2021年北京房山区石楼中学八年级上期末数学试卷

这是一份2021年北京房山区石楼中学八年级上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列说法中正确的是
A. 两个无理数的差一定是无理数
B. 两个无理数的商一定是无理数
C. 两个无理数的积一定是无理数
D. 有理数和无理数的和一定是无理数

2. 4 的平方根是
A. ±2B. 2C. −2D. 2

3. 如果 x−2x2−x−6=0，则 x 等于
A. ±2B. −2C. 2D. 3

4. 下列式子中，属于最简二次根式的是
A. 8B. 12C. 62D. 0.5

5. 下列图形中，不是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

6. 如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，击中阴影区域的概率是
A. 718B. 529C. 12D. 59

7. 如图所示，在 △ABC 中，AB=AC，BE=CE，则由“SSS”可以判定
A. △ABD≌△ACDB. △BDE≌△CDE
C. △ABE≌△ACED. 以上都不对

8. 如图，△ABC 中，BO 、 CO 分别是 ∠ABC 、 ∠ACB 的平分线，∠A=50∘，则 ∠BOC 等于
A. 110∘B. 115∘C. 120∘D. 130∘

9. 若一直角三角形两边长分别为 12 和 5，则第三边长为
A. 13B. 13 或 119C. 13 或 15D. 15

10. 如图，∠AOB=60∘，点 P 是 ∠AOB 内的定点且 OP=3，若点 M，N 分别是射线 OA，OB 上异于点 O 的动点，则 △PMN 周长的最小值是
A. 362B. 332C. 6D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 4= ．

12. 1xy，−y4x3，16xyz 的最简公分母是 ．

13. 一个多边形的每一个外角为 30∘，那么这个多边形的边数是 ．

14. 七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图①所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图②所示），则该凸六边形的周长是 cm．

15. 如图，点 P 是 ∠BAC 的平分线 AD 上一点，PE⊥AC 于点 E，∠BAC=60∘，有一点 F 在边 AB 上运动，则 AF= ．

16. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 的坐标分别为 10,0，0,4，点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 上运动，当 △ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，点 P 的坐标为 ．

三、解答题（共11小题；共143分）
17. 计算：∣−2∣−20180+12−1．

18. 商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了 3 个相同的扇形．各扇形分别标有数字 2，3，4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商品的价格不超过 30 元的概率是多少?

19. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦 − 秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是 a，b，c（如图），记 p=a+b+c2，那么三角形的面积 S=pp−ap−bp−c．如果一个三角形三边的长分别是 5，6，7，求这个三角形的面积．

20. 计算 m+15m2−9−3m−3，并求当 m=−2 时原式的值．

21. 解关于 x 的方程：x+1x+2+x+6x+7=x+2x+3+x+5x+6．

22. 计算：xx+1−x+3x+1⋅x2−1x2+2x−3．

23. （1）（1）问题发现
如图1，△ACB 和 △DCE 均为等边三角形，点 A 、 D 、 E 在同一直线上，连接 BE .
填空：
（1）∠AEB 的度数为 ；
（2）线段 BE 和 AD 之间的数量关系是 ．
（2）拓展探究
如图2，△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘ ， 点 A 、 D 、 E 在同一直线上，CM 为 △DCE 中 DE 边上的高，连接 BE．请判断 ∠AEB 的度数及线段 CM 、 AE 、 BE 之间的数量关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，在正方形 ABCD 中，CD=2．若点 P 满足 PD=1 ，且 ∠BPD=90∘，请直接写出点 A 到 BP 的距离．

24. 通信员要从营地前往相距 2400 米的哨所去送信，然后立即按原路返回，这样从出发到回到营地共花了 40 分钟．若通信员去送信时的速度是回来时的速度的 1.5 倍，求他去送信时的速度．

25. 如图 1，在等边 △ABC 中，D 为 AC 边上任一点，连接 BD，延长 BD 到 E，使 BE=AB．设 ∠ABD=α．
（1）则 ∠CAE 的大小为 （用含 α 的代数式表示）；
（2）如图 2，点 F 在 ∠CBE 的平分线上，连接 EF，CF，若 ∠ECF=60∘，判断 △EFC 的形状并加以证明．

26. 如图，在 △ABC 中，点 D 在 BC 上，AC=CD，∠B=30∘，∠ADB=100∘．
（1）作 AB 的垂直平分线 EF，分别交 BC，AB 于 E，F（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接 AE，求 ∠C 与 ∠AED 的大小．

27. 如图，在 △ABC 中，AB=10 cm，∠B=∠C，BC=8 cm，D 为 AB 的中点．点 P 在线段 BC 上以 3 cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动．
（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 s 后：
① PB= cm，CQ= cm；
② △BPD 与 △CQP 是否全等?请说明理由．
（2）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，则当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 △BPD 与 △CQP 全等?
答案
第一部分
1. D
2. A
3. C
4. C
5. C
【解析】选项A，B，D都是轴对称图形，且对称轴都是竖直的，选项C的图形的轮廓也是轴对称图形，但内部图案不是轴对称图形（是中心对称图形）．
故选C．
6. A【解析】设小正方形的边长为 1，
则阴影区域的面积 =3×3−12×3×1−12×2×1−12×3×2=72，
游戏板的面积为 3×3=9，
所以击中阴影区域的概率 =729=718．
故选A．
7. C
8. B
9. B【解析】当 12 是斜边时，第三边是 122−52=119；
当 12 是直角边时，第三边是 122+52=13．
10. D
【解析】作 P 点分别关于 OA，OB 的对称点 C，D，
连接 CD 分别交 OA，OB 于 M，N，如图，
则 MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=3，
∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，
∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120∘，
∴ 此时 △PMN 周长最小，
作 OH⊥CD 于 H，则 CH=DH，
∵∠OCH=30∘，
∴OH=12OC=32，CH=3OH=32，
∴CD=2CH=3．
第二部分
11. 2
【解析】∵22=4，
∴4=2．
12. 12x3yz
13. 12
14. 322+16
15. 6
16. 2,4 或 3,4 或 8,4
【解析】由题意，当 △ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时，有三种情况：
（1）如答图①所示，PD=OD=5，点 P 在点 D 的左侧．过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE=4．
在 Rt△PDE 中，由勾股定理得：DE=PD2−PE2=52−42=3，
∴ OE=OD−DE=5−3=2，
∴ 此时点 P 坐标为 2,4；
（2）如答图②所示，OP=OD=5．
过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE=4．
在 Rt△POE 中，由勾股定理得：OE=OP2−PE2=52−42=3，
∴ 此时点 P 坐标为 3,4；
（3）如答图③所示，PD=OD=5，点 P 在点 D 的右侧．过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，则 PE=4．
在 Rt△PDE 中，由勾股定理得：DE=PD2−PE2=52−42=3，
∴ OE=OD+DE=5+3=8，
∴ 此时点 P 坐标为 8,4．
综上所述，点 P 的坐标为：2,4 或 3,4 或 8,4．
第三部分
17. 原式=2−1+2=3.
18.
共有 9 种等可能的情况，符合题意的有 3 种，
顾客购买商品的价格不超过 30 元的概率为 13．
19. 设 a=5，b=6，c=7，则 p=5+6+72=9，
∴ 该三角形的面积 =9×9−5×9−6×9−7=66．
20. 原式=m+15m+3m−3−3m−3=m+15−3m+3m+3m−3=m+15−3m−9m+3m−3=−2m+3.
当 m=−2 时，原式=−2．
21. 根据题意移项，得
x+2x+3−x+1x+2=x+6x+7−x+5x+6.
左右两边通分，得
1x+3x+2=1x+7x+6.
解方程可得
x=−92.
22. 原式=xx+1−x+3x+1⋅x+1x−1x+3x−1=xx+1−1=x−x−1x+1=−1x+1.
23. （1） ① 60∘ ；② AD=BE
（2） ∵△ACB 和 △DCE 均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90∘，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCB=∠DCE−∠DCB，即 ∠ACD=∠BCE .
∴△ACD≌△BCE .
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135∘．
∴∠AEB=∠BEC−∠CED=135∘−45∘=90∘．
在等腰直角三角形 DCE 中，CM 为斜边 DE 上的高，
∴CM=DM=ME .
∵DE=2CM ，
∴AE=DE+AD=2CM+BE .
（3） PD=1，∠BPD=90∘，
∴BP 是以点 D 为圆心、以 1 为半径的 OD 的切线，点 P 为切点．
第一种情况：如图①，过点 A 作 AP 的垂线，交 BP 于点 Pʹ，
可证 △APD≌△APʹB，PD=PʹB=1，CD=2 .
∴BD=2，BP=3 .
∴AM=12PPʹ=12PB−BPʹ=3−12 .
第二种情况如图②，
可得 AM=12PPʹ=12PB+BPʹ=3+12
24. 150 米/分．
25. （1） 30∘−12α
【解析】∵BE=AB，
∴∠BAE=12180∘−α=90∘−12α．
∴∠CAE=∠BAE−60∘=30∘−12α．
（2） △EFC 是等边三角形，理由如下：
∵∠EBC=60∘−α，BF 平分 ∠EBC，
∴∠FBC=12∠EBC=30∘−12α．
∴∠FBC=∠EAC．
∵∠FCB=60∘−∠ACF，∠ECA=60∘−∠ACF，
∴∠FCB=∠ECA，又 CA=CB，
∴△BFC≌△AECASA．
∴CF=CE，又 ∠ECF=60∘，
∴△EFC 是等边三角形．
26. （1） 如图 EF 即为所求．
（2）
∵∠ADB=100∘，
∴∠ADC=80∘ .
∵AC=CD，
∴∠DAC=∠ADC=80∘ .
∴∠C=20∘ .
由（1）知，EF 垂直平分 AB，
∴AE=BE .
∴∠BAE=∠B=30∘ .
∴∠AED=60∘ .
27. （1） ① 3；3
② △BPD≌△CQP．
理由：经过 1 s 后，PB=3 cm，CQ=3 cm，PC=BC−PB=5 cm，
∴BP=CQ，
∵AB=10 cm，D 为 AB 的中点，
∴BD=12AB=5 cm，
∴BD=CP，
在 △BPD 和 △CQP 中，
BD=CP,∠B=∠C,BP=CQ,
∴△BPD≌△CQP．
（2） 设点 Q 的运动速度为 xx≠3cm/s，经过 t s 后 △BPD 与 △CQP 全等，
则 PB=3t cm，PC=8−3tcm，CQ=xt cm，
根据全等三角形的判定定理“SAS”可知，有两种情况：
①当 BD=CP，BP=CQ 时，△BPD≌△CQP，
∴5=8−3t,3t=xt, 解得 t=1,x=3（不合题意，舍去）；
②当 BD=CQ，BP=CP 时，△BPD≌△CPQ，
∴5=xt,3t=8−3t, 解得 t=43,x=154,
∴ 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，则当点 Q 的运动速度为 154 cm/s 时，能够使 △BPD 与 △CQP 全等．