初中数学人教版八年级下册第十六章 二次根式综合与测试学案设计

《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）

【学习目标】

1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.

2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.

3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、二次根式的相关概念和性质

1. 二次根式

 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式.

要点诠释：二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义.

2.二次根式的性质

（1）；
（2）；
（3）.

要点诠释：（1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）.

（2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义.

（3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简.

（4）与的异同

不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数；

=，=（）.

相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=.

3. 最简二次根式

（1）被开方数是整数或整式；

（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式.

要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2.

4.同类二次根式

  几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式.

要点二、二次根式的运算

1. 乘除法

（1）乘除法法则：

要点诠释：

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如.

    （2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.

2.加减法

 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.

要点诠释：

二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如.

【典型例题】

类型一、二次根式的概念与性质 

1． 当________时，二次根式在实数范围内有意义.

【答案】≥3.

【解析】根据二次根式的性质，必须≥0才有意义.

【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有时才是二次根式.

　举一反三

【变式】①成立的条件是           .

          ②成立的条件是         .

【答案】① ≤0；(≤0.)

         ② 2≤.(2≤)

 2．当0≤<1时，化简的结果是__________.

【答案】 1.

【解析】因为≥0，所以=；又因为<1,即-1<0,所以，

所以=+1-=1.

【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即=，同时联系绝对值的意义正确解答.

举一反三
【变式】（2015春•大冶市期末）已知﹣=2，则+的值为_____________．

【答案】5.

解：∵﹣=2，

∴=+2，

两边平方得，25﹣x2=4+15﹣x2+4，

∴2=3，

两边平方得4（15﹣x2）=9，

化简，得x2=，

∴+=+=5．

故答案为：5．

 3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（    ）.

A.    B.    C.    D.

【答案】A.

【解析】选项B：=；选项C：有分母；选项D：=，所以选A.

【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；

（2）被开方数中不含能开方的因式或因数.

类型二、二次根式的运算

　4．（2015•武进区一模）下列运算正确的是（　　）

　 A. B. 

C.a6÷a2=a3 D.

【答案】B.

【解析】解：A、与不能合并，所以A选项错误；

B、原式==，所以B选项正确；

C、原式=a4，所以C选项错误；

D、原式=2，所以D选项错误．

故选B．

【总结升华】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．同时也考查了同底数幂的除法．

举一反三

【变式】计算：

【答案】.
5.化简.

【答案与解析】

【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.

 6.已知的值.

【答案与解析】

【总结升华】 化简求值时要注意x的取值范围，如果未确定要注意分类讨论.

举一反三

【变式】已知=-3, =1,求的值.

【答案】∵=-3,=1，∴,

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