第10章 第3节　随机事件的概率教案

这是一份第10章 第3节　随机事件的概率教案，共10页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。

一、教材概念·结论·性质重现
1．样本点和样本空间
随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．
2．概率与频率
一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．
随机事件A发生的频率与概率的区别与联系
随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近．
3．事件的关系与运算
4.概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.
(3)不可能事件的概率P(∅)＝0.
(4)①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
②如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
③如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．
④设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
5．事件的相关概念
1．随机事件A，B互斥与对立的区别与联系
当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．
2．从集合的角度理解互斥事件和对立事件
(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．
(2)事件A的对立事件eq \x\t(A)所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)事件发生的频率与概率是相同的．(×)
(2)随机事件和随机试验是一回事．(×)
(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)
(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．(√)
(5)若A，B为互斥事件，则P(A)＋P(B)＝1.(×)
(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．(√)
2．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )
A．至多有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
D 解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．
3．将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是( )
A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．无法确定
B 解析：抛掷10次硬币正面向上的次数可能为0～10，都有可能发生，所以正面向上5次是随机事件．
4．把语文、数学、英语三本书随机分给甲、乙、丙三位同学，每人一本，记事件A为“甲分得语文书”，事件B为“乙分得数学书”，事件C为“丙分得英语书”，则下列说法正确的是( )
A．A与B是不可能事件
B．A＋B＋C是必然事件
C．A与B不是互斥事件
D．B与C既是互斥事件也是对立事件
C 解析：事件A，事件B，事件C都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A，B两项错误；事件A，事件B可能同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，C项正确；事件B与事件C既不互斥，也不对立，D项错误．故选C．
5．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
则样本数据落在区间[10,40)的频率为0.45.
6．一个口袋内装有2个白球和3个黑球，则在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是________．
eq \f(2,5) 解析：先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率，实质上就是第二次摸到白球的概率．因为袋内装有2个白球和3个黑球，因此所求概率为eq \f(2,5).
考点1 随机事件的关系——基础性
(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( )
A．是对立事件 B．是不可能事件
C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件
C 解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件．
(2)设条件甲：事件A与事件B是对立事件，结论乙：概率满足P(A)＋P(B)＝1，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A 解析：若事件A与事件B是对立事件，则A∪B为必然事件．再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是对立事件．如事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”，则P(A)＝eq \f(7,8)，P(B)＝eq \f(1,8)，满足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是对立事件．
判断互斥事件、对立事件的两种方法
(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．
(2)集合法：①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
②事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
1．(2020·菏泽一中高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”
B．“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”
C．“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”
D．“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”
C 解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故A中的两个事件是对立事件；在B中，当两枚硬币恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故B中的两个事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故C中的两个事件是互斥而不对立事件；在D中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故D中的两个事件不是互斥事件．故选C．
2．口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个．从中取出两个球，事件A＝“取出的两个球同色”，B＝“取出的两个球中至少有一个黄球”，C＝“取出的两个球中至少有一个白球”，D＝“取出的两个球不同色”，E＝“取出的两个球中至多有一个白球”．下列判断中正确的序号为________．
①A与D为对立事件；②B与C是互斥事件；③C与E是对立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．
①④ 解析：显然A与D是对立事件，①正确；当取出的两个球为一黄一白时，B与C都发生，②不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件C与E都发生，③不正确；C∪E为必然事件，P(C∪E)＝1，④正确；P(B)＝eq \f(4,5)，P(C)＝eq \f(3,5)，⑤不正确．
考点2 随机事件的频率与概率——基础性
如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，
所以用频率估计相应的概率p＝eq \f(44,100)＝0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，
故由调查结果得频率为
(3)设A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，
P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.
因为P(A1)＞P(A2)，所以甲应选择L1.
同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，
P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.
因为P(B1)＜P(B2)，所以乙应选择L2.
1．概率与频率的关系
频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．
2．随机事件概率的求法
利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．
提醒：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．
1．在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为( )
A．49 B．0.5 C．0.51 D．0.49
C 解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为eq \f(51,100)＝0.51.
2．(2020·潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是( )
A．该校教职工具有本科学历的概率低于60%
B．该校教职工具有研究生学历的概率超过50%
C．该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%
D．该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%
D 解析：对于选项A，该校教职工具有本科学历的概率p＝eq \f(75,120)＝eq \f(5,8)＝62.5%>60%，故A错误；对于选项B，该校教职工具有研究生学历的概率p＝eq \f(45,120)＝eq \f(3,8)＝37.5%<50%，故B错误；对于选项C，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p＝eq \f(10,120)＝eq \f(1,12)≈8.3%<10%，故C错误；对于选项D，该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p＝eq \f(15,120)＝eq \f(1,8)＝12.5%>10%，故D正确．故选D．
考点3 互斥事件与对立事件的概率——综合性
经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
(方法二)记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.
求复杂互斥事件概率的两种方法
(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算．
(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq \x\t(A))求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便．
提醒：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后出各事件发生的概率，再求和(或差)．间接法体现了“正难则反”的思想方法．
1．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq \x\t(B)发生的概率为( )
A．eq \f(1,3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(2,3) D．eq \f(5,6)
C 解析：抛掷一个骰子的试验有6种等可能结果．依题意P(A)＝eq \f(2,6)＝eq \f(1,3)，P(B)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3)，
所以P(eq \x\t(B))＝1－P(B)＝1－eq \f(2,3)＝eq \f(1,3).
因为eq \x\t(B)表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与eq \x\t(B)互斥，从而P(A＋eq \x\t(B))＝P(A)＋P(eq \x\t(B))＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).
2．(2020·重庆八中高三模拟)某高校数学学院安排4名研究生在开学日当天随机到三个不同的车站迎接新生，要求每个车站至少有一人，则其中小李和小明不在同一车站的概率为( )
A．eq \f(7,12) B．eq \f(2,3) C．eq \f(5,6) D．eq \f(11,12)
C 解析：4人到3个车站的方法总数为Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＝36，其中小李和小明在同一车站的方法数为Aeq \\al(3,3)＝6.因此小李和小明在同一车站的概率是p′＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)，小李和小明不在同一车站的概率为p＝1－p′＝eq \f(5,6).故选C．
名称
条件
结论
符号表示
包含关系
事件A发生，事件B一定发生
事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B⊇A
(或A⊆B)
相等关系
B⊇A且A⊇B
事件A与事件B相等
A＝B
并事件
(或和事件)
事件A与事件B至少有一个发生
事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A＋B)
交事件
(或积事件)
事件A与事件B同时发生
事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
互斥事件
事件A与事件B不能同时发生
事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B＝∅
互为对立
事件A与事件B有且仅有一个发生
事件A与事件B互为对立
A∩B＝∅，
A∪B＝Ω
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
所用时间(分)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的人数
6
12
18
12
12
选择L2的人数
0
4
16
16
4
所用时间(分)
10～20
20～30
30～40
40～50
50～60
选择L1的频率
0.1
0.2
0.3
0.2
0.2
选择L2的频率
0
0.1
0.4
0.4
0.1
本科
研究生
合计
35岁以下
40
30
70
35～50岁
27
13
40
50岁以上
8
2
10
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04