
∴∠BAE=∠C=60∘，AB＝AC .
∵AE=CD，
∴△ABE≌△CAD .
（2） ∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABF=∠EAF .
∵∠BFD=∠ABF+∠BAF，
∴∠BFD=∠EAF+∠BAF=∠BAC=60∘ .
23. 去分母，得
x+12−4=x2−1.
去括号，得
x2+2x+1−4=x2−1.
移项合并，得
2x=2.
解得
x=1.
检验：当 x=1 时，x2−1=0，
∴ x=1 是增根，应舍去．
∴ 原分式方程无解．
24. AE=EF，
在 BA 的延长线上截取 AG=CE，
证 △AGE≌△ECF．
25. 由题意可知，a≠0，b≠0，c≠0，将三个等式的左右两边分别取倒数得 a+bab=3，b+cbc=4，c+aca=5，
则 1a+1b=3，1b+1c=4，1c+1a=5，
三式相加，整理得 1a+1b+1c=6，
因为 ab+bc+caabc=1c+1a+1b=6，
所以 abcab+bc+ca=16．
26. 由于 222=8=22+22，因此可以构造一个两直角边长均为 2 的直角三角形，这个直角三角形的斜边长就是 22．要构造一条长度为 5 的线段，可构造一个直角边长分别为 2 和 1 的直角三角形，然后通过平移线段得到三角形．如图所示，△ABC 即为所求作的三角形．
27. 150 米/分．
28. （1） ∵∠DBF=45∘，CD⊥AB，
∴∠DFB=∠DBF=45∘，
∴DF=DB．
∵DF2+DB2=BF2，且 BF=2，
∴DF=BD=1．
在 Rt△ADF 中，AD=AF2−DF2=5−1=2，
∴AB=AD+DB=2+1=3．
（2） ∵∠DBF=45∘，CD⊥AB，
∴∠DFB=∠DBF=45∘，
∴DF=DB，
∴BF=2DF，
∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ABC+∠EAB=90∘，∠ABC+∠DCB=90∘，
∴∠EAB=∠DCB，且 DF=DB，∠ADF=∠CDB=90∘，
∴△ADF≌△BCDAAS，
∴AD=CD，
∵AB−CF=AD+DB−CF=DF+BD=2DF=2BF．
29. （1） 由直线 y=43x+4 易得点 A 坐标为 −3,0，点 B 坐标为 0,4，
∴ 在 Rt△AOB 中，OA=3，OB=4，
由勾股定理可得：AB=OA2+OB2=32+42=5，
又 ∵CE⊥AB，
∴S△ABC=12⋅BC⋅OA=12AB⋅CE，即 BC⋅OA=AB⋅CE，
∴CE=BC⋅OAAB=4−1×35=95，故 CE 的长度为 95．
（2） ① ∵CD=DF，F，G 关于 AB 对称，
∴DF=DG，FG⊥AB，H 为 FG 中点，
又 DF=DG=DC，
∴△FCG 为直角三角形，
在 △DHF 与 △DEC 中，
有：∠DHF=∠DEC=90∘,∠FDH=∠CDE,DF=DC,
故 △DHF≌△DECAAS，
∴DE=DH，
由 D 为 CF 的中点，H 为 FG 的中点易知 DH 为 △CFG 的中位线，
∴DH=12CG，故 DE=12CG．
② ∵ 直线 AB 是线段 FG 的垂直平分线，DF=DG，
∴∠FDH=∠GDH=∠EDC，且 ∠CDG=∠F+∠FDG=2∠F，
又 ∵∠CAB=2∠F，
∴∠CAB=∠CDG，
∴180∘−∠ADG−∠CAB=180∘−∠ADG−∠CDG，
∴∠AMD=∠BDC=∠ADG，
∴AD=AM，
∵ 矩形 ECGH 中有 CG∥AB，
故可得：∠CGM=∠ADM=∠AMD=∠CMG，
∴CM=CG，
设 AD=AM=a，则 CM=CG=10−a，
∴DE=12CG=10−a2，
∴AE=AD+DE=a+10−a2=10+a2，
∵ 在 Rt△AEC 中，∠AEC=90∘，
由勾股定理可得：AE2+CE2=AC2，即 10+a22+592=102，
解得 a=265−10，故 AD 的长度为 265−10．
30. （1） 如图点 P 即为所求．
（2） 10
【解析】
如图，作点 M 关于 l 的对称点 A，连接 AN 交 l 于点 P，点 P 即为所求．
∴PM=PA，∠AOP=∠MOP=45∘，OA=OM=6．
∴PM+PN=AN．
在 △AON 中，∠AON=90∘，OA=6，ON=8，
由勾股定理，得 AN=10．
∴PM+PN 的最小值是 10．