第8章 微专题进阶课8　阿波罗尼斯圆及应用教案

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定义：平面内到两定点距离的比值为定值(不等于1)的点的轨迹为圆，我们称之为阿波罗尼斯圆．
如图，M，N分别为AB的内、外分点(直线AB上满足到两定点距离比为定值的点)，
且eq \f(MB,AM)＝eq \f(NB,AN)＝k(k>0且k≠1)，圆O是以MN为直径的圆．若动点满足eq \f(PB,PA)＝k，则点P的轨迹为圆O.
已知点P(x，y)与两个定点B(1,0)，A(4,0)的距离之比为eq \f(1,2)，求点P的轨迹方程．
解：由eq \f(PB,PA)＝eq \f(1,2)，得(x－4)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，所以点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
已知两个定点A(4,0)，B(1,0)，圆O：x2＋y2＝4，若P是圆O上任意一点，求证：eq \f(PB,PA)是定值．
证明：设P(x，y)是圆O：x2＋y2＝4上任意一点，则y2＝4－x2，eq \f(PB,PA)＝eq \f(\r(x－12＋y2),\r(x－42＋y2))＝eq \r(\f(5－2x,20－8x))＝eq \f(1,2).
如图，已知圆O：x2＋y2＝4，点A(4,0)，在x轴上是否存在B(不同于点A)，满足对于圆O上任意一点P，都有eq \f(PB,PA)为定值？如果存在，试求所有满足条件的点B的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：假设存在这样的点B(s,0)，使得eq \f(PB,PA)＝k.设P(x，y)是圆O上任意一点，由PB2＝k2PA2，得(x－s)2＋y2＝k2[(x－4)2＋y2]．注意到y2＝4－x2，化简得(8k2－2s)x＋s2－20k2＋4＝0对x∈[－2,2]恒成立．
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(8k2－2s＝0，,s2－20k2＋4＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(s＝1，,k＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(s＝4，,k＝1))(舍去)．
故存在点B(1,0)对于圆O上任意一点P，都有eq \f(PB,PA)＝eq \f(1,2).