课时质量评价26　正弦定理和余弦定理练习题

这是一份课时质量评价26　正弦定理和余弦定理练习题，共9页。试卷主要包含了故选D等内容，欢迎下载使用。

A组 全考点巩固练
1．(2020·合肥模拟)设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若b＝3，c＝eq \r(3)，B＝eq \f(π,3)，则角C＝( )
A．eq \f(π,3) B．eq \f(π,6) C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,2)
B 解析：由正弦定理得eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)，
所以eq \f(3,sin\f(π,3))＝eq \f(\r(3),sin C).所以sin C＝eq \f(1,2).
因为b>c，所以B>C．
又因为C∈(0，π)，所以C＝eq \f(π,6).故选B．
2．(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC中，cs C＝eq \f(2,3)，AC＝4，BC＝3，则tan B＝( )
A．eq \r(5)B．2eq \r(5)
C．4eq \r(5)D．8eq \r(5)
C 解析：设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
则c2＝a2＋b2－2abcs C＝9＋16－2×3×4×eq \f(2,3)＝9.所以c＝3.所以cs B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(1,9).所以sin B＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)))eq \s\up12(2))＝eq \f(4\r(5),9).所以tan B＝4eq \r(5).故选C．
3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2eq \r(2)，c＝2，cs eq \f(A,2)＝eq \f(\r(14),4)，则b＝( )
A．1B．eq \r(3)
C．2D．4
D 解析：因为a＝2eq \r(2)，c＝2，cs eq \f(A,2)＝eq \f(\r(14),4)，所以cs A＝2cs2eq \f(A,2)－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(14),4)))eq \s\up12(2)－1＝eq \f(3,4).由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccs A，得(2eq \r(2))2＝b2＋22－2×b×2×eq \f(3,4)，即b2－3b－4＝0，解得b＝4或b＝－1(舍)．故选D．
4．(2020·泉州一模)在△ABC中，BC＝2eq \r(5)，D为BC的中点，∠BAD＝eq \f(π,4)，AD＝1，则AC＝( )
A．2eq \r(5) B．2eq \r(2) C．6－eq \r(5) D．2
D 解析：在△ABD中，由余弦定理得，
BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcs∠BAD，
即5＝AB2＋1－eq \r(2)AB，
解得AB＝2eq \r(2)或AB＝－eq \r(2)(舍)．
由正弦定理得eq \f(1,sin∠ABD)＝eq \f(\r(5),sin\f(π,4))，
所以sin∠ABD＝eq \f(\r(10),10)，cs∠ABD＝eq \f(3\r(10),10).
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcs∠ABC
＝(2eq \r(2))2＋(2eq \r(5))2－2×2eq \r(2)×2eq \r(5)×eq \f(3\r(10),10)＝4，
解得AC＝2.故选D．
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形B．等腰非等边三角形
C．等边三角形D．钝角三角形
C 解析：因为eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,c)，所以eq \f(a,b)＝eq \f(a,c)，所以b＝c.因为(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(bc,2bc)＝eq \f(1,2).因为A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3)，所以△ABC是等边三角形．
6．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cs B＝－eq \f(1,4)，则b＝________.
4 解析：在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2accs B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))，整理得15b－60＝0，所以b＝4.
7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，A＝eq \f(π,4)，b2sin C＝4eq \r(2)sin B，则△ABC的面积为________．
2 解析：因为b2sin C＝4eq \r(2)sin B，所以b2c＝4eq \r(2)b，所以bc＝4eq \r(2)，S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×4eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝2.
8．在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边，且∠A＝60°.若S△ABC＝eq \f(3\r(3),2)，2sin B＝3sin C，则△ABC的周长等于________．
5＋eq \r(7) 解析：因为2sin B＝3sin C，所以由正弦定理得2b＝3c.由S△ABC＝eq \f(3\r(3),2)＝eq \f(1,2)bcsin A，得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccs A＝7，所以a＝eq \r(7).故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋eq \r(7).
9．(2020·泰安高三一轮检测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且8cs2eq \f(B＋C,2)－2cs 2A＝3.
(1)求A；
(2)若a＝2，且△ABC面积的最大值为eq \r(3)，求△ABC周长的取值范围．
解：因为8cs2eq \f(B＋C,2)－2cs 2A＝3，
所以4[1＋cs(B＋C)]－2cs 2A＝3，
整理得4cs2A＋4cs A－3＝0，
解得cs A＝eq \f(1,2)或cs A＝－eq \f(3,2)(舍去)．
又A∈(0，π)，所以A＝eq \f(π,3).
(2)由题意知S△ABC＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(\r(3),4)bc≤eq \r(3)，
所以bc≤4.
又b2＋c2－a2＝2bccs A，a＝2，所以b2＋c2＝4＋bc，
所以(b＋c)2＝4＋3bc≤16.
又b＋c>2，所以2所以△ABC周长的取值范围是(4,6]．
10．(2020·潍坊模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，p＝(sin A＋cs C，sin A)，q＝(cs C－sin A，－sin C)．若p·q＝eq \f(1＋cs 2B,2).
(1)求角B；
(2)若b＝3，求△ABC面积的最大值．
解：(1)由题意知p·q＝cs2C－sin2A－sin Asin C＝eq \f(1＋cs 2B,2)＝cs2B，
所以1－sin2C－sin2A－sin Asin C＝1－sin2B．
即sin2A＋sin2C＋sin Asin C＝sin2B，
由正弦定理得a2＋c2＋ac＝b2，
所以a2＋c2－b2＝－ac＝2accs B，
所以cs B＝－eq \f(1,2).
因为0(2)由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accs B，
所以9＝a2＋c2＋ac≥3ac.
所以ac≤3，当且仅当a＝c时，等号成立．
所以S△ABC＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(\r(3),4)ac≤eq \f(3\r(3),4).
所以△ABC面积的最大值为eq \f(3\r(3),4).
B组 新高考培优练
11．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a，b，c成等比数列，且cs B＝eq \f(3,4)，则eq \f(1,tan A)＋eq \f(1,tan C)＝( )
A．eq \f(\r(7),4) B．eq \f(2\r(7),3) C．eq \f(3\r(2),7) D．eq \f(4\r(7),7)
D 解析：由已知得b2＝ac，cs B＝eq \f(3,4)，
所以sin B＝eq \r(1－cs2B)＝eq \f(\r(7),4).
由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sin Asin C，
所以eq \f(1,tan A)＋eq \f(1,tan C)＝eq \f(cs A,sin A)＋eq \f(cs C,sin C)＝eq \f(sin Ccs A＋cs Csin A,sin Asin C)＝eq \f(sinA＋C,sin Asin C)＝eq \f(sin B,sin2B)＝eq \f(4\r(7),7).故选D．
12．(多选题)(2020·山东百师联盟测试三)已知△ABC的三个内角满足eq \f(sin A,6)＝eq \f(sin B,8)＝eq \f(sin C,m)(m∈N*)，则当m取不同值时，关于△ABC的形状，说法正确的是( )
A．当m＝2时，△ABC为锐角三角形
B．当m＝4时，△ABC为钝角三角形
C．当m＝6时 ，△ABC为等腰三角形
D．当m＝10时，△ABC为直角三角形
BCD 解析：设A，B，C的对边分别为a，b，c.由eq \f(sin A,6)＝eq \f(sin B,8)＝eq \f(sin C,m)⇔eq \f(a,6)＝eq \f(b,8)＝eq \f(c,m).
令eq \f(a,6)＝eq \f(b,8)＝eq \f(c,m)＝t，则a＝6t，b＝8t，c＝mt.
当m＝2时，a＝6t，b＝8t，c＝2t，a＋c＝b，不能构成三角形，选项A不正确；
当m＝4时，a＝6t，b＝8t，c＝4t，由余弦定理得cs B＝－eq \f(1,4)<0，即B为钝角，选项B正确；
当m＝6时，a＝6t，b＝8t，c＝6t，即a＝c，选项C正确；
当m＝10时，a＝6t，b＝8t，c＝10t，即a2＋b2＝c2，选项D正确．
13．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，a2＝b2＋bc，则( )
A．sin2A－sin2B＝sin Bsin C
B．c＝b(1－2cs A)
C．A＝2B
D．△ABC一定为钝角三角形
AC 解析：因为a2＝b2＋bc，所以sin2A＝sin2B＋sin Bsin C，A正确；
又由a2＝b2＋bc＝b2＋c2－2bccs A可得b＝c－2bcs A，即c＝b(1＋2cs A)，B错误；由b＝c－2bcs A可得sin B＝sin(A＋B)－2sin Bcs A＝sin Acs B－sin Bcs A＝sin(A－B)，所以A＝2B或B＋A－B＝π(舍)，C正确；由上述推导可知，A＝2B⇔a2＝b2＋bc，所以△ABC可能为锐角三角形，D错误．故选AC．
14．(2020·山东师范大学附中高三质评)在△ABC中，设角A，B，C对应的边分别为a，b，c，记△ABC的面积为S，且4a2＝b2＋2c2，则eq \f(S,a2)的最大值为________．
eq \f(\r(10),6) 解析：由4a2＝b2＋2c2，得b2＝4a2－2c2＝a2＋c2－2accs B，整理得2accs B＝－3a2＋3c2，则cs B＝eq \f(－3a2－c2,2ac).
由题可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(S,a2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\f(1,2)acsin B,a2)))eq \s\up12(2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(csin B,2a)))eq \s\up12(2)＝eq \f(c21－cs2B,4a2).
将cs B＝eq \f(－3a2－c2,2ac)代入上式整理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(S,a2)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(1,16)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9\f(c4,a4)－22\f(c2,a2)＋9)).
令t＝eq \f(c2,a2)，由4a2＝b2＋2c2，得2＝eq \f(b2,2a2)＋eq \f(c2,a2)，则0故eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(S,a2)))eq \s\up12(2)＝－eq \f(1,16)(9t2－22t＋9)＝－eq \f(1,16)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3t－\f(11,3)))eq \s\up12(2)＋eq \f(10,36)，
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(S,a2)))eq \s\up12(2)≤eq \f(10,36)，即eq \f(S,a2)≤eq \f(\r(10),6)，则eq \f(S,a2)的最大值为eq \f(\r(10),6).
15．(2020·青岛一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tan A)．
(1)求角C．
(2)若c＝2eq \r(10)，D为BC的中点，在下列两个条件中任选一个，求AD的长度．
条件①：△ABC的面积S＝4且B>A；
条件②：cs B＝eq \f(2\r(5),5).
解：(1)在△ABC中，由余弦定理得
b2＋c2－a2＝2bccs A，
所以2b2＝2bccs A(1－tan A)．
所以b＝c(cs A－sin A)．
由正弦定理得
sin B＝sin C(cs A－sin A)，
所以sin(A＋C)＝sin C(cs A－sin A)，
即sin Acs C＋cs Asin C＝sin Ccs A－sin Csin A．
所以sin Acs C＝－sin Csin A．
因为sin A≠0，所以cs C＝－sin C，
所以tan C＝－1.
又因为0(2)若选择条件①：△ABC的面积S＝4且B>A．
因为S△ABC＝4＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)absin eq \f(3π,4)，
所以ab＝8eq \r(2).
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcs C，
所以a2＋b2＋eq \r(2)ab＝40.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ab＝8\r(2)，,a2＋b2＋\r(2)ab＝40.))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝2\r(2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(2)，,b＝4.))
因为B>A，所以b>a，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2\r(2)，,b＝4.))
所以CD＝eq \r(2).
在△ACD中，由余弦定理得
AD2＝AC2＋CD2－2AC·CDcs C＝26，
所以AD＝eq \r(26).
若选择条件②：cs B＝eq \f(2\r(5),5).
因为cs B＝eq \f(2\r(5),5)，所以sin B＝eq \f(\r(5),5).
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcs C＋sin Ccs B＝eq \f(\r(10),10).
由正弦定理得eq \f(c,sin C)＝eq \f(a,sin A)，
所以a＝eq \f(csin A,sin C)＝2eq \r(2).
在△ABD中，由余弦定理得
AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcs B＝26，
所以AD＝eq \r(26).
16．(2020·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cs 2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋A))＋cs A＝eq \f(5,4).
(1)求A；
(2)若b－c＝eq \f(\r(3),3)a，证明：△ABC是直角三角形．
(1)解：由已知得sin 2A＋cs A＝eq \f(5,4)，
即cs2A－cs A＋eq \f(1,4)＝0.
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs A－\f(1,2))) eq \s\up6(2)＝0，cs A＝eq \f(1,2).
由于0(2)证明：由正弦定理及已知条件得sin B－sin C＝eq \f(\r(3),3)sin A．
由(1)知B＋C＝eq \f(2π,3)，所以sin B－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－B))＝eq \f(\r(3),3)sin eq \f(π,3).
即eq \f(1,2)sin B－eq \f(\r(3),2)cs B＝eq \f(1,2)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(B－\f(π,3)))＝eq \f(1,2).
由于0