第8章 微专题进阶课9　抛物线的重要结论教案

这是一份第8章 微专题进阶课9　抛物线的重要结论教案，共3页。教案主要包含了一般解法，应用结论等内容，欢迎下载使用。

抛物线的四个重要结论：
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(1)x1·x2＝eq \f(p2,4)，y1·y2＝－p2.
(2)|AF|＝eq \f(p,1－cs θ)，|BF|＝eq \f(p,1＋cs θ).
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)．
(4)eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点．若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B．eq \f(9,2) C．5 D．6
【一般解法】易知直线l的斜率存在，设为k，则其方程为y＝k(x－1)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，得xA·xB＝1.①
因为|AF|＝2|BF|，由抛物线的定义得xA＋1＝2(xB＋1)，即xA＝2xB＋1，②
由①②解得xA＝2，xB＝eq \f(1,2)，
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋p＝eq \f(9,2).
【应用结论】(方法一)由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图，设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E.
设|BF|＝m，|AF|＝2m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m.
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，
|BC|＝|BF|＝m，
所以cs θ＝eq \f(|AE|,|AB|)＝eq \f(1,3)，
所以sin2θ＝eq \f(8,9).
又y2＝4x，所以2p＝4，
利用弦长公式|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(9,2).
(方法二)因为|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，
解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2).
设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A．eq \f(3\r(3),4) B．eq \f(9\r(3),8) C．eq \f(63,32) D．eq \f(9,4)
【一般解法】由已知得焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，因此直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，即4x－4eq \r(3)y－3＝0.与抛物线方程联立，化简得4y2－12eq \r(3)y－9＝0，
所以yA＋yB＝3eq \r(3)，yAyB＝－eq \f(9,4).
故|yA－yB|＝eq \r(yA＋yB2－4yAyB)＝6.
因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4).
【应用结论】由2p＝3，及|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，得|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(3,sin230°)＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝eq \f(3,8)，
故S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×12×eq \f(3,8)＝eq \f(9,4).
如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C．若F是AC的中点，且|AF|＝4，求线段AB的长．
【一般解法】如图，设l与x轴交于点M，过点A作AD⊥l交l于点D．由抛物线的定义知，|AD|＝|AF|＝4.因为F是AC的中点，所以|AD|＝2|MF|＝2p，所以2p＝4，解得p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，可得y1＝2eq \r(3)，所以A(3，2eq \r(3))．又F(1,0)，所以直线AF的斜率k＝eq \f(2\r(3),3－1)＝eq \r(3)，所以直线AF的方程为y＝eq \r(3)(x－1)．代入抛物线方程y2＝4x，得3x2－10x＋3＝0，所以x1＋x2＝eq \f(10,3)，|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(16,3).
【应用结论】前面同一般解法，求得抛物线的方程为y2＝4x.
(方法一)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3.又x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，所以x2＝eq \f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq \f(1,3)＋2＝eq \f(16,3).
(方法二)因为eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AF|＝4，所以|BF|＝eq \f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3).