2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与纯代数的综合

这是一份2022届中考典型解答题专题练习：二次函数与纯代数的综合，共17页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。

一、解答题（共10小题；共130分）
1. 如图，开口向下的抛物线与 x 轴交于点 A−1,0，B2,0，与 y 轴交于点 C0,4，点 P 是第一象限内抛物线上的一点．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）设四边形 CABP 的面积为 S，求 S 的最大值．

2. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+3a≠0 与 x 轴交于点 A−3,0 和 B1,0，与 y 轴交于点 C，顶点为 D．
（1）求抛物线解析式．
（2）连接 AD，CD，BC，将 △OBC 沿着 x 轴以每秒 1 个单位长度的速度向左平移，得到 △OʹBʹCʹ，点 O，B，C 的对应点分别为 Oʹ，Bʹ，Cʹ，设平移时间为 t 秒，当点 Oʹ 与点 A 重合时停止移动．记 △OʹBʹCʹ 与四边形 AOCD 的重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与时间 t 的函数解析式．
（3）如图 2，过抛物线上任意一点 Mm,n 向直线 l：y=92 作垂线，垂足为 E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点 F，使得 ME−MF=14?若存在，请求 F 点的坐标；若不存在，请说明理由．

3. 如图，两条抛物线 y1=−x2+4，y2=−15x2+bx+c 相交于 A，B 两点，点 A 在 x 轴负半轴上，且为抛物线 y2 的最高点．
（1）求抛物线 y2 的解析式和点 B 的坐标；
（2）点 C 是抛物线 y1 上 A，B 之间的一点，过点 C 作 x 轴的垂线交 y2 于点 D，当线段 CD 取最大值时，求 S△BCD．

4. 已知直线 y=kx−2 与抛物线 y=x2−bx+c（b，c 为常数，b>0）的一个交点为 A−1,0，点 Mm,0 是 x 轴正半轴上的动点．
（1）当直线 y=kx−2 与抛物线 y=x2−bx+c（b，c 为常数，b>0）的另一个交点为该抛物线的顶点 E 时，求 k，b，c 的值及抛物线顶点 E 的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与 y 轴的交点为 C，若点 Q 在抛物线上，且点 Q 的横坐标为 b，当 S△EQM=12S△ACE 时，求 m 的值；
（3）点 D 在抛物线上，且点 D 的横坐标为 b+12，当 2AM+2DM 的最小值为 2724 时，求 b 的值．

5. 已知抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 C0,3，与 x 轴交于 A，B 两点，点 A−1,0．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）D 为抛物线对称轴上一点，当 △ACD 的周长最小时，求点 D 的坐标；
（3）在抛物线上是否存在一点 P，使 CP 恰好将以 A，B，C，P 为顶点的四边形的面积分为相等的两部分?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

6. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx−2 与 x 轴交于两个不同的点 A−1,0，B4,0，与 y 轴交于点 C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图 2，连接 BC，作垂直于 x 轴的直线 x=m，与抛物线交于点 D，与线段 BC 交于点 E，连接 BD 和 CD，求当 △BCD 面积的最大值时，线段 ED 的值；
（3）在（2）中 △BCD 面积最大的条件下，如图 3，直线 x=m 上是否存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆?若存在，求出圆心 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

7. 如图，抛物线 y=ax2−34x+c 与 x 轴相交于点 A2,0，B4,0，与 y 轴相交于点 C，连接 AC，BC，以线段 BC 为直径作 ⊙M，过点 C 作直线 CE∥AB，与抛物线和 ⊙M 分别交于点 D，E，点 P 在 BC 下方的抛物线上运动．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）当 △PDE 是以 DE 为底边的等腰三角形时，求点 P 的坐标．
（3）当四边形 ACPB 的面积最大时，求点 P 的坐标并求出最大值．

8. 已知 O 为坐标原点，抛物线 y1=ax2+bx+ca≠0 与 x 轴相交于点 Ax1,0，Bx2,0，与 y 轴交于点 C，且 O，C 两点之间的距离为 3，x1⋅x2<0，x12+x22=10，点 A，C 在直线 y2=−3x+t 上．
（1）求点 C 的坐标．
（2）当 y1 随着 x 的增大而增大时，求自变量 x 的取值范围．
（3）将抛物线 y1 向左平移 nn>0 个单位，记平移后 y 随着 x 的增大而增大的部分为 P，直线 y2 向下平移 n 个单位，当平移后的直线与 P 没有公共点时，求 3n2−7n 的最小值．

9. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A−5,0 和点 B1,0．
（1）求抛物线的解析式及顶点 D 的坐标．
（2）点 P 是抛物线上 A，D 之间的一点，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，PG⊥y 轴，交抛物线于点 G，过点 G 作 GF⊥x 轴于点 F，当矩形 PEFG 的周长最大时，求点 P 的横坐标．

10. 如图，已知抛物线经过原点 O，顶点为 A1,1，且与直线 y=x−2 交于 B，C 两点．
（1）求抛物线的解析式及点 C 的坐标；
（2）求 △ABC 的面积；
（3）若点 N 为 x 轴上的一个动点，过点 N 作 MN⊥x 轴与抛物线交于点 M，则是否存在以 O，M，N 为顶点的三角形与 △ABC 相似?若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. （1） ∵A−1,0，B2,0，C0,4，
设抛物线表达式为：y=ax+1x−2，
将 C 代入得：4=−2a，
解得：a=−2，
∴ 该抛物线的解析式为：y=−2x+1x−2=−2x2+2x+4；
（2） 连接 OP，
设点 P 坐标为 m,−2m2+2m+4，m>0，
∵A−1,0，B2,0，C0,4，
可得：OA=1，OC=4，OB=2，
∴S=S四边形CABP=S△OAC+S△OCP+S△OPB=12×1×4+12×4m+12×2×−2m2+2m+4=−2m2+4m+6=−2m−12+8.
当 m=1 时，S 最大，最大值为 8．
2. （1） 将 A−3,0 和 B1,0 代入抛物线解析式 y=ax2+bx+3 中，可得：a=−1，b=−2．
∴ 抛物线解析式为 y=−x2−2x+3．
（2） ①如图 1 所示，当 0 S=12×3×1−12×31−t2=−32t2+3t.
由抛物线解析式得顶点 D 坐标为 −1,4，则直线 AD 的解析式为 y=2x+6，当 Cʹ 在 AD 上时，Cʹ 坐标为 −32,3．
②当 1≤t<32 时，△OʹBʹCʹ 完全在四边形 AOCD 内，S=32．
③当 32≤t≤3 时，如图 2 所示，过 G 点作 GH⊥CʹOʹ，
设 HG=x，
∵tan∠CʹGH=tan∠CBO=3，
∴CʹH=3HG=3x．
∵tan∠HGK=tan∠KAOʹ=42=2，
∴HK=2HG=2x．
∴CʹK=CʹH+HK=5x．
而 KOʹ=2AOʹ=23−t，
∴5x+23−t=3．
∴x=2t−35．
∴S=32−12⋅5x⋅x=32−522t−352=−25t2+65t+35.
综上：
S=−32t2+3t,0 （3） 假设存在，如图 3，
设 F 点坐标为 −1,t，
∵ 点 Mm,n 在抛物线上
∴n=−m2−2m+3．
∴ME=92−n=92−−m2−2m+3=m2+2m+32．
∴MF=ME−14=m2+2m+54．
而 MF=m+12+−m2−2m+3−t2，
∴m+12+−m2−2m+3−t2=m2+2m+542．
∴−m2−2m+3−t2=m2+2m+542−m+12=m2+3m+94m2+m+14=m+322m+122=m2+2m+342.
∴t−3=34，t=154．
∴F−1,154．
3. （1） 当 y=0 时，即 −x2+4=0，解得 x=2 或 x=−2，
又点 A 在 x 轴的负半轴，
∴ 点 A−2,0，
∵ 点 A−2,0，是抛物线 y2 的最高点．
∴−b2×−15=−2，
即 b=−45，
把 A−2,0 代入 y2=−15x2−45x+c 得，c=−45，
∴ 抛物线 y2 的解析式为：y2=−15x2−45x−45；
由 y1=−x2+4,y2=−15x2−45x−45,
得 x1=−2,y1=0, x2=3,y2=−5.
∵A−2,0，
∴ 点 B3,−5，
答：抛物线 y2 的解析式为：y2=−15x2−45x−45，点 B3,−5．
（2） 由题意得，CD=y1−y2=−x2+4−−15x2−45x−45，
即：CD=−45x2+45x+245，
当 x=−b2a=12 时，CD最大=−45×14+45×12+245=5，
∴S△BCD=12×5×3−12=254．
4. （1） ∵ 直线 y=kx−2 与抛物线 y=x2−bx+c（b，c 为常数，b>0）的一个交点为 A−1,0，
∴−k−2=0，1+b+c=0，
∴k=−2，c=−b−1，
∴ 直线 y=kx−2 的解析式为 y=−2x−2，
∵ 抛物线 y=x2−bx+c 的顶点坐标为 Eb2,4c−b24，
∴Eb2,−4b−4−b24，
∵ 直线 y=−2x−2 与抛物线 y=x2−bx+c（b，c 为常数，b>0）的另一个交点为该抛物线的顶点 E，
∴−4b−4−b24=−2×b2−2，解得 b=2 或 b=−2（舍），
当 b=2 时，c=−3，
∴E1,−4，
故 k=−2，b=2，c=−3，E1,−4．
（2） 由（1）知，直线的解析式为 y=−2x−2，抛物线的解析式为 y=x2−2x−3，
∴C0,−3，Q2,−3，
如图 1，设直线 y=−2x−2 与 y 轴交点为 N，则 N0,−2，
∴CN=1，
∴S△ACE=S△ACN+S△ECN=12×1×1+12×1×1=1，
∴S△EQM=12，
设直线 EQ 与 x 轴的交点为 D，显然点 M 不能与点 D 重合，
设直线 EQ 的解析式为 y=dx+nd≠0，
则 2d+n=−3,d+n=−4, 解得，d=1,n=−5,
∴ 直线 EQ 的解析式为 y=x−5，
∴D5,0，
∴S△EQM=S△EDM=S△QDM=12DM×−4−12DM×−3=12DM=125−m=12,
解得，m=4 或 m=6．
（3） ∵ 点 Db+12,yD 在抛物线 y=x2−bx−b−1 上，
∴yD=b+122−bb+12−b−1=−b2−34，
可知点 Db+12,−b2−34 在第四象限，且在直线 x=b 的右侧，
∵2AM+2DM=222AM+DM，
∴ 可取点 N0,1，则 ∠OAN=45∘，
如图 2，过 D 作直线 AN 的垂线，垂足为 G，DG 与 x 轴相交于点 M，
∵∠GAM=90∘−∠OAN=45∘，得 22AM=GM，
则此时点 M 满足题意，
过 D 作 DH⊥x 轴于点 H，则点 Hb+12,0，
在 Rt△MDH 中，可知 ∠DMH=∠MDH=45∘，
∴DH=MH，DM=2MH，
∵ 点 Mm,0，
∴0=−b2−34=b+12−m，解得 m=b2−34，
∵2AM+2DM=2724，
∴2b2−14−−1+22b+12−b2−14=2724，
解得 b=3，
此时，m=32−14=54>0，符合题意，
∴b=3．
5. （1） 抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 C0,3，则抛物线的表达式为：y=−x2+bx+3，
将点 A 的坐标代入上式并解得：b=2，
故抛物线的表达式为：y=−x2+2x+3．
（2） 抛物线的对称轴为：x=1，点 A 关于函数对称轴的对称点为点 B3,0，
连接 BC 交抛物线的对称轴于点 D，则点 D 为所求，
由点 B，C 的坐标得，直线 BC 的表达式为：y=−x+3，
当 x=1 时，y=2，故点 D1,2．
（3） 当点 P 在第一、二象限时，PC 是四边形的边，故 CP 不可能平分以 A，B，C，P 为顶点的四边形的面积，
当点 P 在第三、四象限时，设点 Pm,−m2+2m+3，
将点 P，C 的坐标代入一次函数表达式：y=sx+n 并解得：
直线 PC 的表达式为：y=2−mx+3，
过点 A，B 分别作 CP 的等距离的平行线 m，n，分别交 y 轴于点 M，N，
则直线 m 的表达式为：y=2−mx+k，
将点 A 的坐标代入上式并解得：k=3m−6，即点 M0,3m−6，
同理可得：点 N0,2−m，
则点 C 是 MN 的中点，即 6=3m−6+2−m，解得：m=5，
故点 P5,−12．
6. （1） 把 A−1,0，B4,0 代入 y=ax2+bx−2，
得到 a−b−2=0,16a+4b−2=0,
解得 a=12,b=−32,
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−32x−2．
（2） 设 Dm,12m2−32m−2，
∵C0,−2，B4,0，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=12x−2，
∴Em,12m−2，
∴DE=12m−2−12m2−32m−2=−12m2+2m，
∴S△BCD=12⋅DE⋅OB=−m2+4m=−m−22+4，
∵−1<0，
∴m=2 时，△BDC 的面积最大，此时 DE=−12×22+2×2=2．
（3） 如图 3 中，连接 BC，
∵OBOC=OCOA=2，∠BCO=∠COA=90∘，
∴△BOC∽△COA，
∴∠OBC=∠OCA，
∵∠OBC+∠OCB=90∘，
∴∠OCA+∠OCB=90∘=∠ACB，
∴BC⊥AC，
∵ 点 B 的坐标为 4,0，点 C 的坐标为 0,−2，点 A 的坐标为 −1,0，
∴ 直线 BC 的解析式为 y=12x−2，直线 AC 的解析式为 y=−2x−2，
设点 Q 的坐标为 2,n，则过点 Q 且垂直 AC 的直线的解析式为 y=12x+n−1，
联立两直线解析式成方程组，得：y=12x+n−1,y=−2x−2,
解得：x=−2−2n5,y=4n−65,
∴ 两直线的交点坐标为 −2−2n5,4n−65，
依题意，得：2−02+n−02=−2−2n5−22+4n−65−n2，
整理，得：n2−3n−4=0，解得：n1=−1，n2=4，
∴ 点 Q 的坐标为 2,−1 或 2,4．
综上所述：在这条直线上存在一个以 Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线 AC 相切的圆，点 Q 的坐标为 2,−1 或 2,4．
7. （1） 抛物线的表达式为：y=ax+2x−4=ax2−2x−8，
即 −2a=−34，
解得：a=38，
故抛物线的表达式为：y=38x2−34x−3．
（2） 点 C0,−3，函数对称轴为：x=1，则点 D2,−3，点 E4,−3，则 DE 的中垂线为：x=122+4=3，
当 x=3 时，y=38x2−34x−3=−138，
故点 P3,−138．
（3） 由点 B，C 的坐标可得，直线 BC 的表达式为：y=34x−3，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 H，
设点 Px,38x2−34x−3，则点 Hx,34x−3，
四边形ACPB的面积=S△ABC+S△BCP=12×3×6+12×HP×OB=9+12×3×34x−3−38x2+34x+3=−34x2+3x+9,
34<0，故四边形 ACPB 的面积有最大值为 212，
此时，点 P2,−3．
8. （1） 令 x=0，y=c，故点 C0,C，
∵O，C 两点之间的距离为 3，
∴∣c∣=3，即 C=±3，
∴ 点 C0,3 或 0,−3．
（2） ∵ x1⋅x2<0，
∴ x1，x2 异号，
①若 C0,3 即 c=3，
把 0,3 代入 y2=−3x+t 中，
0+t=3，即 t=3，
∴ 直线 y2=−3x+3，
将点 Ax1,0 代入 y2=−3x+3 中得，
0=−3x1+3，
解得 x1=1，
∴ 点 A1,0，
∵ x1，x2 异号，x1=1>0，
∴ x2<0，
∵ x12+x22=10，
∴ 12+x22=10，
即 x2=−3，则点 B−3,0，
将点 A1,0 和点 B−3,0，点 C0,3 代入 y1=ax2+bx+c 中得，
0=a+b+c,0=9a−3b+c,3=0a+0b+c.
解得 a=−1,b=−2,c=3.
∴ y1=−x2−2x+3=−x+12+4，
当 x≤−1 时，y 随 x 的增大而增大．
②当点 C0,−3，即 c=−3，
把 C0,−3 代入 y2=−3x+t 中得，
−3=0+t，即 t=−3，
∴ y2=−3x−3．
把点 Ax1,0 代入 y2=−3x−3 中，
0=−3x1−3，即 x1=−1．
∴ 点 A−1,0，
∵ x1，x2 异号，x1=−1<0，
∴ x2>0，
∵ x12+x22=10，
∴ 1+x22=10，x2=3，则点 B3,0．
将点 A1,0，点 B3,0，点 C0,−3 代入 y1=ax2+bx+c 中得，
0=a−b=c,0=9a+3b+c,−3=c.
解得 a=1,b=−2,c=−3.
∴ y1=x2−2x−3=x−12−4，
则当 x≥1 时，y 随 x 的增大而增大．
综上所述：若 c=3，当 y 随 x 的增大而增大时，x≤−1，
若 c=−3，当 y 随 x 的增大而增大时，x≥1．
（3） ① 若 c=3，则 y1=−x2−2x+3=−x+12+4，
y2=−3x+3，
y1 向左平移 n 个单位后，则解析式为：y3=−x+1+n2+4，
则当 x≤−1−n 时，y 随 x 增大而增大，
y2 向下平移 n 个单位后，则解析式为：y4=−3x+3−n，
要使平移后直线与 P 有公共点，则当 x=−1−n,y3>y4，
即 −−1−n+1+n2+4≥−3−1−n+3−n，
解得：n≤−1，
∵ n>0，
∴ n≤−1 不符合条件，应舍去．
② 若 c=−3，则 y1=x2−2x−3=x−12−4，
y2=−3x−3，
y1 向左平移 n 个单位后，则解析式为：y3=x−1+n2−4，
则当 x≥1−n 时，y 随 x 的增大而增大，
y2 向下平移 n 个单位后，则解析式为：y4=−3x−3−n，
要使平移后的直线与 P 有公共点，则当 x=1−n 时，y3≤y4，
即 1−n−1+n2−4≤−31−n−3−n，
解得 n≥1，
综上所述 n≥1．
3n2−7n=3n2−73n
=3n2−73n+4936−4936
=3n−762−4912，
当 n=76 时，3n2−7n 的最小值为：−4912．
9. （1） ∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A−5,0，B1,0，
∴−25−5b+c=0,−1+b+c=0, 解得 b=−4,c=5,
∴y=−x2−4x+5=−x+22+9，
∴ 抛物线的解析式为：y=−x2−4x+5，
顶点 D 的坐标为 −2,9．
（2） 设 P 点横坐标为 m，
∴EF=−2−m×2，
P 点纵坐标为 −m2−4m+5，
∴ 矩形 PEFG 周长 L=2EF+2PE，
PE=−m2−4m+5，
∴L=4−2−m+2−m2−4m+5=−8−4m−2m2−8m+10=−2m2−12m+2=−2m2+6m+2=−2m+32+20≤20,
∵ 点 P 是抛物线上 A，D 之间的一点，
∴−5故当 m=−3 时，L 取最大值 20，
∴ 当矩形 PEFG 周长最大时，P 点横坐标为 −3．
10. （1） ∵ 顶点坐标为 1,1，
∴ 设抛物线解析式为 y=ax−12+1，
又抛物线过原点，
∴0=a0−12+1，解得 a=−1，
∴ 抛物线解析式为 y=−x−12+1，即 y=−x2+2x，
联立抛物线和直线解析式可得 y=−x2+2,y=x−2,
解得 x=2,y=0 或 x=−1,y=−3,
∴B2,0，C−1,−3．
（2） 设直线 AC 的解析式为 y=kx+b，与 x 轴交于 D，
把 A1,1，C−1,−3 的坐标代入得 1=k+b,−3=−k+b, 解得：k=2,b=−1,
∴y=2x−1，
当 y=0，即 2x−1=0，解得：x=12，
∴D12,0，
∴BD=2−12=32，
∴△ABC 的面积=S△ABD+S△BCD=12×32×1+12×32×3=3.
（可以利用勾股定理的逆定理证明 ∠ABC=90∘）．
（3） 假设存在满足条件的点 N，设 Nx,0，则 Mx,−x2+2x．
∴ON=x，MN=−x2+2x，
由（2）知，AB=2，BC=32，
∵MN⊥x 轴于点 N，
∴∠ABC=∠MNO=90∘，
∴ 当 △ABC 和 △MNO 相似时，有 MNAB=ONBC 或 MNBC=ONAB，
①当 MNAB=ONBC 时，
∴−x2+2x2=x32，即 x−x+2=13x，
∵ 当 x=0 时 M，O，N 不能构成三角形，
∴x≠0，
∴−x+2=13，
∴−x+2=±13，解得 x=53 或 x=73，此时 N 点坐标为 53,0 或 73,0；
②当 MNBC=ONAB 时，
∴−x2+2x32=x2，即 x−x+2=3x，
∴−x+2=3，
∴−x+2=±3，解得 x=5 或 x=−1，此时 N 点坐标为 −1,0 或 5,0．
综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为 53,0 或 73,0 或 −1,0 或 5,0．