2021年北京海淀区育英航天八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京海淀区育英航天八年级上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 如果分式 x+2x−3 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是
A. x≠3B. x>3C. x≥3D. x<3

2. 下列各式中，最简二次根式是
A. 0.2B. 18C. x2+1D. x2

3. 剪纸是中华传统文化中的一项瑰宝，下列剪纸图案中是轴对称图形的共有
A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个

4. 下列事件中是确定事件的是
A. 随机抛掷一枚硬币，背面向上
B. 从 1∼100（含首尾两个数）中任意抽取一个数进行开立方运算，立方根是整数的有四种可能
C. 今年的除夕夜，北京会下雪
D. CBA 球星马布里为北京的篮球事业做出了突出贡献，同时也掀起了篮球热，现在人人都喜欢打篮球

5. 计算 −2ab3 的结果是
A. −2a3b3B. −6a3b3C. −8a3b3D. 8a3b3

6. 若分式 a⋅ba−b 中的 a，b 都同时扩大 10 倍，则该分式的值
A. 不变B. 扩大 10 倍C. 缩小 10 倍D. 扩大 100 倍

7. 下列运算错误的是
A. −32=3B. 3×2=6C. 6÷3=2D. 3+2=5

8. 若 m=13，估计 m 的值所在的范围是
A. 0
9. 下列命题属于真命题的是
A. 数轴上的两个实数比较大小，右边的数总比左边的数大
B. 如果直角三角形的两条边分别是 3 cm，4 cm，则第三边一定是 5 cm
C. 任意三角形的外角一定大于它的内角
D. 有两边和一角分别相等的两个三角形全等

10. 如图，AB+AC=9，D 是 AB 上一点，若点 D 在 BC 的垂直平分线上，则 △ACD 的周长为
A. 7B. 9C. 11D. 13

11. 如图，AD，CE 分别是 △ABC 的中线和角平分线．若 AB=AC，∠CAD=20∘，则 ∠ACE 的度数是
A. 20∘B. 35∘C. 40∘D. 70∘

12. 如图，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，使 D 点与 BC 边的中点 Dʹ 重合，若 BC=8，CD=6，则 CF 的长为
A. 32B. 53C. 2D. 1

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 如图，在 △ABC 中，AB=AD=DC，∠BAD=20∘，则 ∠C= ．

14. 若二次根式 3−x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围为 ．

15. 等腰三角形的一个内角为 70∘，则另外两个内角的度数为 ．

16. 在直角三角形 ACB 中，∠C=90∘，AB=4，AC=2，现操作如下：过点 C 作 CP1⊥AB 于点 P1，得到 Rt△CP1B，过点 P1 作 P1P2⊥CB 于点 P2，得到 Rt△P1P2B，依照相同的方法一直操作下去，则 P1P2= ；PnPn+1= ．

17. 如图，在 △ABC 中，∠CAB=90∘，AB=AC，DE 经过 A 点，且 CE⊥ED，BD⊥ED．若 CE=5，BD=1，则 ED= ．

18. 若 20n 是整数，则正整数 n 的最小值为 ．

三、解答题（共14小题；共182分）
19. 计算：π−3.140+∣3−2∣−48+13−2．

20. 化简：a2−b2a2−ab÷a+2ab+b2a．

21. 已知 x2+2x−8=0，求代数式 1x2−1÷x+1x2−2x+1−1x+1 的值．

22. 如图，在 △ABC 中，AD⊥BC 于点 D，AD=BD，∠C=65∘，求 ∠BAC 的度数．

23. 一次抽奖活动设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如图，如果你只能在 9 个数字中选中一个翻牌，请解决下面的问题：
（1）直接写出抽到“手机”奖品的可能性的大小；
（2）若第一次没有抽到“手机”奖品，请求出第二次抽到“手机”奖品的可能性的大小；
（3）请你根据题意设计翻奖牌反面的奖品（包含手机、微波炉、球拍、电影票，谢谢参与）使得最后抽到“球拍”的可能性大小是 49．

24. 如图，电信部门要在两条公路之间及海岸线围成的 S 区域内修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到区域 S 内的两个城镇 A，B 的距离必须相等，到两条公路的距离也必须相等．发射塔 P 建在什么位置?
（1）在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标出（不写作法但保留作图痕迹）．
（2）简单说明你作图的依据．

25. 列方程或方程组解应用题：
为了培育和践行社会主义核心价值观，引导学生广泛阅读古今文学名著，传承优秀传统文化，我区某校决定为初三学生购进相同数量的名著《三国演义》和《红岩》．其中《三国演义》的单价比《红岩》的单价多 28 元．若学校购买《三国演义》用了 1200 元，购买《红岩》用了 400 元，求《三国演义》和《红岩》的单价各是多少元．

26. 先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：对于 x−2x−4>0，这类不等式我们可以以下面的思路进行解决．
分析：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，可得① x−2>0,x−4>0 或② x−2<0,x−4<0. 从而将陌生的高次不等式化为了学过的一元一次不等式组，分别去解两个不等式组即可求得原不等式的解集，即：
解不等式组①得 x>4，解不等式组②得 x<2，
∴x−2x−4>0 的解集为 x>4 或 x<2．
请利用上述解题思想解决下面的问题：
（1）请直接写出 x−2x−4<0 的解集．
（2）对于 mn>0，请根据除法法则化为我们学过的不等式（组）．
（3）求不等式 x+3x−1>0 的解集．

27. 如图 1，我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”图形语言说明：在 Rt△ABC 中，∠C=90∘．由 CP 是中线．可得 CP=12AB，请结合上述结论解决如下问题：
已知，点 P 是 △ABC 边 AB 上一动点（不与 A，B 重合）分别过点 A，B 向直线 CP 作垂线，垂足分别为 E，F，Q 为边 AB 的中点．
（1）如图 2，当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 ，QE 与 QF 的数量关系是 ．
（2）如图 3，当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时，试判断 QE 与 QF 的数量关系，并给予证明；
（3）如图 4，当点 P 在线段 BA 的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并写出主要证明思路．

28. b3n−1c3a2n+1⋅a2nb3n−2．

29. 计算：27+6×8−613．

30. 解方程：x+1x−1−4x2−1=1．

31. 学校美术社团为学生外出写生配备如图①所示的折叠凳，图②是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿 AB 和 CD 的长度相等，O 是它们的中点，为了使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度 AD 设计为 36 cm，由以上信息能求出 CB 的长度吗?如果能，请求出 CB 的长度；如果不能，请说明理由．

32. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4，点 M，N 分别在 BC，AB 上，将矩形 ABCD 沿 MN 折叠，设点 B 的对应点是点 E．
（1）若点 E 在 AD 边上，BM=72，求 AE 的长；
（2）若点 E 在对角线 AC 上，请直接写出 AE 的取值范围： ．
答案
第一部分
1. A【解析】因为分式 x+2x−3 在实数范围内有意义，所以 x−3≠0，则 x 的取值范围是：x≠3．
2. C【解析】A、 0.2=55，故 0.2 不是最简二次根式，本选项错误；
B、 18=32，故 18 不是最简二次根式，本选项错误；
C、 x2+1 是最简二次根式，本选项正确；
D、 x2=∣x∣，故 x2 不是最简二次根式，本选项错误．
3. D【解析】第一个图形是轴对称图形；第二个图形是轴对称图形；第三个图形是轴对称图形；第四个图形不是轴对称图形；故一共有三个剪纸图案是轴对称图形．
4. B【解析】A、随机抛掷一枚硬币，背面向上，是随机事件，故此选项错误；
B、从 1∼100（含首尾两个数）中任意抽取一个数进行开立方运算，立方根是整数的有四种可能，是必然事件，故此选项正确；
C、今年的除夕夜，北京会下雪，是随机事件，故此选项错误；
D、 CBA 球星马布里为北京的篮球事业做出了突出贡献，同时也掀起了篮球热，现在人人都喜欢打篮球，是随机事件，故此选项错误．
5. C
【解析】原式=−2a3b3=−8a3b3.
6. B【解析】10a⋅10b10a−10b=100ab10a−b=10×aba−b，
∴ 该分式的值扩大了 10 倍．
7. D【解析】A、 原式=3，所以A选项的计算正确；
B、 原式=3×2=6，所以B选项的计算正确；
C、 原式=6÷3=2，所以C选项的计算正确；
D、 2 与 3 不能合并，所以D选项的计算错误．
8. D【解析】因为 9<13<16，
所以 9<13<16，
所以 3<13<4，
所以 m 的值所在的范围是：39. A【解析】A、数轴上的两个实数比较大小，右边的数总比左边的数大，所以A选项为真命题；
B、如果直角三角形的两条边分别是 3 cm，4 cm，则第三边是 5 cm 或 7 cm，所以B选项为假命题；
C、任意三角形的外角一定大于与它不相邻的任意一个内角，所以C选项为假命题；
D、有两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，所以D选项为假命题．
10. B
【解析】因为 AB+AC=9，D 是 AB 上一点，点 D 在 BC 的垂直平分线上，
所以 BD=CD，
所以 △ACD 的周长为 AD+CD+AC=AD+BD+AC=AB+AC=9．
11. B
12. B
第二部分
13. 40∘
【解析】∵AB=AD，∠BAD=20∘，
∴∠B=12180∘−∠BAD=12180∘−20∘=80∘．
∵∠ADC 是 △ABD 的外角，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80∘+20∘=100∘．
∵AD=DC．
∴∠C=12180∘−∠ADC=12180∘−100∘=40∘．
14. x≤3
【解析】由题意得，3−x≥0，解得 x≤3．
15. 55∘，55∘ 或 70∘，40∘
【解析】分情况讨论：
（1）若等腰三角形的顶角为 70∘ 时，另外两个内角均为 180∘−70∘÷2=55∘；
（2）若等腰三角形的底角为 70∘ 时，它的另外一个底角为 70∘，顶角为 180∘−70∘−70∘=40∘．
16. 32，32n×3
【解析】在 Rt△ABC 中，
∵AB=4，AC=2，
∴sinB=ACAB=12，
∴∠B=30∘，
∴∠A=60∘，
∵CP1⊥AB，
∴CP1=ACsinA=2×32=3，∠ACP1=30∘，
∵P1P2⊥CB，
∴P1P2∥AC，
∴∠CP1P2=∠ACP1=30∘，
∴P1P2=CP1cs30∘=32×3=32，
∵P2P3⊥AB，
∴CP1∥P2P3，
∴∠CP1P2=∠P1P2P3=30∘，
∴P2P3=P1P2cs30∘=32×3×32=322×3，
⋯
∴PnPn+1=32n×3．
17. 6
【解析】∵CE⊥ED，BD⊥ED，
∴∠E=∠D=∠CAB=90∘，
∴∠ACE+∠EAC=90∘，∠BAD+∠ABD=90∘，∠EAC+∠BAD=90∘，
∴∠ACE=∠BAD，∠EAC=∠ABD．
在 △AEC 和 △BDA 中，∠EAC=∠DBA,AC=BA,∠ACE=∠BAD,
∴△AEC≌△BDAASA，
∴CE=AD，AE=BD．
∵ED=AD+EA=CE+BD，CE=5，BD=1，
∴ED=5+1=6．
18. 5
第三部分
19. π−3.140+∣3−2∣−48+13−2=1+2−3−43+9=12−53.
20. 原式=a+ba−baa−b÷a+b2a=a+ba×aa+b2=1a+b.
21. 原式=1x+1x−1×x−12x+1−1x+1=x−1x+12−1x+1=x−1x+12−x+1x+12=−2x+12=−2x2+2x+1,
∵x2+2x−8=0，
∴x2+2x=8，
∴原式=−29．
22. ∵ 在 △ABC 中，AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∵AD=BD，
∴∠BAD=45∘，
∵∠C=65∘，
∴∠CAD=90∘−65∘=25∘，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=45∘+25∘=70∘．
23. （1） 由图可得，抽到“手机”奖品的可能性是：29．
（2） 由题意可得，第二次抽到“手机”奖品的可能性是：29−1=28=14，
即第二次抽到“手机”奖品的可能性是 14．
（3） 如图所示：
（答案不唯一）
24. （1） 如图所示：
（2） 依据：角平分线上的点到角的两边的距离相等；线段的中垂线上的点到线段两个端点的距离相等．
25. 设《红岩》的单价为 x 元，则《三国演义》的单价为 x+28 元，
由题意，得
1200x+28=400x.
解得
x=14.
经检验，x=14 是原方程的解，且符合题意．
所以 x+28=42．
答：《红岩》的单价为 14 元，《三国演义》的单价为 42 元．
26. （1） x−2x−4<0 的解集是 2 （2） mn>0 可以化为：① m>0,n>0 或② m<0,n<0.
（3） 根据除法法则可得：
① x+3>0,x−1>0 或② x+3<0,x−1<0.
解不等式组①得：x>1，解不等式组②得：x<−3，
∴x+3x−1>0 的解集是 x>1 或 x<−3．
27. （1） AE∥BF；QE=QF
【解析】如图 1，
当点 P 与点 Q 重合时，AE 与 BF 的位置关系是 AE∥BF，QE 与 QF 的数量关系是 QE=QF．
理由：
∵Q 为 AB 的中点，
∴AQ=BQ，
∵AE⊥CQ，BF⊥CQ，
∴AE∥BF，∠AEQ=∠BFQ=90∘，
在 △AEQ 和 △BFQ 中，
∠AQE=∠BQF,∠AEQ=∠BFQ,AQ=BQ,
∴△AEQ≌△BFQ，
∴QE=QF．
（2） QE=QF，
证明：如图 2，延长 EQ 交 BF 于点 D，
∵ 由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在 △AEQ 和 △BDQ 中，
∠AQE=∠BQD,∠AEQ=∠BDQ,AQ=BQ,
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90∘，
∴QE=QF．
（3） 当点 P 在线段 BA 的延长线上时，此时（2）中的结论成立，
证明：延长 EQ 交 FB 于点 D，如图 3，
∵ 由（1）知：AE∥BF，
∴∠AEQ=∠BDQ，
在 △AEQ 和 △BDQ 中，
∠AQE=∠BQD,∠AEQ=∠BDQ,AQ=BQ,
∴△AEQ≌△BDQ，
∴EQ=DQ，
∵∠BFE=90∘，
∴QE=QF．
28. bc3a．
29. 原式=33+43−23=53
30. 去分母，得
x+12−4=x2−1.
去括号，得
x2+2x+1−4=x2−1.
移项合并，得
2x=2.
解得
x=1.
检验：当 x=1 时，x2−1=0，
∴ x=1 是增根，应舍去．
∴ 原分式方程无解．
31. 能求出 CB 的长度．
∵O 是 AB，CD 的中点，
∴OA=OB，OC=OD，
在 △AOD 和 △BOC 中，
OA=OB,∠AOD=∠BOC,OD=OC,
∴△AOD≌△BOCSAS，
∴AD=BC，
∵AD=36 cm，
∴CB=36 cm．
32. （1） 由题意，△BMN 沿 MN 折叠得到 △EMN，
∴△BMN≌△EMN，
∴EM=BM=72．
过点 M 作 MH⊥AD 交 AD 于点 H，则四边形 ABMH 为矩形，MH=AB=3，AH=BM=72．
Rt△EHM 中，EH=EM2−HM2=722−32=132，
∴AE=7−132．
（2） 1≤AE≤3
【解析】由勾股定理得，AC=5．
点 M 在 C 处时，CE=CB=4，所以 AE=AC−BC=1；
点 N 在 A 处时，AE=AB=3．