2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与三角形综合问题（一）

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：反比函数与三角形综合问题（一），共12页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，在直角坐标平面内，直线 MN 与 x 轴，y 轴交于点 N，M，且与函数 y=mx（x>0，m 是常数）的图象交于 A1,4，Ba,b，其中 a>1．过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 C，过点 B 作 y 轴的垂线，垂足为 D，连接 AD，DC，CB．
（1）若 △ABD 的面积为 4，求点 B 的坐标；
（2）若四边形 CDMN 是等腰梯形，求直线 MN 的表达式．

2. 如图，在平面直角坐标系中，∠AOB=90∘，点 A，B 分别在函数 y=kxx<0，y=2xx>0 的图象上．
（1）过点 B 作 BE⊥x 轴于点 E，则 △BOE 的面积为 （直接写出结果）；
（2）若 tan∠OAB=2，求 k 的值．

3. 如图，Rt△ABO 的顶点 A 是双曲线 y=kx 与直线 y=−x−k+1 在第二象限的交点，AB⊥x 轴于 B 且 S△ABO=32．
（1）求这两个函数的解析式；
（2）A，C 的坐标分别为 −1,3 和 3,−1，求 △AOC 的面积．

4. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的斜边 BC 在 x 轴上，坐标原点是 BC 的中点，∠ABC=30∘，BC=4，双曲线 y=kx 经过点 A．
（1）求 k；
（2）直线 AC 与双曲线 y=−33x 在第四象限交于点 D，求 △ABD 的面积．

5. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=34x+32 的图象与反比例函数 y=kxx>0 的图象相交于点 Aa,3，与 x 轴相交于点 B．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）过点 A 的直线交反比例函数的图象于另一点 C，交 x 轴正半轴于点 D，当 △ABD 是以 BD 为底的等腰三角形时，求直线 AD 的函数表达式及点 C 的坐标．

6. 如图，在矩形 OABC 中，OA=3，AB=4，反比例函数 y=kxk>0 的图象与矩形的边 AB，BC 分别交于点 D，点 E，且 BD=2AD．
（1）求点 D 的坐标和 k 的值；
（2）求证：BE=2CE；
（3）若点 P 是线段 OC 上的一个动点，是否存在点 P，使 ∠APE=90∘? 若存在，求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

7. 如图，已知点 D 在反比例函数 y=ax 的图象上，过点 D 作 DB⊥y 轴，垂足为 B0,3，直线 y=kx+b 经过点 A5,0，与 y 轴交于点 C，且 BD=OC，OC:OA=2:5．
（1）求反比例函数 y=ax 和一次函数 y=kx+b 的解析式；
（2）连接 AD，求 ∠DAC 的正弦值．

8. 如图所示，A 是反比例函数 y=kxk≠0 的图象上一点，点 B，D 在 y 轴正半轴上，△ABD 是 △COD 关于点 D 的位似图形，且 △ABD 与 △COD 的相似比为 1:3，△ABD 的面积为 1，试求该反比例函数的解析式．

9. 已知反比例函数 y=m−7x 的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 m 的取值范围；
（2）如图，O 为坐标原点，点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，若 △OAB 的面积为 6，求 m 的值．

10. 已知在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 是反比例函数 y=1x（x＞0）图象上的一个动点，连接 AO，AO 的延长线交反比例函数 y=kx（k>0，x<0）的图象于点 B，过点 A 作 AE⊥y轴 于点 E．
（1）如图 1，过点 B 作 BF⊥x轴，于点 F，连接 EF．
①若 k=1，求证：四边形 AEFO 是平行四边形；
②连接 BE，若 k=4，求 △BOE 的面积．
（2）如图 2，过点 E 作 EP∥AB，交反比例函数 y=kx（k>0，x<0）的图象于点 P，连接 OP．试探究：对于确定的实数 k，动点 A 在运动过程中，△POE 的面积是否会发生变化?请说明理由．
答案
第一部分
1. （1） 因为点 A1,4 在函数 y=mx 上，
所以 m=4，
所以 y=4x，
所以 Ba,4a，
因为 △ABD 的面积为 4，
所以 S=12a4−4a=4，
所以 a=3，
所以 B3,43．
（2） 因为 MD 与 NC 相交于点 O，
所以 MD 与 NC 不平行．
又因为四边形 CDMN 是等腰梯形，
所以 CD∥MN，∠DMA=∠CNB，
又 ∠MON=90∘，
所以 ∠DMA=∠CNB=45∘，
又 AC⊥x 轴，
所以 ∠CAN=∠CNB=45∘，
所以 AC=CN．
又 AC=4，
所以 CN=4，
所以 N5,0，
所以直线 MN 的表达式为 y=−x+5．
2. （1） 1
（2） 过点 A 作 AF⊥x 轴于点 F，易证 △AOF∽△OBE，
∴S△BOES△AOF=BOOA2=tan∠OAB2=4，
∴S△AOF=14S△BOE=14，
∴k=12，
∵k<0，
∴k=−12．
3. （1） ∵S△ABO=32，
∴BO⋅AB×12=32，
∴BO⋅AB=3，
∴k=−3，
∴y=−3x，
∴y=−x+3−1=−x+2．
（2） 当 x=0 时，y=2，
即直线 y=−x+2 与 y 轴交于点 0,2，
∴S△AOC=12×2×3−−1=4．
4. （1） 如图，作 AH⊥BC 于 H，
∵Rt△ABC 的斜边 BC 在 x 轴上，坐标原点是 BC 的中点，∠ABC=30∘，BC=4，
∴OC=12BC=2，AC=BC×sin30∘=2，
∵∠HAC+∠ACO=90∘，∠ABC+∠ACO=90∘，
∴∠HAC=∠ABC=30∘，
∴CH=AC×sin30∘=1，OH=AC×cs30∘=3，
∴OH=OC−CH=2−1=1，
∴A1,3，
∵ 双曲线 y=kx 经过点 A，
∴1=k3，
即 k=3．
（2） 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，
∵A1,3，C2,0，
∴0=2k+b,3=k+b,
解得 k=−3,b=23.
∴ 直线 AC 的解析式为 y=−3x+23，
∵ 直线 AC 与双曲线 y=−33x 在第四象限交于点 D，
∴y=−3x+23,y=−33x,
解得 x=3,y=−3或x=−1,y=33.
∵D 在第四象限，
∴D3,−3，
∴S△ABD=S△ABC+S△BCD=12BC⋅AH+12BC⋅−yD=12×4×3+12×4×3=43.
5. （1） ∵ 一次函数 y=34x+32 的图象经过点 Aa,3，
∴34a+32=3，
解得：a=2，
∴A2,3，
将 A2,3 代入 y=kxx>0，
得：3=k2，
∴k=6，
∴ 反比例函数的表达式为 y=6x．
（2） 如图，过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，
在 y=34x+32 中，
令 y=0，得 34x+32=0，
解得：x=−2，
∴B−2,0，
∵E2,0，
∴BE=2−−2=4，
∵△ABD 是以 BD 为底边的等腰三角形，
∴AB=AD，
∵AE⊥BD，
∴DE=BE=4，
∴D6,0，
设直线 AD 的函数表达式为 y=mx+n，
∵A2,3，D6,0，
∴2m+n=3,6m+n=0,
解得：m=−34,n=92,
∴ 直线 AD 的函数表达式为 y=−34x+92，
联立方程组：y=6x,y=−34x+92,
解得：x1=2,y1=3,（舍去），x2=4,y2=32.
∴ 点 C 的坐标为 4,32．
6. （1） ∵AB=4，BD=2AD，
∴AB=AD+BD=AD+2AD=3AD=4，
∴AD=43，
又 ∵OA=3，
∴D43,3．
∵ 点 D 在双曲线 y=kx 上，
∴k=43×3=4．
（2） ∵ 四边形 OABC 为矩形，
∴AB=OC=4，
∴ 点 E 的横坐标为 4．
把 x=4 代入 y=4x，得 y=1，
∴E4,1，
∴CE=1，
∵BC=3，
∴BE=2，
∴BE=2CE．
（3） 存在点 P，使 ∠APE=90∘．
设点 P 的坐标为 m,00≤m≤4，则 OP=m，CP=4−m．
∵∠APE=90∘，
∴∠APO+∠EPC=90∘，
又 ∵∠APO+∠OAP=90∘，
∴∠EPC=∠OAP，
又 ∵∠AOP=∠PCE=90∘，
∴△AOP∽△PCE，
∴OAPC=OPCE，
∴34−m=m1，解得 m1=1，m2=3，
经检验，m1=1 和 m2=3 是原方程的解，且符合题意．
∴ 点 P 的坐标为 1,0 或 3,0．
7. （1） ∵BD=OC，OC:OA=2:5，A5,0，B0,3，
∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，
又 ∵ 点 C 在 y 轴负半轴上，点 D 在第二象限内，
∴ 点 C 的坐标为 0,−2，点 D 的坐标为 −2,3．
∵ 点 D−2,3 在反比例函数 y=ax 的图象上，
∴a=−2×3=−6，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−6x．
将 A5,0，C0,−2 代入 y=kx+b，
得 5k+b=0,b=−2, 解得 k=25,b=−2,
∴ 一次函数的解析式为 y=25x−2．
（2） ∵BC=OA=5，∠DBC=∠AOC=90∘，BD=OC=2，
∴△BDC≌△OCA，
∴∠DCB=∠OAC，∠CDB=∠ACO，DC=CA，
∵∠DCB+∠CDB=90∘，
∴∠DCB+∠ACO=90∘，
∴∠DCA=90∘，
∴△DCA 是等腰直角三角形，
∴∠DAC=45∘，
∴sin∠DAC=22．
8. 如图所示，过 A 作 AE⊥x轴，
∵△ABD 是 △COD 关于点 D 的位似图形，且 △ABD 与 △COD 的相似比是 1:3，
∴COAB=3，
∵OE=AB，
∴COCE=DOAE=34．
设 BD=x，AB=y，
∴DO=3x，AE=4x．
∵△ABD 的面积为 1，
∴12xy=1，
∴xy=2，
∴AB⋅AE=4xy=8，
∴ 该反比例函数的解析式为 y=8x．
9. （1） m>7
（2） m=13
10. （1） ①设点 A 的坐标为 a,1a，则当点 k=1 时，点 B 的坐标为 −a,−1a，
∴AE=OF=a，
∵AE⊥y轴，
∴AE∥OF，
∴ 四边形 AEFO 是平行四边形．
②过点 B 作 BD⊥y轴 于点 D，如图 1，
∵AE⊥y轴，
∴AE∥BD，
∴△AEO∽△BDO，
∴S△AEOS△BDO=AOBO2，
∴ 当 k=4 时，122=AOBO2，
即 AOBO=12，
∴S△BOE=2S△AOE=1．
（2） 不改变．
理由如下：
过点 P 作 PH⊥x轴 于点 H，PE 与 x 轴交于点 G，
设点 A 的坐标为 a,1a，点 P 的坐标为 b,kb，
则 AE=a，OE=1a,PH=−kb，
∵ 四边形 AEGO 是平行四边形，
∴∠EAO=∠EGO，AE=OG，
∵∠EGO=∠PGH，
∴∠EAO=∠PGH，
又 ∵∠PHG=∠AEO，
∴△AEO∽△GHP，
∴AEGH=EOPH，
∵GH=OH−OG=−b−a，
∴a−b−a=1a−kb，
∴ba2+ba−k=0，
解得 ba=−1±1+4k2，
∵a，b 异号，k>0，
∴ba=−1−1+4k2，
∴S△POE=12×OE×−b=12×1a×−b=−12×ba=1+1+4k4，
∴ 对于确定的实数 k，动点 A 在运动过程中，△POE 的面积不会发生变化．