2022届中考典型解答题专题练习：一次函数与三角形综合问题（一）

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一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，直线 y=kx+6 分别与 x 轴、 y 轴交于点 E，F，已知点 E 的坐标为 −8,0，点 A 的坐标为 −6,0．
（1）求 k 的值．
（2）若点 Px,y 是该直线上的一个动点，当 △OPA 的面积为 27 时，求点 P 的坐标．

2. 如图，直线 y=12x+2 分别与 x 轴、 y 轴交于 A，C 两点．P 是该直线在第一象限内的一点，PB⊥x 轴，B 为垂足，S△BPA=9，求点 P 的坐标．

3. 在平面直角坐标系中，直线 y=−2x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 C 的坐标为 −1,0，过点 C 的直线交 y 轴于点 F，交线段 AB 于点 E．
（1）如图 1，若 CF=FE，求直线 CE 的解析式；
（2）如图 2，若 CF=2EF，求点 F 的坐标．

4. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y=−13x+1 分别交 x 轴，y 轴于点 A，B，点 C 是 AB 中点，CD⊥AB，交x轴于点 D，连接 BD，求 BD 的长．

5. 如图，直线 y=−x+10 与 x 轴、 y 轴分别交于点 B，C，点 A 的坐标为 8,0，Px,y 是直线 y=−x+10 在第一象限内一个动点．
（1）求 △OPA 的面积 S 与 x 的函数关系式，并写出自变量的 x 的取值范围；
（2）当 △OPA 的面积为 10 时，求点 P 的坐标．

6. 如图，直线 y=x+3 与两坐标轴分别交于 A，B 两点，直线 l 经过原点，与线段 AB 交于点 C，把 △AOB 的面积分成 1:2 的两部分，求直线 l 的解析式．

7. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 2,4，3,0，点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A，B，C 三点不在同一条直线上．
（1）求过 A，B 两点的直线的解析式；
（2）在点 C 运动的过程中，当 △ABC 的周长最小时，求点 C 的坐标；
（3）在点 C 运动的过程中，当 △ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形时，求点 C 的坐标．

8. 如图，直线 y=−x−4 交 x 轴和 y 轴于点 A 和点 C，点 B0,2 在 y 轴上，连接 AB，点 P 为直线 AB 上一动点．
（1）直线 AB 的解析式为 ；
（2）若 S△APC=S△AOC，求点 P 的坐标；
（3）当 ∠BCP=∠BAO 时，求直线 CP 的解析式及 CP 的长．

9. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A−3,1，B−1,1，Cm,3，以点 A，B，C 为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为 D1，D2，D3，如图所示．
（1）若 m=−1，则点 D1，D2，D3 的坐标分别是 ， ， ．
（2）若 △D1D2D3 是以 D1D2 为底的等腰三角形．
①直接写出 m 的值．
②若直线 y=12x+b 与 △D1D2D3 有公共点，求 b 的取值范围．
（3）若直线 y=x 与 △D1D2D3 有公共点，求 m 的取值范围．

10. 对于平面直角坐标系 xOy 中的线段 PQ 与点 R，给出如下定义：若 PR=PQ，则称点 R 为线段 PQ 的“P —等长点”．如图，已知点 A1,0，B0,2．
（1）在点 R12,0，R2−1,0，R31,−1 中，线段 AO 的“A —等长点”为 ；
（2）若直线 y=x+b 上存在线段 BO 的“B —等长点”，求 b 的取值范围；
（3）连接 AB，
①若第一象限内的点 R 是线段 BA 的“B —等长点”，且 △ABR 是直角三角形，则点 R 的坐标为 ；
②矩形 CDEF 中，DE=2，Ct,1，Dt+1,1，若矩形 CDEF 上存在线段 BA 的“B —等长点”，直接写出 t 的取值范围．
答案
第一部分
1. （1） 将点 E−8,0 代入 y=kx+6 中，
得 −8k+6=0，解得 k=34．
（2） 由（1）知 k=34，
∴ 直线 EF 的解析式为 y=34x+6．
∵ 点 A 的坐标为 −6,0，
∴OA=6，
设点 P 的坐标为 x,y，
则点 P 到直线 OA 的距离为 ∣y∣，
∴S△OPA=12×6⋅∣y∣=27，
解得 y=±9，
由 34x+6=9 或 34x+6=−9，
解得 x=4 或 x=−20，
∴ 当 △OPA 的面积为 27 时，点 P 的坐标为 4,9 或 −20,−9．
2. P2,3
3. （1） 过点 E 作 ED⊥y 轴，垂足为 D，
易证 △EDF≌△COF，
∴ED=CO=1，
∴ 点 E 的横坐标为 1，令 x=1，
则 y=−2x+4=−2+4=2，
∴ 点 E 的坐标为 1,2．
设直线 CE 的解析式为 y=kx+b，
则 −k+b=0,k+b=2, 解得 k=1,b=1,
∴ 直线 CE 的解析式为 y=x+1；
（2） 连接 OE，过点 E 作 ED⊥y 轴，垂足为 D，
∵CF=2EF，
∴S△COF=2S△EDF，
∴12OF⋅CO=2×12OF⋅DE，
∴2DE=CO=1，DE=12，令 x=12，
则 y=−2x+4=3，
∴E12,3，
∵C−1,0，
∴ 直线 CE 的解析式为 y=2x+2，
令 x=0 得，y=2，
∴F0,2．
4. y=−13x+1，当 x=0 时，y=1；
当 y=0 时，x=3；
∴A3,0，B0,1，
∴AO=3，BO=1，设 BD=a．
∵ 点 C 是 AB 的中点，CD⊥AB，
∴DA=DB=a，OD=3−a．
∵∠BOD=90∘，
∴BD2=BO2+DO2，12+3−a2=a2，
解得 a=53，故 BD 的长为 53．
5. （1） ∵A8,0，
∴OA=8，
S=12OA⋅yP=12×8×−x+10=−4x+400