第8章 第2节　两条直线的位置关系教案

这是一份第8章 第2节　两条直线的位置关系教案，共8页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。
一、教材概念·结论·性质重现
1．两条直线的位置关系
(1)利用斜率关系判断
对于不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2.
特别地，当两直线的斜率都不存在时，l1∥l2.
当一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)利用方程判断
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2，C2均不为0)，
特别地，若A2，B2，C2中存在为0的情况，则利用斜率关系判断．
(3)两直线相交
交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的坐标与方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一对应．
相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；
平行⇔方程组无解；
重合⇔方程组有无数个解．
(1)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直的直线可设为Bx－Ay＋m＝0；
(2)与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平行的直线可设为Ax＋By＋n＝0.
2．三种距离
(1)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点之间的距离|P1P2|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).
(3)两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).
应用点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式时应注意：
(1)将方程化为最简的一般形式．
(2)利用两平行线之间的距离公式时，应使两直线方程中x，y的系数分别对应相等．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2．(×)
(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1．(×)
(3)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2))．(×)
2．两条平行直线3x＋4y－12＝0与ax＋8y＋11＝0之间的距离为( )
A．eq \f(23,5) B．eq \f(23,10) C．7 D．eq \f(7,2)
D 解析：由题意知a＝6，直线3x＋4y－12＝0可化为6x＋8y－24＝0，所以两平行直线之间的距离为eq \f(|11＋24|,\r(36＋64))＝eq \f(7,2).
3．若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m＝( )
A．2 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3
C 解析：若直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有eq \f(2,m)＝eq \f(m＋1,3)≠eq \f(4,－2)，故m＝2或－3.
4．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为( )
A．1 B．2 C．eq \r(2) D．2
C 解析：圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1,0)．由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝eq \f(|－1－0＋3|,\r(12＋－12))＝eq \r(2).
5．已知P(－2，m)，Q(m,4)，且直线PQ垂直于直线x＋y＋1＝0，则m＝________.
1 解析：由题意知eq \f(m－4,－2－m)＝1，所以m－4＝－2－m，所以m＝1.
考点1 直线的平行与垂直——基础性
1．已知直线l1：(a－1)x＋(a＋1)y－2＝0和l2：(a＋1)x＋2y＋1＝0互相垂直，则a的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
A 解析：(方法一)a＝－1时，方程分别化为x＋1＝0,2y＋1＝0，此时两条直线相互垂直，因此a＝－1满足题意．a≠－1时，由于两条直线相互垂直，可得eq \f(1－a,a＋1)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a＋1,2)))＝－1，解得a＝－1(舍去)．
综上a＝－1.
(方法二)由l1⊥l2得(a－1)(a＋1)＋2(a＋1)＝0，
整理得a2＋2a＋1＝0，
解得a＝－1.
2．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和3x－y＋4＝0的交点，并且平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程是________________．
3x＋4y＋eq \f(19,11)＝0 解析：联立直线的方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋1＝0，,3x－y＋4＝0，))得到两直线的交点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,11)，\f(5,11))).
设平行于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为3x＋4y＋c＝0，
则3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13,11)))＋4×eq \f(5,11)＋c＝0，解得c＝eq \f(19,11)，所以直线的方程为3x＋4y＋eq \f(19,11)＝0.
3．过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))的直线l满足原点到它的距离最大，则直线l的一般式方程为______________．
2x－4y－5＝0 解析：设点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))，过坐标系原点O作OB⊥l于点B，连接OA，如图，
则OB为原点O到直线l的距离．
在直角三角形AOB中，OA为斜边，
所以有OB0且a≠1)恒过点A(m，n)，则点A到直线x＋y－3＝0的距离为________．
eq \r(2) 解析：由题意，可知曲线y＝ax(a>0且a≠1)恒过点(0,1)，所以A(0,1)．所以点A到直线x＋y－3＝0的距离d＝eq \f(|0＋1－3|,\r(2))＝eq \r(2).
2．直线l过点P(－1,2)且到点A(2,3)和点B(－4，5)的距离相等，则直线l的方程为________________．
x＋3y－5＝0或x＝－1 解析：(方法一)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由题意知eq \f(|2k－3＋k＋2|,\r(k2＋1))＝eq \f(|－4k－5＋k＋2|,\r(k2＋1))，即|3k－1|＝|－3k－3|，解得k＝－eq \f(1,3).
所以直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1，也符合题意．
(方法二)当AB∥l时，有k＝kAB＝－eq \f(1,3)，直线l的方程为y－2＝－eq \f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.
当l过AB的中点时，AB的中点为(－1,4)．所以直线l的方程为x＝－1.
故所求直线l的方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.
考点3 对称问题——应用性
考向1 中心对称问题
过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________．
x＋4y－4＝0 解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)．由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
中心对称问题的解法
(1)若点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(x′，y′)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))
(2)直线关于点的对称问题可转化为点关于点的对称问题来解决．
考向2 轴对称问题
(1)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是( )
A．x－2y＋3＝0 B．x－2y－3＝0
C．x＋2y＋1＝0 D．x＋2y－1＝0
A 解析：设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x＋x0,2)－\f(y＋y0,2)＋2＝0，,x－x0＝－y－y0，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x0＝y－2，,y0＝x＋2.))
因为点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，
所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
(2)已知点A的坐标为(－4,4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________．
(2,6) 解析：设点A′的坐标为(x，y)，
由题意可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(y－4,x＋4)＝\f(1,3)，,3×\f(x－4,2)＋\f(y＋4,2)－2＝0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝6，))
所以点A′的坐标为(2,6)．
轴对称问题的解法
(1)若点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点为A′(m，n)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
(2)直线关于直线的对称问题可转化为点关于直线的对称问题来解决．
1．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过定点N，则直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0B．2x＋3y＋12＝0
C．2x－3y＋12＝0D．2x－3y－12＝0
B 解析：由ax＋y＋3a－1＝0可得a(x＋3)＋y－1＝0.
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋3＝0，,y－1＝0，))可得x＝－3，y＝1，所以N(－3，1)．设直线2x＋3y－6＝0关于点N对称的直线方程为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，
则eq \f(|－6＋3－6|,\r(4＋9))＝eq \f(|－6＋3＋c|,\r(4＋9))，解得c＝12或c＝－6(舍去)．
故所求直线方程为2x＋3y＋12＝0.故选B.
2．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，光线所经过的路程是( )
A．2eq \r(10) B．6 C．3eq \r(3) D．2eq \r(3)
A 解析：由题意知直线AB的方程为x＋y＝4.
设P关于直线AB的对称点Q(a，b)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(b,a－2)＝1，,\f(a＋2,2)＋\f(b,2)＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝2，))
即Q(4,2)．
又P关于y轴的对称点为T(－2,0)，
所以|QT|＝eq \r(－2－42＋0－22)＝2eq \r(10).
l1∥l2
k1＝k2
l1⊥l2
k1·k2＝－1
l1∥l2
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)
l1⊥l2
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2重合
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)